Введение

Линия, построенная на основе треугольника

В геометрии, для треугольника ABC и точки P, лежащей на его описанной окружности, три ближайшие к P точки на прямых AB, AC и BC коллинеарны. Прямая, проходящая через эти точки, называется линией Симсона точки P, в честь Роберта Симсона. Однако, впервые эта концепция была опубликована Уильямом Уоллесом в 1799 году и иногда называется линией Уоллеса. Обратное утверждение также верно: если три ближайшие точки к P на трех прямых коллинеарны, и ни одна из этих прямых не параллельна, то точка P лежит на описанной окружности треугольника, образованного этими тремя прямыми. Иными словами, линия Симсона треугольника ABC и точки P представляет собой вырожденный педальный треугольник ABC и P, превратившийся в прямую, и это условие ограничивает геометрическое место точек P описанной окружностью треугольника ABC.

Уравнение

Размещая треугольник на комплексной плоскости, пусть треугольник ABC с описанной окружностью радиуса 1 имеет вершины с комплексными координатами a, b, c, и пусть P с комплексной координатой p – точка на описанной окружности. Линия Симсона – это множество точек z, удовлетворяющих условию

где черта сверху обозначает комплексное сопряжение.

Свойства

Линия Симсона вершины треугольника — это высота треугольника, опущенная из этой вершины, а линия Симсона точки, диаметрально противоположной вершине, — это сторона треугольника, противоположная этой вершине. Если P и Q — точки на описанной окружности, то угол между линиями Симсона P и Q равен половине угла дуги PQ. В частности, если точки диаметрально противоположны, их линии Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения линий лежит на девятиточечной окружности. Если H обозначает ортоцентр треугольника ABC, то линия Симсона P делит отрезок PH в точке, которая лежит на девятиточечной окружности. Для двух треугольников с одной и той же описанной окружностью угол между линиями Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от положения P. Множество всех линий Симсона, при построении, образует огибающую в форме дельтоида, известного как дельтоид Штайнера исходного треугольника. Построение линии Симсона, совпадающей со стороной исходного треугольника (см. первое свойство выше), дает нетривиальную точку на этой стороне. Эта точка является отражением основания высоты (опущенной на эту сторону) относительно середины этой стороны. Более того, эта точка является точкой касания между стороной исходного треугольника и его дельтоидом Штайнера. Четырехугольник, не являющийся параллелограммом, имеет ровно одну педальную точку, называемую точкой Симсона, относительно которой основания перпендикуляров из этой точки на стороны четырехугольника лежат на одной прямой. Точка Симсона трапеции — это точка пересечения двух непараллельных сторон. Никакой выпуклый многоугольник с не менее чем пятью сторонами не имеет линии Симсона.

Доказательство существования

Достаточно показать, что является вписанным четырехугольником, следовательно, является вписанным четырехугольником (так как ), следовательно, Отсюда следует, что теперь является вписанным, следовательно, .

Обобщение 1

Пусть ABC — треугольник, пусть прямая ℓ проходит через центр описанной окружности O, и пусть точка P лежит на описанной окружности. Пусть прямые AP, BP, CP пересекают ℓ в точках Ap, Bp, Cp соответственно. Пусть A₀, B₀, C₀ — проекции точек Ap, Bp, Cp на стороны BC, CA, AB соответственно. Тогда точки A₀, B₀, C₀ лежат на одной прямой. Более того, эта прямая проходит через середину отрезка PH, где H — ортоцентр треугольника ABC. Если прямая ℓ проходит через точку P, то эта прямая совпадает с линией Симсона.

Обобщение 2

Пусть вершины треугольника ABC лежат на коническом сечении Γ, и пусть Q и P — две точки на плоскости. Пусть прямые PA, PB, PC пересекают коническое сечение Γ в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть QA1 пересекает BC в точке A2, QB1 пересекает AC в точке B2, а QC1 пересекает AB в точке C2. Тогда точки A2, B2, C2 и P лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда точка Q лежит на коническом сечении Γ.

Обобщение 3

Р. Ф. Сайстер обобщил теорему на циклические четырехугольники в работе "Линии Симсона циклического четырехугольника".