Кіріспе
Геометрияда ABC үшбұрышы және оның сырттай шеңберіндегі P нүктесі берілген болса, AB, AC және BC түзулеріндегі P нүктесіне ең жақын үш нүкте бір түзудің бойында жатады. Осы нүктелер арқылы өтетін түзу P нүктесінің Симсон түзуі деп аталады, және Роберт Симсонның құрметіне осылай аталған. Дегенмен, бұл ұғымды алғаш рет 1799 жылы Уильям Уоллес жариялаған, және кейде Уоллес түзуі деп те аталады. Кері теорема да дұрыс: егер үш түзудегі P нүктесіне ең жақын үш нүкте бір түзудің бойында жатса, және екі түзудің бірі де параллель болмаса, онда P нүктесі осы үш түзу құрайтын үшбұрыштың сырттай шеңберінде жатады. Басқаша айтқанда, ABC үшбұрышы мен P нүктесінің Симсон түзуі – ABC және P нүктесінің педальді үшбұрышы, ол бір түзуге тоғысқан, және бұл шарт P нүктесінің орнын ABC үшбұрышының сырттай шеңберін бойлай қозғалуға шектейді.
In geometry, given a triangle ABC and a point P on its circumcircle, the three closest points to P on lines AB, AC, and BC are collinear. The line through these points is the Simson line of P, named for Robert Simson. The concept was first published, however, by William Wallace in 1799, and is sometimes called the Wallace line. The converse is also true; if the three closest points to P on three lines are collinear, and no two of the lines are parallel, then P lies on the circumcircle of the triangle formed by the three lines. Or in other words, the Simson line of a triangle ABC and a point P is just the pedal triangle of ABC and P that has degenerated into a straight line and this condition constrains the locus of P to trace the circumcircle of triangle ABC.
Теңдеу
Үшбұрышты күрделі жазықтықта орналастыра отырып, бірлік шеңберінде жатқан ABC үшбұрышының төбелерінің координаттары a, b, c болсын, ал p күрделі координатасы бар P нүктесі осы шеңберде жатсын. Симсон сызығы – бұл келесі теңдеуді қанағаттандыратын z нүктелерінің жиынтығы:
мұнда сызықша күрделі конъюгацияны білдіреді.
Қасиеттері
Үшбұрыштың төбесіндегі Симсон сызығы – бұл үшбұрыштың сол төбесінен түскен биіктігі, ал төбесіне диаметральды қарама-қарсы нүктенің Симсон сызығы – бұл үшбұрыштың сол төбесіне қарама-қарсы жағы. Егер P және Q шеңбердегі нүктелер болса, онда P және Q Симсон сызықтары арасындағы бұрыш PQ доғасының жартысына тең. Атап айтқанда, егер нүктелер диаметральды қарама-қарсы болса, олардың Симсон сызықтары перпендикуляр болады, ал бұл жағдайда сызықтардың қиылысуы тоғыз нүктелі шеңберде жатады. H нүктесі ABC үшбұрышының ортоцентрін білдірсе, P-нің Симсон сызығы PH кесіндісін тоғыз нүктелі шеңберде жатқан нүктеде екіге бөледі. Бірдей шеңберге ішкі жазылған екі үшбұрысты қарастыра отырып, екі үшбұрыштың шеңберіндегі P нүктесінің Симсон сызықтары арасындағы бұрыш P нүктесіне тәуелді емес. Барлық Симсон сызықтарының жиынтығы, салынғанда, анықтама үшбұрышының Штайнер дельтоиды деп аталатын дельтоид пішіндес қаптама құрайды. Сәйкес Симсон сызығының құрылысы (жоғарыдағы бірінші қасиетті қараңыз) осы сызықтың бір жағымен сәйкес келеді. Бұл нүкте – биіктіктің табанының (жақ сызығына түсірілген) салынып жатқан жақ сызығының ортасынан алынған кері бейнесі. Сонымен қатар, бұл нүкте – анықтама үшбұрышы мен оның Штайнер дельтоиды арасындағы жанасу нүктесі. Параллелограмм емес төртбұрыштың бір және жалғыз педаль нүктесі бар, ол Симсон нүктесі деп аталады, оған қатысты төртбұрыштың табандары бір түзуде жатады. Трапецияның Симсон нүктесі – екі параллель емес жақтың қиылысу нүктесі. Кемінде 5 қабырғасы бар дөңес көпбұрыштың Симсон сызығы жоқ.
The set of all Simson lines, when drawn, form an envelope in the shape of a deltoid known as the Steiner deltoid of the reference triangle. The construction of the Simson line that coincides with a side of the reference triangle (see first property above) yields a nontrivial point on this side line. This point is the reflection of the foot of the altitude (dropped onto the side line) about the midpoint of the side line being constructed. Furthermore, this point is a tangent point between the side of the reference triangle and its Steiner deltoid. A quadrilateral that is not a parallelogram has one and only one pedal point, called the Simson point, with respect to which the feet on the quadrilateral are collinear. The Simson point of a trapezoid is the point of intersection of the two nonparallel sides. No convex polygon with at least 5 sides has a Simson line.
Бар екендігін растау
Бұл төртбұрыштың циклдік екенін көрсету жеткілікті, сондықтан төртбұрыш циклдік ( себебі ), демек қазір циклдік, сондықтан .
Осылайша .
is a cyclic quadrilateral, so is a cyclic quadrilateral (since ), so Hence Now is cyclic, so
Therefore .
Жалпылау 1
АВС үшбұрышы болсын, l түзуі шеңбердің ортасы О арқылы өтеді, ал P нүктесі шеңберде жатыр. AP, BP, CP түзулері l түзуін сәйкесінше Ap, Bp, Cp нүктелерінде кесіп өтеді. A0, B0, C0 нүктелері Ap, Bp, Cp нүктелерінің BC, CA, AB түзулеріне проекциялары болсын. Онда A0, B0, C0 нүктелері бір түзудің бойында жатады. Бұл түзу, сондай-ақ, H ортоцентрі болатын ΔABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі PH кесіндісінің ортасынан өтеді. Егер l түзуі P нүктесі арқылы өтетін болса, онда бұл түзу Симсон түзуімен сәйкес келеді.
Жалпылау 2
АВС үшбұрышының төбелері Γ коникасында жатсын, ал Q, P нүктелері жазықтықта орналасқан болсын. PA, PB, PC түзулері кониканы сәйкесінше А1, В1, С1 нүктелерінде қиып өтеді. QA1 түзуі BC түзуін A2 нүктесінде, QB1 түзуі AC түзуін B2 нүктесінде, ал QC1 түзуі AB түзуін C2 нүктесінде қиып өтеді. А2, В2, С2 және P төрт нүктесі бір түзудің бойында орналасады, егер және тек қана Q нүктесі коника Γ-да жатса.
Жалпылау 3
Р. Ф. Цистер циклдік төртбұрыштар үшін теореманы "Циклдік төртбұрыштың Симсон түзулері" еңбегінде жалпылады.