Введение

Набор музыкальных высот

В теории музыки и строя тональный алмаз — это двухмерная диаграмма отношений, в которой одно измерение представляет отональность, а другое — утональность. Таким образом, тональный алмаз с лимитом n (где "лимит" понимается как нечётный предел, а не предел простых чисел) представляет собой расположение в форме алмаза множества рациональных чисел r, , таких, что нечётная часть числителя и знаменателя r, после приведения к несократимому виду, не превышает заданного нечётного числа n. Эквивалентно, алмаз можно рассматривать как набор классов высоты, где класс высоты является классом эквивалентности высот при октавной эквивалентности. Тональный алмаз часто рассматривается как совокупность консонансов с лимитом n. Хотя изначально он был изобретён Максом Фридрихом Мейером, тональный алмаз в настоящее время наиболее тесно связан с Гарри Парчем ("Многие теоретики справедливой интонации считают тональный алмаз самым значительным вкладом Парча в микротональную теорию").

Диамантовая композиция

Парч расположил элементы тонального алмаза в форме ромба и разделил его на (n+1)²/4 меньших ромбов. Вдоль верхней левой стороны ромба расположены нечетные числа от 1 до n, каждое из которых приведено к октаве (разделено на минимальную степень 2, чтобы результат был меньше или равен 1). Эти интервалы затем располагаются в порядке возрастания. Вдоль нижней левой стороны расположены соответствующие обратные величины, от 1 до 1/n, также приведенные к октаве (здесь умноженные на минимальную степень 2, чтобы результат был меньше или равен 1). Они расположены в порядке убывания. Во всех остальных позициях помещается произведение диагонально верхнего и нижнего левого интервалов, приведенных к октаве. Это дает все элементы тонального алмаза, с некоторыми повторениями. Диагонали, идущие в одном направлении, формируют ототональности, а диагонали в другом направлении – утотональности. Один из инструментов Парча, алмазная маримба, построен в соответствии с тональным алмазом.

Числовая связь

Числовой нексис — это тождество, общее для двух или более интервальных отношений в их числителе или знаменателе, при этом в другой части они имеют различные тождества.