Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Разложение функций с действительными значениями
Decomposition of real valued functions
В математике положительная часть функции с действительными или расширенными действительными значениями определяется формулой
In mathematics, the positive part of a real or extended real valued function is defined by the formula
Интуитивно, график получается путем построения графика , отсечения части графика, лежащей ниже оси x, и присвоения функции значения нуля на этой части. Аналогично, отрицательная часть f определяется как
Intuitively, the graph of is obtained by taking the graph of , chopping off the part under the x axis, and letting take the value zero there. Similarly, the negative part of f is defined as
Обратите внимание, что f^(+) и f^(−) являются неотрицательными функциями. Особенность терминологии состоит в том, что "отрицательная часть" не является ни отрицательной, ни частью (подобно тому, как мнимая часть комплексного числа не является ни мнимой, ни частью). Функция f может быть выражена через f^(+) и f^(−) следующим образом:
Note that both f^(+) and f^(−) are non negative functions. A peculiarity of terminology is that the 'negative part' is neither negative nor a part (like the imaginary part of a complex number is neither imaginary nor a part). The function f can be expressed in terms of f^(+) and f^(−) as
Также следует отметить, что
Also note that
Используя эти два уравнения, можно выразить положительную и отрицательную части следующим образом:
Using these two equations one may express the positive and negative parts as
Другое представление, использующее скобки Айверсона, выглядит так:
Another representation, using the Iverson bracket is
Положительную и отрицательную части можно определить для любой функции со значениями в линейно упорядоченной группе. Функция единичного скачка является положительной частью тождественной функции.
One may define the positive and negative part of any function with values in a linearly ordered group. The unit ramp function is the positive part of the identity function.
Теоретические свойства измерения
При заданном измеримом пространстве (X, Σ), функция с расширенными вещественными значениями f измерима тогда и только тогда, когда измеримы ее положительная и отрицательная части. Следовательно, если такая функция f измерима, то измеримо и ее абсолютное значение, будучи суммой двух измеримых функций. Однако обратное не всегда верно: например, если взять f равной
Given a measurable space (X, Σ), an extended real valued function f is measurable if and only if its positive and negative parts are. Therefore, if such a function f is measurable, so is its absolute value , being the sum of two measurable functions. The converse, though, does not necessarily hold: for example, taking f as
где V — множество Витали, то очевидно, что f не измерима, но ее абсолютное значение измеримо, поскольку является постоянной функцией. Положительная и отрицательная части функции используются для определения интеграла Лебега для функции с вещественными значениями. Аналогично этому разложению функции, можно разложить знакомерную меру на положительную и отрицательную части — см. теорему о разложении Гана.
where V is a Vitali set, it is clear that f is not measurable, but its absolute value is, being a constant function. The positive part and negative part of a function are used to define the Lebesgue integral for a real valued function. Analogously to this decomposition of a function, one may decompose a signed measure into positive and negative parts — see the Hahn decomposition theorem.