Введение
Математический метод, используемый в сжатии и анализе данных.
В математике, вейвлет-ряд — это представление квадратично интегрируемой (действительной или комплексной) функции посредством определенного ортонормального ряда, порожденного вейвлетом. В данной статье приводится формальное математическое определение ортонормального вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования.
Компрессия в волновой форме
Волновое сжатие — это форма сжатия данных, хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также видео и аудио). Заметными реализациями являются JPEG 2000, DjVu и ECW для статических изображений, JPEG XS, CineForm и Dirac от BBC. Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения в файле, занимая минимально возможное пространство. Волновое сжатие может быть как без потерь, так и с потерями. Используя волновое преобразование, методы волнового сжатия хорошо подходят для представления переходных процессов, таких как ударные звуки в аудио или высокочастотные компоненты в двухмерных изображениях, например, изображение звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем при использовании другого преобразования, например, более распространенного дискретного косинусного преобразования. Дискретное волновое преобразование успешно применяется для сжатия сигналов электрокардиограммы (ЭКГ). В данной работе используется высокая корреляция между соответствующими волновыми коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов с применением линейного прогнозирования. Волновое сжатие неэффективно для всех типов данных. Волновое сжатие хорошо справляется с переходными сигналами, но гладкие периодические сигналы лучше сжимаются другими методами, особенно традиционным гармоническим анализом в частотной области с использованием преобразований, связанных с преобразованием Фурье. Сжатие данных, обладающих как переходными, так и периодическими характеристиками, можно выполнять с помощью гибридных методов, сочетающих волновое преобразование с традиционным гармоническим анализом. Например, аудиокодек Vorbis в основном использует модифицированное дискретное косинусное преобразование для сжатия аудио (которое обычно гладкое и периодическое), но допускает добавление гибридного банка волновых фильтров для улучшения воспроизведения переходных процессов. См. "Дневник разработчика x264: Проблемы с волновыми методами" (2010) для обсуждения практических проблем текущих методов использования волновых методов для сжатия видео.
Метод
Сначала применяется вейвлет-преобразование. Это создает столько же коэффициентов, сколько пикселей в изображении (то есть сжатие пока отсутствует, поскольку это всего лишь преобразование). Эти коэффициенты затем можно сжать легче, потому что информация статистически сконцентрирована лишь в небольшом количестве коэффициентов. Этот принцип называется трансформ-кодированием. После этого коэффициенты квантуются, а квантованные значения кодируются энтропийным и/или кодированием длин серий. Некоторые одномерные и двумерные приложения вейвлет-сжатия используют технику, называемую "вейвлетными следами".
Требование к сжатию изображения
Для большинства естественных изображений спектральная плотность низких частот выше. В результате информация низкочастотного сигнала (референтный сигнал) обычно сохраняется, а информация в детальном сигнале отбрасывается. С точки зрения сжатия и восстановления изображения, вейвлет должен соответствовать следующим критериям при сжатии изображения:
* Способность преобразовывать большую часть исходного изображения в референтный сигнал.
* Максимально точное восстановление на основе референтного сигнала.
* Не должно приводить к появлению артефактов в изображении, восстановленном исключительно на основе референтного сигнала.
Требования к дисперсии смены и звучанию
Система сжатия волновых изображений включает в себя фильтры и децимацию, поэтому ее можно описать как линейную систему, инвариантную к сдвигу. Типичная схема волнового преобразования представлена ниже:
The transformation system contains two analysis filters (a low pass filter and a high pass filter ), a decimation process, an interpolation process, and two synthesis filters ( and ). The compression and reconstruction system generally involves low frequency components, which is the analysis filters for image compression and the synthesis filters for reconstruction. To evaluate such system, we can input an impulse and observe its reconstruction ; The optimal wavelet are those who bring minimum shift variance and sidelobe to Even though wavelet with strict shift variance is not realistic, it is possible to select wavelet with only slight shift variance. For example, we can compare the shift variance of two filters:
+Biorthogonal filters for wavelet image compressionLengthFilter coefficientsRegularityWavelet filter 1H09.852699, .377402, .110624, .023849, .0378281.068G07.788486, .418092, .040689, .0645391.701Wavelet filter 2H06.788486, .047699, .1290780.701G010.615051, .133389, .067237, .006989, .0189142.068
By observing the impulse responses of the two filters, we can conclude that the second filter is less sensitive to the input location (i. e. it is less shift variant). Another important issue for image compression and reconstruction is the system's oscillatory behavior, which might lead to severe undesired artifacts in the reconstructed image. To achieve this, the wavelet filters should have a large peak to sidelobe ratio. So far we have discussed about one dimension transformation of the image compression system. This issue can be extended to two dimension, while a more general term shiftable multiscale transforms is proposed.
Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот и фильтр высоких частот), процесс децимации, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( и ). Система сжатия и реконструкции обычно оперирует низкочастотными компонентами, используя фильтры анализа для сжатия изображения и фильтры синтеза для реконструкции. Для оценки такой системы можно подать импульс и наблюдать его восстановление; оптимальные вейвлеты – это те, которые обеспечивают минимальную дисперсию при сдвиге и минимальные боковые лепестки. Хотя вейвлеты со строгой инвариантностью к сдвигу нереалистичны, можно выбирать вейвлеты с незначительной дисперсией при сдвиге. Например, можно сравнить дисперсию при сдвиге двух фильтров:
The transformation system contains two analysis filters (a low pass filter and a high pass filter ), a decimation process, an interpolation process, and two synthesis filters ( and ). The compression and reconstruction system generally involves low frequency components, which is the analysis filters for image compression and the synthesis filters for reconstruction. To evaluate such system, we can input an impulse and observe its reconstruction ; The optimal wavelet are those who bring minimum shift variance and sidelobe to Even though wavelet with strict shift variance is not realistic, it is possible to select wavelet with only slight shift variance. For example, we can compare the shift variance of two filters:
+Biorthogonal filters for wavelet image compressionLengthFilter coefficientsRegularityWavelet filter 1H09.852699, .377402, .110624, .023849, .0378281.068G07.788486, .418092, .040689, .0645391.701Wavelet filter 2H06.788486, .047699, .1290780.701G010.615051, .133389, .067237, .006989, .0189142.068
By observing the impulse responses of the two filters, we can conclude that the second filter is less sensitive to the input location (i. e. it is less shift variant). Another important issue for image compression and reconstruction is the system's oscillatory behavior, which might lead to severe undesired artifacts in the reconstructed image. To achieve this, the wavelet filters should have a large peak to sidelobe ratio. So far we have discussed about one dimension transformation of the image compression system. This issue can be extended to two dimension, while a more general term shiftable multiscale transforms is proposed.
+Биортогональные фильтры для сжатия волновых изображений
Длина Коэффициенты фильтра Регулярность
Вейвлет-фильтр 1 H0 9.852699, .377402, .110624, .023849, .037828 1.068
G0 7.788486, .418092, .040689, .064539 1.701
Вейвлет-фильтр 2 H0 6.788486, .047699, .129078 0.701
G0 10.615051, .133389, .067237, .006989, .018914 2.068
The transformation system contains two analysis filters (a low pass filter and a high pass filter ), a decimation process, an interpolation process, and two synthesis filters ( and ). The compression and reconstruction system generally involves low frequency components, which is the analysis filters for image compression and the synthesis filters for reconstruction. To evaluate such system, we can input an impulse and observe its reconstruction ; The optimal wavelet are those who bring minimum shift variance and sidelobe to Even though wavelet with strict shift variance is not realistic, it is possible to select wavelet with only slight shift variance. For example, we can compare the shift variance of two filters:
+Biorthogonal filters for wavelet image compressionLengthFilter coefficientsRegularityWavelet filter 1H09.852699, .377402, .110624, .023849, .0378281.068G07.788486, .418092, .040689, .0645391.701Wavelet filter 2H06.788486, .047699, .1290780.701G010.615051, .133389, .067237, .006989, .0189142.068
By observing the impulse responses of the two filters, we can conclude that the second filter is less sensitive to the input location (i. e. it is less shift variant). Another important issue for image compression and reconstruction is the system's oscillatory behavior, which might lead to severe undesired artifacts in the reconstructed image. To achieve this, the wavelet filters should have a large peak to sidelobe ratio. So far we have discussed about one dimension transformation of the image compression system. This issue can be extended to two dimension, while a more general term shiftable multiscale transforms is proposed.
Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, можно заключить, что второй фильтр менее чувствителен к положению входного сигнала (т.е. он менее инвариантен к сдвигу). Другой важный аспект сжатия и реконструкции изображения – это колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам в реконструированном изображении. Для предотвращения этого вейвлет-фильтры должны иметь высокое отношение пика к боковому лепестку. До сих пор мы обсуждали одномерное преобразование системы сжатия изображения. Этот вопрос можно расширить на двумерный случай, используя более общий термин – масштабно-сдвиговые преобразования.
The transformation system contains two analysis filters (a low pass filter and a high pass filter ), a decimation process, an interpolation process, and two synthesis filters ( and ). The compression and reconstruction system generally involves low frequency components, which is the analysis filters for image compression and the synthesis filters for reconstruction. To evaluate such system, we can input an impulse and observe its reconstruction ; The optimal wavelet are those who bring minimum shift variance and sidelobe to Even though wavelet with strict shift variance is not realistic, it is possible to select wavelet with only slight shift variance. For example, we can compare the shift variance of two filters:
+Biorthogonal filters for wavelet image compressionLengthFilter coefficientsRegularityWavelet filter 1H09.852699, .377402, .110624, .023849, .0378281.068G07.788486, .418092, .040689, .0645391.701Wavelet filter 2H06.788486, .047699, .1290780.701G010.615051, .133389, .067237, .006989, .0189142.068
By observing the impulse responses of the two filters, we can conclude that the second filter is less sensitive to the input location (i. e. it is less shift variant). Another important issue for image compression and reconstruction is the system's oscillatory behavior, which might lead to severe undesired artifacts in the reconstructed image. To achieve this, the wavelet filters should have a large peak to sidelobe ratio. So far we have discussed about one dimension transformation of the image compression system. This issue can be extended to two dimension, while a more general term shiftable multiscale transforms is proposed.
Другие практические применения
Волновое преобразование позволяет определить частоту сигналов и время, соответствующее этим частотам, что делает его очень удобным для применения в различных областях. Например, обработка сигналов ускорения для анализа походки, обнаружения неисправностей, проектирования маломощных кардиостимуляторов, а также в ультраширокополосной (UWB) беспроводной связи.
Временно-причинные волновые частицы
Для обработки временных сигналов в реальном времени необходимо, чтобы вейвлет-фильтры не использовали значения сигнала из будущего и чтобы можно было добиться минимальных временных задержек. Временные причинные вейвлет-представления были разработаны Сзу и др. и Линдебергом, причем последний метод также предусматривает эффективную рекурсивную реализацию с использованием памяти.
Синхро-сжатый трансформатор
Синхро-сжатая трансформация может значительно повысить временное и частотное разрешение представления времени-частоты, полученного с помощью обычной вейвлет-преобразования.