Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Венгр және американ математигі және физигі (1903–1957)
Hungarian and American mathematician and physicist (1903–1957)
Джон фон Нейман (/v//ɒ//n// /'/n//ɔɪ//m//ən/ фон НОЙМАН; Neumann János Lajos; 28 желтоқсан 1903 – 8 ақпан 1957) – венгр және американ математигі, физигі, компьютерлік ғалым, инженер және полимат. Ол өзінің заманындағы математиктердің арасындағы ең көп салалы мамандық иесі болды, таза және қолданбалы ғылымдарды біріктіріп, математика, физика, экономика, есептеу техникасы және статистика сияқты көптеген салаларға маңызды үлес қосты. Ол кванттық физиканың математикалық негізін қалауда, функционалдық талдауды дамытуда және ойын теориясында пионер болды, жасушалық автоматтар, әмбебап құрастырушы және цифрлық компьютер сияқты түсініктерді енгізіп немесе жүйеледі. Оның өзін-өзі көбейту құрылымын талдауы ДНК құрылымын ашуға дейін жасалды. Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде фон Нейман Манхэттен жобасында жұмыс істеді. Ол ядролық қарудың жарылыс түрінде қолданылатын жарылғыш линзалардың математикалық модельдерін жасады. Соғысқа дейін және кейін ол көптеген ұйымдармен, соның ішінде Ғылыми зерттеулер және даму кеңсесімен, Армияның баллистикалық зерттеу зертханасымен, Қарулы күштердің арнайы қару-жарақ жобасымен және Ок Ридж Ұлттық зертханасымен консультация жүргізді. 1950 жылдарығы ықпалының шарықталу кезеңінде ол Қорғаныс министрлігінің бірқатар комитеттеріне төрағалық етті, оның ішінде Стратегиялық зымыранды бағалау комитеті және ICBM ғылыми кеңесші комитеті болды. Ол сондай-ақ елдегі барлық атом энергиясын дамытуды басқаратын ықпалды Атом энергиясы комиссиясының мүшесі болды. Ол Бернард Шривер және Тревор Гарднермен бірге АҚШ-тың алғашқы МБР бағдарламаларын жобалау мен әзірлеуде маңызды рөл атқарды. Ол кезде ол ядролық қару-жарақ саласындағы елдің ең білікті сарапшысы және АҚШ Қорғаныс министрлігінің жетекші қорғаныс ғалымы деп есептелді. Фон Нейманның еңбектері мен зиялылық қабілеті физика, математика және одан да басқа салалардағы әріптестерінен мақтау алды. Ол алған наградалардың арасында "Азаттық медалі" және оның құрметіне Айдағы кратерге ат қойылғандығы бар.
John von Neumann (/v//ɒ//n// /'/n//ɔɪ//m//ən/ von NOYmən; Neumann János Lajos ; December 28, 1903 – February 8, 1957) was a Hungarian and American mathematician, physicist, computer scientist, engineer and polymath. He had perhaps the widest coverage of any mathematician of his time, integrating pure and applied sciences and making major contributions to many fields, including mathematics, physics, economics, computing, and statistics. He was a pioneer in building the mathematical framework of quantum physics, in the development of functional analysis, and in game theory, introducing or codifying concepts including cellular automata, the universal constructor and the digital computer. His analysis of the structure of self replication preceded the discovery of the structure of DNA. During World War II, von Neumann worked on the Manhattan Project. He developed the mathematical models behind the explosive lenses used in the implosion type nuclear weapon. Before and after the war, he consulted for many organizations including the Office of Scientific Research and Development, the Army's Ballistic Research Laboratory, the Armed Forces Special Weapons Project and the Oak Ridge National Laboratory. At the peak of his influence in the 1950s, he chaired a number of Defense Department committees including the Strategic Missile Evaluation Committee and the ICBM Scientific Advisory Committee. He was also a member of the influential Atomic Energy Commission in charge of all atomic energy development in the country. He played a key role alongside Bernard Schriever and Trevor Gardner in the design and development of the United States' first ICBM programs. At that time he was considered the nation's foremost expert on nuclear weaponry and the leading defense scientist at the U. S. Department of Defense. Von Neumann's contributions and intellectual ability drew praise from colleagues in physics, mathematics, and beyond. Accolades he received range from the Medal of Freedom to a crater on the Moon named in his honor.
Отбасылық негіздер
Фон Нойман 1903 жылғы 28 желтоқсанда Венгрия Корольдігінде (сол кезде Австро-Венгрия империясының бір бөлігі) Будапешт қаласында бай, дінге бейжай еврей отбасында дүниеге келді. Оның туған есімі Нойман Янош Лайош. Венгр тілінде әулеттік аты бірінші болып келеді, ал оның жеке есімдері ағылшын тіліндегі Джон Луиске сәйкес келеді. Ол үш бауырдың үлкені болды; оның екі кіші інісі – Михай (Михаил) және Миклош (Николай). Оның әкесі Нойман Микса (Макс фон Нойман) банкир және құқық ғылымының докторы болды. 1880-жылдардың соңында Печ қаласынан Будапештке көшіп келген. Миксаның әкесі мен атасы Венгрияның солтүстігіндегі Земплен округінің Онд қаласында (қазіргі Серенчтің бір бөлігі) дүниеге келген. Джонның анасы Канн Маргит (Маргарет Канн) болды; оның ата-анасы Якаб Канн мен Каталин Мейселс отбасынан шыққан. Канн отбасының үш буыны Будапешттегі Канн Хеллер кеңсесінің үстіндегі кең пәтерлерде тұрды; Фон Нойман отбасы жоғарғы қабаттағы 18 бөлмелі пәтерде тұрды. 1913 жылғы 20 ақпанда император Франц Иосиф Джонның әкесін Австро-Венгрия империясына қызмет еткені үшін венгр ақсүйектерінің қатарына көтерді. Осылайша Нойман отбасы Маргиттаи тегін алды, яғни «Маргиттадан» (қазіргі Маргита, Румыния) деген мағынаны білдіреді. Отбасының бұл қаламен ешқандай байланысы болған жоқ; тегі Маргареттің құрметіне таңдалды, сондай-ақ олар таңдаған гербте үш маргарита суреті бейнеленген. Нойман Янош Маргиттаи Нойман Янош (Джон Нойман де Маргитта) атанды, кейін ол неміс тілінде Йохан фон Нойман деп өзгертілді.
Von Neumann was born in Budapest, Kingdom of Hungary (then part of the Austro Hungarian Empire), on December 28, 1903, to a wealthy, non observant Jewish family. His birth name was Neumann János Lajos. In Hungarian, the family name comes first, and his given names are equivalent to John Louis in English. He was the eldest of three brothers; his two younger siblings were Mihály (Michael) and Miklós (Nicholas). His father Neumann Miksa (Max von Neumann) was a banker and held a doctorate in law. He had moved to Budapest from Pécs at the end of the 1880s. Miksa's father and grandfather were born in Ond (now part of Szerencs), Zemplén County, northern Hungary. John's mother was Kann Margit (Margaret Kann); her parents were Jakab Kann and Katalin Meisels of the Meisels family. Three generations of the Kann family lived in spacious apartments above the Kann Heller offices in Budapest; von Neumann's family occupied an 18 room apartment on the top floor. On February 20, 1913, Emperor Franz Joseph elevated John's father to the Hungarian nobility for his service to the Austro Hungarian Empire. The Neumann family thus acquired the hereditary appellation Margittai, meaning "of Margitta" (today Marghita, Romania). The family had no connection with the town; the appellation was chosen in reference to Margaret, as was their chosen coat of arms depicting three marguerites. Neumann János became margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), which he later changed to the German Johann von Neumann.
Керемет бала
Фон Нойман алты жасында сегіз таңбалы екі санды бөліп, ежелгі грек тілінде сөйлейтін дарынды бала еді. Ол, оның ағалары мен туыстары гувернанталардың сабағын алды. Фон Нейманның әкесі ана тілінен басқа тілдерді білудің маңыздылығына сенді, сондықтан балалар ағылшын, француз, неміс және итальян тілдерін үйренді. Сегіз жасында Фон Нойман дифференциалдық және интегралдық есептеумен танысты, ал он екі жасында Борельдің «Функциялар теориясы» еңбегін оқыды. Ол сонымен қатар тарихқа қызығушылық танытып, Вильгельм Онкеннің 46 томдық «Жалпы тарих монографиялармен» (Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen) атты дүниежүзілік тарих сериясын оқыды. Пәтердегі бір бөлме кітапхана мен оқу залына айналдырылды. 1914 жылы Фон Нойман лютерандық Fasori Evangélikus Gimnázium-ға қабылданды. Юджин Вигнер мектепте Фон Нойманнан бір жыл үлкен болды және жақын досы атанды. Фон Нейманның әкесі оның жасына сай сыныпқа баруын қалағанмен, оған қосымша білім беру үшін жеке репетиторлар жалдауға келісті. 15 жасында ол аналитик Габор Сегеден жоғары математикалық есептеуді оқуға кірісті. 19 жасқа келгенде Фон Нойман екі маңызды математикалық мақала жариялады, олардың екіншісі ординал сандардың қазіргі заманғы анықтамасын берді, ол Георг Кантордың анықтамасын ескірді. Гимназияны бітіргеннен кейін ол математика саласындағы ұлттық сыйлық – Эотвос сыйлығын жеңіп алды.
Von Neumann was a child prodigy who at six years old could divide two eight digit numbers in his head and converse in Ancient Greek. He, his brothers and his cousins were instructed by governesses. Von Neumann's father believed that knowledge of languages other than their native Hungarian was essential, so the children were tutored in English, French, German and Italian. By age eight, von Neumann was familiar with differential and integral calculus, and by twelve he had read Borel's La Théorie des Fonctions. He was also interested in history, reading Wilhelm Oncken's 46 volume world history series Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (General History in Monographs). One of the rooms in the apartment was converted into a library and reading room. Von Neumann entered the Lutheran Fasori Evangélikus Gimnázium in 1914. Eugene Wigner was a year ahead of von Neumann at the school and soon became his friend. Although von Neumann's father insisted that he attend school at the grade level appropriate to his age, he agreed to hire private tutors to give von Neumann advanced instruction. At 15, he began to study advanced calculus under the analyst Gábor Szegő. By 19, von Neumann had published two major mathematical papers, the second of which gave the modern definition of ordinal numbers, which superseded Georg Cantor's definition. At the conclusion of his education at the gymnasium, he applied for and won the Eötvös Prize, a national award for mathematics.
Университет оқулары
Досы Теодор фон Карманның айтуынша, фон Нейманның әкесі Джонның өзінен кейін өнеркәсіпке кіруін қалаған және фон Карманнан ұлын математикадан бас тартуға көндіруін сұрады. Фон Нейман мен оның әкесі химиялық инженерияның ең жақсы мансап жолы екеніне келісті. Бұл салаға фон Нейманның көп білімі болмағандықтан, ол Берлин университетінде химиядан екі жылдық, дипломдық емес курсқа қабылданды, содан кейін 1923 жылдың қыркүйегінде Цюрихтегі ЭТХ-ға (ETH Zurich) түсу емтиханына өтті. Сонымен қатар фон Нейман Будапешттегі Пазмань Петер университетінде математика ғылымдарының кандидаты ретінде оқуға түсті. Ол өзінің диссертациясы үшін Кантордың теориялық жиынтығының аксиоматизациясын жасады. 1926 жылы ол Цюрихтегі ЭТХ-тан химиялық инженер мамандығын алып, сонымен бірге математика ғылымдарының докторы (Ph.D.) үшін қорытынды емтихандарын summa cum laude бағасымен тапсырды (эксперименталды физика және химия бойынша қосымша курстармен). Содан кейін ол Рокфеллер қорының грантымен Геттинген университетіне Дэвид Гильберттің басшылығымен математиканы оқуға кетті. Герман Вейл 1926–1927 жылдары қыста фон Нейман, Эмми Нётер және ол сабақтан кейін "Геттингеннің суық, ылғал, жаңбырлы көшелерінде" гиперкешендік сандар жүйелері және олардың бейнелеулері туралы талқылағандарын еске алады.
According to his friend Theodore von Kármán, von Neumann's father wanted John to follow him into industry, and asked von Kármán to persuade his son not to take mathematics. Von Neumann and his father decided that the best career path was chemical engineering. This was not something that von Neumann had much knowledge of, so it was arranged for him to take a two year, non degree course in chemistry at the University of Berlin, after which he sat for the entrance exam to ETH Zurich, which he passed in September 1923. Simultaneously von Neumann entered Pázmány Péter University in Budapest, as a Ph. D. candidate in mathematics. For his thesis, he produced an axiomatization of Cantor's set theory. He graduated as a chemical engineer from ETH Zurich in 1926, and simultaneously passed his final examinations summa cum laude for his Ph. D. in mathematics (with minors in experimental physics and chemistry). He then went to the University of Göttingen on a grant from the Rockefeller Foundation to study mathematics under David Hilbert. Hermann Weyl remembers how in the winter of 1926–1927 von Neumann, Emmy Noether, and he would walk through "the cold, wet, rain wet streets of Göttingen" after class discussing hypercomplex number systems and their representations.
Кәсібі және жеке өмірі
Фон Нойманның абилитациясын 1927 жылғы 13 желтоқсанда аяқтады, ал 1928 жылы Берлин университетінде приват-доцент ретінде дәріс беруді бастады. Ол университет тарихындағы ең жас приват-доцент болды. Ол ай сайын бір маңызды математикалық мақала жаза бастады. 1929 жылы ол қысқа мерзімге Гамбург университетінде приват-доцент болып жұмыс істеді, онда тұрақты профессорлық қызметке қол жеткізу мүмкіндігі жақсырақ болды, содан кейін сол жылдың қазан айында математикалық физикадан шақырылған лектор ретінде Принстон университетіне көшті. Фон Нойман 1930 жылы католик дініне өтті. Ұзақ өтпей ол Будапешт университетінде экономиканы оқыған Мариетта Кёвешиге үйленді. Фон Нойман мен Мариеттаның 1935 жылы Марина есімді қызы дүниеге келді, ол кейіннен профессор болды. Жұбайлар 1937 жылғы 2 қарашада ажырасып кетті. 1938 жылғы 17 қарашада фон Нойман Клара Данға үйленді. 1933 жылы фон Нойман Нью-Джерсидегі Жоғары оқу орындарында тұрақты профессорлық қызметке қабылданды, бұл институттың Герман Вейлді тағайындау жоспары сәтсіз аяқталғаннан кейін болды. Оның анасы, бауырлары және туыстары 1939 жылы фон Нойманмен бірге АҚШ-қа көшті. Фон Нойман өзінің есімін Джон деп өзгертіп, неміс аристократиялық тегін – фон Нойманды сақтап қалды. Фон Нойман 1937 жылы АҚШ азаматы болды және дереу АҚШ Армиясының офицерлік резерв корпусында лейтенант болуға тырысты. Ол емтиханды тапсырды, бірақ жасының қалыптасқандығына байланысты қабылданбады. Клара мен Джон фон Нойман жергілікті академиялық қауымдастықта белсенділік танысты. Оның Уэскотт жолындағы ақ жабынталған үйі Принстонның ең ірі жекеменшік үйлерінің бірі болды. Ол әрқашан ресми костюм киетін. Ол барлық білім деңгейіндегі адамдарға ғылыми және математикалық кеңес беруге әрқашан дайын болды. Вигнердің айтуынша, ол кез келген заманауи математиктен гөрі көп жұмыстың бақылауын жүзеге асырды. Оның қызы оның мұрасының екі жағына қатты мән бергенін айтты: оның өмірі және оның әлемге қосқан интеллектуалдық үлесі. Көптеген адамдар оны комитет төрағасы ретінде өте жақсы санайтын, жеке немесе ұйымдық мәселелерде оңай келісімге келіп, техникалық мәселелерде талапкер болатын. Герберт Йорк өзі қатысқан көптеген «Вон Нойман комитеттерін» «стилімен де, нәтижесімен де ерекше» деп сипаттады. Фон Нойман төрағалық еткен комитеттердің қажетті әскери немесе корпоративтік органдармен тікелей және тығыз жұмыс істеуі, Әуе күштерінің ұзақ қашықтықтағы зымыран бағдарламаларының жоспарына үлгі болды. Фон Нойманды білген көптеген адамдар оның әскери және жалпы билік құрылымдарымен қарым-қатынасына таңырды. Станислав Улам оның басқалардың ой-пікірлеріне және шешімдеріне әсер ете алатын адамдар мен ұйымдарға құпия құштарлық танытқанын күдіктенді. Сонымен қатар ол жастық шағында үйренген тілдерін білуін сақтап қалды. Ол венгр, француз, неміс және ағылшын тілдерін еркін білді, сонымен қатар итальян, идиш, латын және көне грек тілдерінде сөйлей білді. Оның испан тілі толыққанды болмады. Ол ежелгі тарихқа құмар болды және ежелгі грек тарихшыларын түпнұсқа грек тілінде оқуды ұнататын. Улам олардың болашақ оқиғалардың қалай дамитыны және жалпы адам табиғаты мен қоғамның қалай жұмыс істейтіні туралы оның көзқарастарына әсер еткенін күдіктенді. Америка Құрама Штаттарында фон Нойманның ең жақын досы математик Станислав Улам болды. Фон Нойман өзінің математикалық ойлауының көп бөлігі интуитивті түрде жүзеге асады деп сенді; ол көбінесе проблеманы шеше алмай ұйықтап, оянғаннан кейін жауабын білетін. Улам фон Нойманның ойлау әдісі визуалды емес, көбірек аудиолық болуы мүмкін екенін атап өтті. Улам еске алды: «Абстрактілі әзілге деген ұнатуына қарамастан, ол жер бетіндегі күлкілі және әзіл-қалжыңдарға қатты риза болды (кейбіреулер оны ашкөз дейді)».
Von Neumann's habilitation was completed on December 13, 1927, and he began to give lectures as a Privatdozent at the University of Berlin in 1928. He was the youngest person elected Privatdozent in the university's history. He began writing nearly one major mathematics paper per month. In 1929, he briefly became a Privatdozent at the University of Hamburg, where the prospects of becoming a tenured professor were better, then in October of that year moved to Princeton University as a visiting lecturer in mathematical physics. Von Neumann was baptized a Catholic in 1930. Shortly afterward, he married Marietta Kövesi, who had studied economics at Budapest University. Von Neumann and Marietta had a daughter, Marina, born in 1935; she would become a professor. The couple divorced on November 2, 1937. On November 17, 1938, von Neumann married Klara Dan. In 1933 Von Neumann accepted a tenured professorship at the Institute for Advanced Study in New Jersey, when that institution's plan to appoint Hermann Weyl appeared to have failed. His mother, brothers and in laws followed von Neumann to the United States in 1939. Von Neumann anglicized his name to John, keeping the German aristocratic surname von Neumann. Von Neumann became a naturalized U. S. citizen in 1937, and immediately tried to become a lieutenant in the U. S. Army's Officers Reserve Corps. He passed the exams but was rejected because of his age. Klara and John von Neumann were socially active within the local academic community. His white clapboard house on Westcott Road was one of Princeton's largest private residences. He always wore formal suits. He was known for always being happy to provide others of all ability levels with scientific and mathematical advice. Wigner wrote that he perhaps supervised more work (in a casual sense) than any other modern mathematician. His daughter wrote that he was very concerned with his legacy in two aspects: her life and the durability of his intellectual contributions to the world. Many considered him an excellent chairman of committees, deferring rather easily on personal or organizational matters but pressing on technical ones. Herbert York described the many "Von Neumann Committees" that he participated in as "remarkable in style as well as output". The way the committees von Neumann chaired worked directly and intimately with the necessary military or corporate entities became a blueprint for all Air Force long range missile programs. Many people who had known von Neumann were puzzled by his relationship to the military and to power structures in general. Stanisław Ulam suspected that he had a hidden admiration for people or organizations that could influence the thoughts and decision making of others. He also maintained his knowledge of languages learnt in his youth. He knew Hungarian, French, German and English fluently, and maintained a conversational level of Italian, Yiddish, Latin and Ancient Greek. His Spanish was less perfect. He had a passion for and encyclopedic knowledge of ancient history, and he enjoyed reading Ancient Greek historians in the original Greek. Ulam suspected they may have shaped his views on how future events could play out and how human nature and society worked in general. Von Neumann's closest friend in the United States was the mathematician Stanisław Ulam. Von Neumann believed that much of his mathematical thought occurred intuitively; he would often go to sleep with a problem unsolved and know the answer upon waking up. Ulam noted that von Neumann's way of thinking might not be visual, but more aural. Ulam recalled, "Quite independently of his liking for abstract wit, he had a strong appreciation (one might say almost a hunger) for the more earthy type of comedy and humor".
Ауру және өлім
1955 жылы фон Нейманның кілт сүйегінің жанында ісік табылды, ол сүйек, бүйрек немесе простатадан бастау алған қатерлі ісік екені анықталды. (Ісіктің метастазға ұшырағаны туралы барлық деректер келіседі, бірақ бастапқы қатерлі ісіктің қай жерде пайда болғаны туралы мәліметтер әртүрлі.) Бұл қатерлі ісік Лос-Аламос Ұлттық зертханасындағы сәулеленуге байланысты болуы мүмкін. Пастор Стриттматтер еске алғандай, соңғы қасиетті рәсімдерді өткергеннен кейін де фон Нейман тыныштық таба алмады, өйткені ол өлімнен қатты қорқып, жағдайын қабылдай алмады. Діни көзқарастары туралы фон Нейман: «Егер сенбегендер үшін мәңгілік тозаққа түсу мүмкіндігі болса, соңында сенуші болу логикалық», – деген. Бұл Паскальдің тәуекеліне қатысты айтылған сөз. Ол анасына: «Мүмкін, Құдай бар болуы керек. Оның бар екені жайлырақ, болмаса қиынрақ түсіндіруге болады», – деп сенім білдірген. Ол 1957 жылдың 8 ақпанында Уолтер Рид әскери медициналық ауруханасында қайтыс болды және Принстон зиратына жерленді.
In 1955, a mass was found near von Neumann's collarbone, which turned out to be cancer originating in the skeleton, pancreas or prostate. (While there is general agreement that the tumor had metastasised, sources differ on the location of the primary cancer.) The malignancy may have been caused by exposure to radiation at Los Alamos National Laboratory. Father Strittmatter recalled that even after receiving the last rites, von Neumann did not receive much peace or comfort from it, as he remained terrified of death and unable to accept his circumstances. Of his religious views, Von Neumann reportedly said, "So long as there is the possibility of eternal damnation for nonbelievers it is more logical to be a believer at the end," referring to Pascal's wager. He confided to his mother, "There probably has to be a God. Many things are easier to explain if there is than if there isn't." He died on February 8, 1957, at Walter Reed Army Medical Hospital and was buried at Princeton Cemetery.
Жинақ теориясы
ХХ ғасырдың басында математиканы наивтік жиынтық теориясына негіздеуге жасалған тыраштандықта Расселдің парадоксы (өздеріне тиесілі емес барлық жиынтықтардың жиынтығы) салдарынан үзіліс болды. Жиынтық теориясының тиімді аксиоматизациясы мәселесі шамамен жиырма жылдан кейін Эрнст Зермело мен Абрахам Френкель тарапынан шешілді. Зермело-Франкель жиынтық теориясы математиканың күнделікті практикасында қолданылатын жиынтықтарды құруға мүмкіндік беретін қағидалар жиынтығын ұсынды, бірақ өзіне тиесілі жиынтықтың болу мүмкіндігін нақты жоққа шығармады. 1925 жылғы докторлық диссертациясында фон Нейман мұндай жиынтықтарды жоюдың екі тәсілін көрсетті: негіз аксиомасы және класс ұғымы. Негіз аксиомасы бойынша, әрбір жиынтық Зермело-Франкель қағидалары арқылы реттелген қадамдар тізбегі бойынша төменнен жоғарыға қарай құрастырылуы мүмкін. Егер бір жиынтық екіншісіне тиесілі болса, онда біріншісі тізбекте екіншісінен бұрын келуі керек. Бұл өзін-өзі тиесілі жиынтықтың болуын жоққа шығарады. Осы жаңа аксиоманы басқаларымен қосу қайшылықтар тудырмағанын көрсету үшін фон Нейман ішкі модельдер әдісін енгізді, ол жиынтық теориясында маңызды дәлелдеу құралына айналды. Өздеріне тиесілі жиынтықтар мәселесіне екінші тәсіл класс ұғымын негізге алды, жиынтықты басқа классқа тиесілі класс ретінде анықтайды, ал өзіндік класс басқа классқа тиесілі емес класс ретінде анықталады. Зермело-Франкель тәсілі бойынша аксиомалар өзіне тиесілі емес барлық жиынтықтардың жиынтығын құруға кедергі келтіреді. Керісінше, фон Нейман тәсілі бойынша, өзіне тиесілі емес барлық жиынтықтардың класын құруға болады, бірақ ол жиынтық емес, өзіндік класс болып табылады. Жалпы алғанда, фон Нейманның жиынтық теориясындағы маңызды жетістігі – «жиынтық теориясының аксиоматизациясы және (оған байланысты) ординалдық және кардиналдық сандардың көркем теориясы, сондай-ақ трансфинитті индукция арқылы анықтамалар қағидаларының алғашқы қатаң тұжырымы» болды.
At the beginning of the 20th century, efforts to base mathematics on naive set theory suffered a setback due to Russell's paradox (on the set of all sets that do not belong to themselves). The problem of an adequate axiomatization of set theory was resolved implicitly about twenty years later by Ernst Zermelo and Abraham Fraenkel. Zermelo–Fraenkel set theory provided a series of principles that allowed for the construction of the sets used in the everyday practice of mathematics, but did not explicitly exclude the possibility of the existence of a set that belongs to itself. In his 1925 doctoral thesis, von Neumann demonstrated two techniques to exclude such sets—the axiom of foundation and the notion of class. The axiom of foundation proposed that every set can be constructed from the bottom up in an ordered succession of steps by way of the Zermelo–Fraenkel principles. If one set belongs to another, then the first must necessarily come before the second in the succession. This excludes the possibility of a set belonging to itself. To demonstrate that the addition of this new axiom to the others did not produce contradictions, von Neumann introduced the method of inner models, which became an essential demonstration instrument in set theory. The second approach to the problem of sets belonging to themselves took as its base the notion of class, and defines a set as a class that belongs to other classes, while a proper class is defined as a class that does not belong to other classes. On the Zermelo–Fraenkel approach, the axioms impede the construction of a set of all sets that do not belong to themselves. In contrast, on von Neumann's approach, the class of all sets that do not belong to themselves can be constructed, but it is a proper class, not a set. Overall, von Neumann's major achievement in set theory was an "axiomatization of set theory and (connected with that) elegant theory of the ordinal and cardinal numbers as well as the first strict formulation of principles of definitions by the transfinite induction".
Фон Нойманның парадоксы
Феликс Хаусдорфтың (1914) Хаусдорф парадоксіне сүйене отырып, 1924 жылы Стефан Банах және Альфред Тарски үш өлшемді шарды бір-бірімен қиылыспайтын жиынтарға қалай бөлуге және содан кейін осы жиынтарды жылжыту және бұру арқылы сол шардың екі бірдей көшірмесін жасауға болатынын көрсетті; бұл Банах-Тарски парадоксы. Олар сондай-ақ екі өлшемді дискте мұндай парадоксалдық бөліністің болмайтынын дәлелдеді. Бірақ 1929 жылы фон Нейман дискті шекті сандағы бөліктерге бөліп, оларды екі дискке қайта жинады, жылжу және бұрудың орнына ауданы сақтайтын аффиндік түрлендірулерді қолданды. Бұл нәтиже аффиндік түрлендірулердің еркін топтарын табуға байланысты болды, және фон Нейман бұл маңызды әдісті кейінірек өлшемдер теориясы бойынша жұмысында одан әрі дамытты.
Building on the Hausdorff paradox of Felix Hausdorff (1914), Stefan Banach and Alfred Tarski in 1924 showed how to subdivide a three dimensional ball into disjoint sets, then translate and rotate these sets to form two identical copies of the same ball; this is the Banach–Tarski paradox. They also proved that a two dimensional disk has no such paradoxical decomposition. But in 1929, von Neumann subdivided the disk into finitely many pieces and rearranged them into two disks, using area preserving affine transformations instead of translations and rotations. The result depended on finding free groups of affine transformations, an important technique extended later by von Neumann in his work on measure theory.
Дәлел теориясы
Фон Нейманның жиындарға қосқан үлесімен жиындар теориясының аксиоматикалық жүйесі бұрынғы жүйелердегі қайшылықтардан сақталып, тұрақтылығының дәлелі болмаса да математиканың негізі ретінде қолдануға мүмкіндік алды. Екінші сұрақ – бұл жүйе математикалық сұрақтардың барлығына нақты жауап бере ме, әлде теоремалардың кең ауқымын дәлелдеуге арналған күштірек аксиомаларды қосу арқылы жақсартылуы мүмкін бе? 1927 жылы фон Нейман Геттингенде элементар арифметиканың Пеано аксиомаларынан туындайтыны туралы пікір алмасуға қатысты. Аккерманның еңбектеріне сүйене отырып, ол бірінші реттік арифметиканың тұрақтылығын дәлелдеуге кірісті (Гилберт мектебінің финистик әдістерін пайдалана отырып). Ол табиғи сандар арифметикасының бір бөлігінің тұрақтылығын дәлелдеуге жетті (индукцияға шектеулер қою арқылы). Дәлелдеу теориясының әдістерін қолдана отырып, классикалық математиканың тұрақтылығын дәлелдеудің жалпылама тәсілін табуға тырысты. 1930 жылдың қыркүйегінде Нақты ғылымдардың эпистемологиясы жөніндегі екінші конференцияда бұған анық жоқ жауап берілді, онда Курт Гёдель өзінің бірінші толық еместік теоремасын жариялады: қалыпты аксиоматикалық жүйелер толық емес, яғни олар өз тілінде білдірілген әрбір шындықты дәлелдей алмайды. Сонымен қатар, осы жүйелердің кез келген тұрақты кеңейтілуі міндетті түрде толық емес болып қалады. Конференцияда фон Нейман Гёделге оның нәтижелерін бүтін сандар туралы шешілмейтін мәселелерге түрлендіруге тырысуды ұсынды. Бір айдан кейін фон Нейман Гёделге теоремасының қызықты салдарымен хабарлады: қалыпты аксиоматикалық жүйелер өздерінің тұрақтылығын дәлелдей алмайды. Гёдель бұл салдарды, қазір оның екінші толық еместік теоремасы ретінде танылған, бұрыннан-ақ тапқанын және екі нәтижені де қамтитын мақаласының алдын ала басылымын жіберуге дайын екенін жауап берді, бірақ ол жарияланбады. Фон Нейман келесі хатында Гёдельдің басымдығын мойындады. Дегенмен, фон Нейманның дәлелдеу әдісі Гёдельдікінен өзгеше болды, сондай-ақ ол екінші толық еместік теорема Гёдель ойлағаннан гөрі Гилберт бағдарламасына күштірек соққы берді деп санады. Осы жаңалық, математикалық қатаңдық туралы көзқарасын түбірімен өзгерткен фон Нейман математика мен метаматематика негіздерін зерттеуді тоқтатып, оның орнына қолданбалы мәселелерге көшті.
With the contributions of von Neumann to sets, the axiomatic system of the theory of sets avoided the contradictions of earlier systems and became usable as a foundation for mathematics, despite the lack of a proof of its consistency. The next question was whether it provided definitive answers to all mathematical questions that could be posed in it, or whether it might be improved by adding stronger axioms that could be used to prove a broader class of theorems. By 1927, von Neumann was involving himself in discussions in Göttingen on whether elementary arithmetic followed from Peano axioms. Building on the work of Ackermann, he began attempting to prove (using the finistic methods of Hilbert's school) the consistency of first order arithmetic. He succeeded in proving the consistency of a fragment of arithmetic of natural numbers (through the use of restrictions on induction). He continued looking for a more general proof of the consistency of classical mathematics using methods from proof theory. A strongly negative answer to whether it was definitive arrived in September 1930 at the Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences, in which Kurt Gödel announced his first theorem of incompleteness: the usual axiomatic systems are incomplete, in the sense that they cannot prove every truth expressible in their language. Moreover, every consistent extension of these systems necessarily remains incomplete. At the conference, von Neumann suggested to Gödel that he should try to transform his results for undecidable propositions about integers. Less than a month later, von Neumann communicated to Gödel an interesting consequence of his theorem: the usual axiomatic systems are unable to demonstrate their own consistency. Gödel replied that he had already discovered this consequence, now known as his second incompleteness theorem, and that he would send a preprint of his article containing both results, which never appeared. Von Neumann acknowledged Gödel's priority in his next letter. However, von Neumann's method of proof differed from Gödel's, and he was also of the opinion that the second incompleteness theorem had dealt a much stronger blow to Hilbert's program than Gödel thought it did. With this discovery, which drastically changed his views on mathematical rigor, von Neumann ceased research in the foundations of mathematics and metamathematics and instead spent time on problems connected with applications.
Эргодикалық теория
1932 жылы жарияланған бірқатар еңбектерінде фон Нейман математиканың инвариант өлшемді динамикалық жүйелердің күйлерін зерттейтін – эргодикалық теорияға негізгі үлес қосты. 1932 жылғы эргодикалық теорияға арналған мақалалар туралы Пол Халмос: «Егер фон Нейман басқа ештеңе жасамаған болса да, олар оған математикалық мәңгілікке қол жеткізуге жеткілікті болар еді» деп жазды. Ол кезде фон Нейман операторлар теориясы бойынша мақалаларын жазып бітірген еді, және осы жұмысты қолдану оның орташа эргодикалық теоремасында шешуші роль атқарды. Теорема кез келген бір параметрлі унитарлық топтар туралы, және Хилберт кеңістігіндегі әрбір вектор үшін, Хилберт нормасымен анықталған метрика мағынасында шешімі бар, және ол барлық үшін осындай вектор болып табылады. Бұл бірінші мақалада дәлелденді. Екінші мақаласында фон Нейман оның нәтижелері Болцманның эргодикалық гипотезасына қатысты физикалық қолданыстар үшін жеткілікті екенін көрсетті. Сондай-ақ ол эргодизмге әлі қол жеткізілмегенін және оны болашақ зерттеулер үшін бөліп қарастырғанын атап өтті. Осы жылы ол эргодизмді жүйелі түрде зерттеуді бастаған тағы бір маңызды мақала жариялады. Ол нақты сызықтың эргодикалық өлшемді сақтайтын әрекеттерінің барлық өлшемді сақтайтын әрекеттерді құруға болатын негізгі құрылыс блоктары екенін көрсететін ыдырау теоремасын берді және дәлелдеді. Тағы бірнеше маңызды теоремалар келтіріліп, дәлелденді. Осы мақаланың және Пол Халмоспен бірлесіп жазылған тағы бір мақаланың нәтижелері математиканың басқа салаларында маңызды қолданысқа ие.
In a series of papers published in 1932, von Neumann made foundational contributions to ergodic theory, a branch of mathematics that involves the states of dynamical systems with an invariant measure. Of the 1932 papers on ergodic theory, Paul Halmos wrote that even "if von Neumann had never done anything else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical immortality". By then von Neumann had already written his articles on operator theory, and the application of this work was instrumental in his mean ergodic theorem. The theorem is about arbitrary one parameter unitary groups and states that for every vector in the Hilbert space, exists in the sense of the metric defined by the Hilbert norm and is a vector which is such that for all This was proven in the first paper. In the second paper, von Neumann argued that his results here were sufficient for physical applications relating to Boltzmann's ergodic hypothesis. He also pointed out that ergodicity had not yet been achieved and isolated this for future work. Later in the year he published another influential paper that began the systematic study of ergodicity. He gave and proved a decomposition theorem showing that the ergodic measure preserving actions of the real line are the fundamental building blocks from which all measure preserving actions can be built. Several other key theorems are given and proven. The results in this paper and another in conjunction with Paul Halmos have significant applications in other areas of mathematics.
Өлшем теориясы
Өлшем теориясында n өлшемді Евклид кеңістігі 'R'^(n) үшін "өлшем мәселесі" былай қойылуы мүмкін: "R'^(n) кеңістігінің барлық ішкі жиындары класында оң, нормаланған, инвариантты және аддитивті жиындық функция бар ма?" Феликс Хаусдорф пен Стефан Банахтың жұмысы 1=n = 1 немесе 1=n = 2 болғанда өлшем мәселесіне оң шешім бар екенін, ал қалған жағдайларда теріс шешім бар екенін (Банах-Тарский парадоксының салдарынан) көрсетті. Фон Нейманның еңбегінде "мәселе негізінен топтық-теориялық сипатта" делінген: өлшемнің болуы берілген кеңістіктің трансформация тобының қасиеттерін қарастыру арқылы анықталуы мүмкін. Екі өлшемді кеңістіктер үшін оң шешім, ал жоғары өлшемді кеңістіктер үшін теріс шешім, Евклид тобы екі өлшемді кеңістіктер үшін шешілетін топ болса, жоғары өлшемді кеңістіктер үшін шешілмейтін топ болып табылуына байланысты. "Осылайша, фон Нейманның пікірінше, маңызды өзгеріс – кеңістіктің емес, топтың өзгеруі". Шамамен 1942 жылы ол Дороти Махарамға әрбір толық σ-шекті өлшем кеңістігінің мультипликативті көтерілісінің бар екенін қалай дәлелдеу керектігін айтты; ол бұл дәлелді жарияламады, ал ол кейіннен жаңа дәлел келтірді. Фон Нейманның көптеген еңбектерінде оның қолданған аргументация әдістері нәтижелерден де маңызды деп есептеледі. Операторлардың алгебрасындағы өлшем теориясын зерттеуге дайындалып, фон Нейман шекті декомпозиция арқылы эквиваленттілік туралы нәтижелерді пайдаланды және өлшем мәселесін функциялар тұрғысынан қайта формулирледі. Фон Нейманның өлшем теориясына қосқан маңызды үлесі – Хаардың нақты сандар осындағы барлық шектелген функциялардың алгебрасының бар-жоқтығы туралы сұраққа жауап беру мақсатымен жазылған мақаланың нәтижесі болды. Олар "демеушілікпен шамалы дерлік тең өлшенетін шектелген функциялардың кластарының толық жүйесін" құрайды. Ол бұл туралы оң пікір білдірді, ал кейінірек Стоунмен бірге жарық көрген еңбектерінде осы мәселенің әртүрлі жалпыламалары мен алгебралық аспектілері талқыланды. Ол сондай-ақ жаңа әдістермен әртүрлі жалпы шаралар үшін ыдыраулардың бар екенін дәлелдеді. Фон Нейман функциялардың орташа мәндерін пайдалану арқылы Haar шараларының бірегейлігі туралы жаңа дәлел келтірді, бірақ бұл әдіс тек компактты топтар үшін ғана жұмыс істеді. Ол оны жергілікті компактты топтарға қолдану үшін жаңа техникалар жасауға мәжбүр болды. Сонымен қатар, ол Радон-Никодим теоремасының жаңа, тапқыр дәлелін ұсынды. Оның Жоғары оқу институтындағы өлшем теориясы бойынша лекция жазбалары сол кезде Америкадағы осы тақырып бойынша білімнің маңызды көзі болды және кейіннен жарияланды.
In measure theory, the "problem of measure" for an n dimensional Euclidean space 'R'^(n) may be stated as: "does there exist a positive, normalized, invariant, and additive set function on the class of all subsets of 'R'^(n)?" The work of Felix Hausdorff and Stefan Banach had implied that the problem of measure has a positive solution if 1=n = 1 or 1=n = 2 and a negative solution (because of the Banach–Tarski paradox) in all other cases. Von Neumann's work argued that the "problem is essentially group theoretic in character": the existence of a measure could be determined by looking at the properties of the transformation group of the given space. The positive solution for spaces of dimension at most two, and the negative solution for higher dimensions, comes from the fact that the Euclidean group is a solvable group for dimension at most two, and is not solvable for higher dimensions. "Thus, according to von Neumann, it is the change of group that makes a difference, not the change of space." Around 1942 he told Dorothy Maharam how to prove that every complete σ finite measure space has a multiplicative lifting; he did not publish this proof and she later came up with a new one. In a number of von Neumann's papers, the methods of argument he employed are considered even more significant than the results. In anticipation of his later study of dimension theory in algebras of operators, von Neumann used results on equivalence by finite decomposition, and reformulated the problem of measure in terms of functions. A major contribution von Neumann made to measure theory was the result of a paper written to answer a question of Haar regarding whether there existed an algebra of all bounded functions on the real number line such that they form "a complete system of representatives of the classes of almost everywhere equal measurable bounded functions". He proved this in the positive, and in later papers with Stone discussed various generalizations and algebraic aspects of this problem. He also proved by new methods the existence of disintegrations for various general types of measures. Von Neumann also gave a new proof on the uniqueness of Haar measures by using the mean values of functions, although this method only worked for compact groups. He had to create entirely new techniques to apply this to locally compact groups. He also gave a new, ingenious proof for the Radon–Nikodym theorem. His lecture notes on measure theory at the Institute for Advanced Study were an important source for knowledge on the topic in America at the time, and were later published.
Топологиялық топтар
Өлшемдер теориясы бойынша бұрынғы жұмыстарын пайдалана отырып, фон Нейман топологиялық топтар теориясына бірнеше үлес қосты, бұл топтардағы дерлік периодты функциялар туралы мақаламен басталды, онда фон Нейман Бордың дерлік периодты функциялар теориясын кез келген топтарға кеңейтті. Ол бұл жұмысты Бохнермен бірлесіп жазған тағы бір мақаласымен жалғастырды, ол сандардың орнына сызықтық кеңістіктердің элементтерін мән ретінде қабылдайтын функцияларды қамту үшін дерлік периодтылық теориясын жетілдірді. 1938 жылы ол осы мақалаларға байланысты талдау саласындағы жұмыстары үшін Бохер естелік сыйлығына ие болды. 1933 жылғы мақаласында ол компактты топтар үшін Хилберттің бесінші мәселесін шешуде жаңадан ашылған Хаар өлшемін қолданды. Бұл идеяның негізі бірнеше жыл бұрын фон Нейман сызықтық түрлендірулердің топтарының аналитикалық қасиеттері туралы мақала жариялағанда және жалпы сызықтық топтың жабық кіші топтарының Ли топтары екенін анықтағанда пайда болған. Кейін Картан бұл идеяны жабық кіші топ теоремасы түрінде барлық Ли топтарына кеңейтті.
Using his previous work on measure theory, von Neumann made several contributions to the theory of topological groups, beginning with a paper on almost periodic functions on groups, where von Neumann extended Bohr's theory of almost periodic functions to arbitrary groups. He continued this work with another paper in conjunction with Bochner that improved the theory of almost periodicity to include functions that took on elements of linear spaces as values rather than numbers. In 1938, he was awarded the Bôcher Memorial Prize for his work in analysis in relation to these papers. In a 1933 paper, he used the newly discovered Haar measure in the solution of Hilbert's fifth problem for the case of compact groups. The basic idea behind this was discovered several years earlier when von Neumann published a paper on the analytic properties of groups of linear transformations and found that closed subgroups of a general linear group are Lie groups. This was later extended by Cartan to arbitrary Lie groups in the form of the closed subgroup theorem.
Функционалдық талдау
Фон Нейман абстрактілдік Гильберт кеңістігін аксиомалық тұрғыда алғаш рет анықтады. Ол оны гермиттік скалярлық көбейтіндісі бар комплекс векторлық кеңістік ретінде анықтады, сәйкес нормасы бөлінетін де, толық та болатын. Сол еңбектерінде ол бұрын белгілі мысалдарда ғана белгілі болған Коши-Шварц теңсіздігінің жалпы түрін дәлелдеді. 1929 және 1932 жылдар аралығында үш маңызды еңбегінде ол Гильберт кеңістігіндегі операторлардың спектрлік теориясын дамыта берді. Бұл жұмысының нәтижесі «Кванттық механиканың математикалық негіздері» атты еңбегінде жинақталды, ол сол жылы Стоун мен Банахтың тағы екі кітабымен бірге Гильберт кеңістігі теориясы бойынша алғашқы монографиялардың бірі болды. Алдыңғы жұмыстарда басқалар әлсіз топологиялар теориясын тізбектерді қолдану арқылы алу мүмкін емес екенін көрсеткен. Фон Нейман қиындықтарды жеңу жолының бағдарламасын алғаш рет ұсынды, нәтижесінде ол жергілікті дөңес кеңістіктер мен топологиялық векторлық кеңістіктерді алғаш рет анықтады. Сонымен қатар, ол сол кезде анықтаған бірнеше басқа топологиялық қасиеттер (ол Гаусдорфтың евклидтік кеңістіктен Гильберт кеңістігіне жаңа топологиялық идеяларын қолданған алғашқы математиктердің бірі болды), мысалы, шектілік және толық шектілік, бүгінге дейін қолданылып келеді. Жиырма жыл бойы фон Нейман осы саланың «даусыз шебері» саналды. Бұл дамулар негізінен кванттық механикадағы қажеттіліктермен шақырылды, онда фон Нейман гермиттік операторлардың спектрлік теориясын шектелгеннен шексізке дейін кеңейту қажеттігін түсінді. Бұл еңбектердегі басқа да маңызды жетістіктерге қалыпты операторлар үшін спектрлік теорияны толық түсіндіру, оң оператордың ізді абстрактілі түрде алғаш рет ұсыну, Риестің сол кездегі Гильберттің спектрлік теоремаларын жалпылау және Гильберт кеңістігіндегі гермиттік операторларды анықтау (өздік-қосымша операторлардан ерекшеленеді), бұл оған берілген гермиттік операторды кеңейтетін барлық гермиттік операторлардың сипаттамасын беруге мүмкіндік берді. Ол спектрлік теорияда кеңінен қолданылатын шексіз матрицаларды пайдаланудың гермиттік операторларды бейнелеу үшін жеткіліксіз екенін көрсететін мақала жазды. Операторлар теориясы бойынша оның жұмысы таза математикадағы ең маңызды өнертабысына, фон Нейман алгебраларын және жалпы оператор алгебраларын зерттеуге әкелді. Операторлардың сақиналары бойынша кейінгі жұмысы оны спектрлік теория бойынша жұмысын қайта қарауға және Гильберт кеңістіктерінің тікелей интегралдарын пайдалану арқылы геометриялық мазмұн арқылы жұмыс істеудің жаңа тәсілін ұсынуға итерді. Ол өлшем теориясы бойынша жұмысындай, жариялауға уақыт таба алмаған бірнеше теоремаларды дәлелдеді. Ол Нахман Аронсзайн мен К. Т. Смитқа 1930 жылдардың басында Гильберт кеңістігіндегі толық үздіксіз операторлар үшін инвариантты кеңістіктер мәселесін шешу кезінде дұрыс инвариантты кеңістіктердің бар екенін дәлелдегенін айтты. И. Дж. Шенбергпен бірге ол нақты сандар осіндегі трансляциялық инвариантты Гильберт метрикаларын зерттейтін бірнеше еңбектерді жазды, нәтижесінде олардың толық жіктелуіне қол жеткізілді. Олардың мотивациясы Гильберт кеңістігіне метрикалық кеңістіктерді енгізуге байланысты әртүрлі сұрақтарда жатты. Паскуаль Джорданмен бірге ол параллелограмм теңсіздігі арқылы ішкі көбейтіндіден берілген норманы шығарудың алғашқы мысалын келтіретін қысқаша мақала жазды. Оның ізге қатысты теңсіздігі – матрицалық теорияның маңызды нәтижесі, матрицалық жуықтау мәселелерінде қолданылады. Ол сондай-ақ пре-норманың дуалы – норма болып табылады деген идеяны алғаш рет ұсынды, бұл біртінде инвариантты нормалар және симметриялық өлшеу функциялары туралы алғашқы мақалада талқыланды (қазір симметриялық абсолюттік нормалар деп белгілі). Бұл жұмыс симметриялық оператор идеалдарын зерттеуге және симметриялық оператор кеңістіктерін зерттеудің қазіргі заманғы бастапқы нүктесіне әкелді. Кейін Роберт Шаттенмен бірге ол Гильберт кеңістіктеріндегі ядролық операторларды, Банах кеңістіктерінің тензорлық көбейтінділерін зерттеуді бастады, іздік сынып операторларын, олардың идеалдарын және олардың компакт операторлармен және шектелген операторлармен қосалқылығын енгізіп, зерттеді. Бұл тақырыпты Банах кеңістіктеріндегі ядролық операторларды зерттеуге жалпылау Александр Гротендиктің алғашқы жетістіктерінің бірі болды. Бұрын, 1937 жылы фон Нейман осы салада бірнеше нәтижелерді жариялады, мысалы, әртүрлі...
Von Neumann was the first to axiomatically define an abstract Hilbert space. He defined it as a complex vector space with a Hermitian scalar product, with the corresponding norm being both separable and complete. In the same papers he also proved the general form of the Cauchy–Schwarz inequality that had previously been known only in specific examples. He continued with the development of the spectral theory of operators in Hilbert space in three seminal papers between 1929 and 1932. This work cumulated in his Mathematical Foundations of Quantum Mechanics which alongside two other books by Stone and Banach in the same year were the first monographs on Hilbert space theory. Previous work by others showed that a theory of weak topologies could not be obtained by using sequences. Von Neumann was the first to outline a program of how to overcome the difficulties, which resulted in him defining locally convex spaces and topological vector spaces for the first time. In addition several other topological properties he defined at the time (he was among the first mathematicians to apply new topological ideas from Hausdorff from Euclidean to Hilbert spaces) such as boundness and total boundness are still used today. For twenty years von Neumann was considered the 'undisputed master' of this area. These developments were primarily prompted by needs in quantum mechanics where von Neumann realized the need to extend the spectral theory of Hermitian operators from the bounded to the unbounded case. Other major achievements in these papers include a complete elucidation of spectral theory for normal operators, the first abstract presentation of the trace of a positive operator, a generalisation of Riesz's presentation of Hilbert's spectral theorems at the time, and the discovery of Hermitian operators in a Hilbert space, as distinct from self adjoint operators, which enabled him to give a description of all Hermitian operators which extend a given Hermitian operator. He wrote a paper detailing how the usage of infinite matrices, common at the time in spectral theory, was inadequate as a representation for Hermitian operators. His work on operator theory lead to his most profound invention in pure mathematics, the study of von Neumann algebras and in general of operator algebras. His later work on rings of operators lead to him revisiting his work on spectral theory and providing a new way of working through the geometric content by the use of direct integrals of Hilbert spaces. Like in his work on measure theory he proved several theorems that he did not find time to publish. He told Nachman Aronszajn and K. T. Smith that in the early 1930s he proved the existence of proper invariant subspaces for completely continuous operators in a Hilbert space while working on the invariant subspace problem. With I. J. Schoenberg he wrote several items investigating translation invariant Hilbertian metrics on the real number line which resulted in their complete classification. Their motivation lie in various questions related to embedding metric spaces into Hilbert spaces. With Pascual Jordan he wrote a short paper giving the first derivation of a given norm from an inner product by means of the parallelogram identity. His trace inequality is a key result of matrix theory used in matrix approximation problems. He also first presented the idea that the dual of a pre norm is a norm in the first major paper discussing the theory of unitarily invariant norms and symmetric gauge functions (now known as symmetric absolute norms). This paper leads naturally to the study of symmetric operator ideals and is the beginning point for modern studies of symmetric operator spaces. Later with Robert Schatten he initiated the study of nuclear operators on Hilbert spaces, tensor products of Banach spaces, introduced and studied trace class operators, their ideals, and their duality with compact operators, and preduality with bounded operators. The generalization of this topic to the study of nuclear operators on Banach spaces was among the first achievements of Alexander Grothendieck. Previously in 1937 von Neumann published several results in this area, for example giving 1 parameter scale of different cross norms on and proving several other results on what are now known as Schatten–von Neumann ideals.
Операторлық алгебралар
Фон Нейман операторлар сақиналарын зерттеуді фон Нейман алгебралары арқылы (алғашқыда W* алгебрасы деп аталды) қалады. Операторлар сақиналары туралы алғашқы идеялары 1930 жылы пайда болған болса да, ол бірнеше жылдан кейін Ф. Дж. Мюрреймен кездескенше оларды терең зерттеуді бастаған жоқ. Фон-Нойман алгебрасы – әлсіз оператор топологиясында жабылған және бірлік операторын қамтитын Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторлардың * алгебрасы. Фон Нейманның бикоммутант теоремасы аналитикалық анықтаманың таза алгебралық анықтамамен, яғни бикоммутантқа тең екенін көрсетеді. Коммутативтік алгебра жағдайын түсіндіргеннен кейін, Фон Нейман 1936 жылы Мюррейдің ішінара қатысуымен коммутативтік емес жағдайды, яғни фон Нейман алгебраларының факторларын жіктеуді зерттеуді бастады. 1936-1940 жылдар аралығында ол осы теорияны дамытқан алты мақаласы "20 ғасырдағы талдаудың шедеврлерінің қатарында" саналады; олар көптеген негізгі нәтижелерді жинады және математиктердің ондаған жылдар бойы жұмыс істеген операторлық алгебра теориясындағы бірнеше бағдарламаларды бастады. Мысалы, факторларды жіктеуді қарастыруға болады. Сонымен қатар, 1938 жылы ол бөлінетін Гильберт кеңістігіндегі әрбір фон Нейман алгебрасы факторлардың тікелей интегралы екенін дәлелдеді; бірақ бұл нәтижені 1949 жылға дейін жариялауға уақыт таппады. Фон Нейман алгебралары коммутативтік емес интеграция теориясымен тығыз байланысты, осы туралы Фон Нейман өз жұмысында айтқан, бірақ нақты жазбаған. Полярлық жіктеуге қатысты тағы бір маңызды нәтиже 1932 жылы жарияланды.
Von Neumann founded the study of rings of operators, through the von Neumann algebras (originally called W* algebras). While his original ideas for rings of operators existed already in 1930, he did not begin studying them in depth until he met F. J. Murray several years later. A von Neumann algebra is a * algebra of bounded operators on a Hilbert space that is closed in the weak operator topology and contains the identity operator. The von Neumann bicommutant theorem shows that the analytic definition is equivalent to a purely algebraic definition as being equal to the bicommutant. After elucidating the study of the commutative algebra case, von Neumann embarked in 1936, with the partial collaboration of Murray, on the noncommutative case, the general study of factors classification of von Neumann algebras. The six major papers in which he developed that theory between 1936 and 1940 "rank among the masterpieces of analysis in the twentieth century"; they collect many foundational results and started several programs in operator algebra theory that mathematicians worked on for decades afterwards. An example is the classification of factors. In addition in 1938 he proved that every von Neumann algebra on a separable Hilbert space is a direct integral of factors; he did not find time to publish this result until 1949. Von Neumann algebras relate closely to a theory of noncommutative integration, something that von Neumann hinted to in his work but did not explicitly write out. Another important result on polar decomposition was published in 1932.
Желілік теория
1935 және 1937 жылдар аралығында фон Нейман тор теориясы бойынша жұмыс істеді, бұл әр екі элементі үшін ең үлкен ортақ бөлгіш пен ең кіші ортақ еселік болатын ішінара реттелген жиынтықтардың теориясы. Гаррет Бирхофф жазғандай, "Джон фон Нейманның ұлы ақылы тор теориясын метеор сияқты жарқыратып өтті". Фон Нейман дәстүрлі проективті геометрияны заманауи алгебрамен (сызықтық алгебра, сақина теориясы, тор теориясы) біріктірді. Көптеген бұрынғы геометриялық нәтижелерді сақиналар үстіндегі жалпы модульдердің жағдайында түсіндіруге болады. Оның еңбегі проективті геометриядағы кейбір қазіргі заманғы жұмыстардың негізін қалады. Оның ең маңызды үлесі – үздіксіз геометрияның негізін қалау болды. Бұл операторлар сақиналары бойынша оның бұрынғы жұмысына байланысты болды. Математикада үздіксіз геометрия – бұл күрделі проективті геометрияның орны, онда субкеңістіктің өлшемі дискретті жиынтықта емес, бірлік аралығының элементі болуы мүмкін. Бұрынғыда Менгер және Бирхофф күрделі проективті геометрияны сызықтық субкеңістіктердің торының қасиеттері тұрғысынан аксиомалық түрде берген. Фон Нейман операторлар сақиналары бойынша жұмысын жалғастыра отырып, бұл аксиомаларды әлсіретіп, торлардың кеңірек класын – үздіксіз геометрияларды сипаттады. Проективті геометрияның кіші кеңістіктерінің өлшемдері дискретті жиынтық (теріс емес бүтін сандар) болса, үздіксіз геометрия элементтерінің өлшемдері бірлік аралығында үздіксіз өзгеруі мүмкін. Фон Нейманды өлшем функциясы үздіксіз өлшемдер диапазонына ие болатын фон Нейман алгебраларын ашу ынталандырды, ал үздіксіз геометрияның проективті кеңістіктен басқа алғашқы мысалы – гиперфиниттік II фактордың проекциялары болды. Таза тор теориялық жұмыста ол тор теориясының абстрактілік тілінде (кәдімгі бөліну сақинасы үстіндегі үздіксіз өлшемді проективті геометрия) класын сипаттаудың қиын мәселесін шешті. Фон Нейман толыққанды модульдік топологиялық торлардағы өлшемді абстрактілік зерттеуді ұсынды (ішкі өнім кеңістіктерінің кіші кеңістіктеріндегі торларда пайда болатын қасиеттер): Өлшем оң сызықтық түрлендіруге дейін келесі екі қасиетпен анықталады. Ол перспективалық бейнелеулер ("перспективалар") арқылы сақталады және кіріктіру арқылы реттеледі. Дәлелдің ең терең бөлігі перспективалық бейнелеудің "бөліну арқылы проективтілікпен" теңдігіне байланысты, оның салдары перспективалық бейнелеудің транзитивтілігі болып табылады. Кез келген бүтін сан үшін әрбір өлшемді абстрактілік проективті геометрия (бірден-бір) сәйкес келетін бөліну сақинасының өлшемді векторлық кеңістігіндегі кіші кеңістіктер торына изоморфты. Бұл Веблен–Янг теоремасы деп аталады. Фон Нейман проективті геометриядағы осы негізгі нәтижені үздіксіз өлшемдік жағдайға дейін кеңейтті. Бұл координаттау теоремасы абстрактілік проективті геометрия және тор теориясында кең ауқымды жұмысты ынталандырды, олардың көпшілігі фон Нейманның әдістерін қолдануды жалғастырды. Бирхофф бұл теореманы былайша сипаттады: n ≥ 4 жұптық перспективалық элементтердің "негізі" бар кез келген толықтырылған модульдік тор L, қолайлы тұрақты сақина R барлық негізгі оң идеалдардың торы R(R) -мен изоморфты. Бұл қорытынды – бұл 140 беттік тамаша және өткір алгебраның тұтастай жаңа аксиомаларды қамтитын кульминациясы. Фон Нейманның ақыл-ойының қырқасын ұмытпайтын әсерін сезінгісі келетін кез келген адам, бұл нақты ойлау тізбегін өзі үшін жалғастыруға тырысуы керек, оның бес беті таңғы асқа дейін жазылғандығын, қонақ бөлмесіндегі жазу үстелінде ванна шертімен отырғанын түсіну керек. Бұл жұмыс тұрақты сақиналарды жасауды қажет етті. Фон Нейманның тұрақты сақинасы – бұл әрбір элемент үшін, осындай элемент болатын сақина, бұл сақиналар фон Нейманның алгебралары, сондай-ақ AW* алгебралары мен C* алгебраларының әртүрлі түрлерімен байланысты. Жоғарыдағы теоремаларды құру және дәлелдеу кезінде көптеген кішігірім техникалық нәтижелер дәлелденді, әсіресе таралушылыққа қатысты (мысалы, шексіз таралушылық), фон Нейман оларды қажет болған жағдайда дамытты. Сонымен қатар, ол торлардағы бағалау теориясын жасады және метрикалық торлардың жалпы теориясын әзірлеуге атсалысты. Бирхофф өзінің қайтыс болғаннан кейін фон Нейман туралы мақаласында бұл нәтижелердің көпшілігі екі жылдық жұмыс кезеңінде дамығанын және оның тор теориясына қызығушылығы 1937 жылдан кейін жалғасқанмен, олар шеткі болып, негізінен басқа математиктерге арналған хаттарда пайда болғанын атап өтті. 1940 жылы соңғы үлесі ол Беркоффпен бірге Жоғары оқу институтында осы тақырыпта бірлескен семинар өткізді, онда ол σ толық торлы тізбектелген сақиналар теориясын жасады. Ол бұл жұмысты жариялау үшін жазбаға түсірген жоқ.
Between 1935 and 1937, von Neumann worked on lattice theory, the theory of partially ordered sets in which every two elements have a greatest lower bound and a least upper bound. As Garrett Birkhoff wrote, "John von Neumann's brilliant mind blazed over lattice theory like a meteor". Von Neumann combined traditional projective geometry with modern algebra (linear algebra, ring theory, lattice theory). Many previously geometric results could then be interpreted in the case of general modules over rings. His work laid the foundations for some of the modern work in projective geometry. His biggest contribution was founding the field of continuous geometry. It followed his path breaking work on rings of operators. In mathematics, continuous geometry is a substitute of complex projective geometry, where instead of the dimension of a subspace being in a discrete set it can be an element of the unit interval Earlier, Menger and Birkhoff had axiomatized complex projective geometry in terms of the properties of its lattice of linear subspaces. Von Neumann, following his work on rings of operators, weakened those axioms to describe a broader class of lattices, the continuous geometries. While the dimensions of the subspaces of projective geometries are a discrete set (the non negative integers), the dimensions of the elements of a continuous geometry can range continuously across the unit interval Von Neumann was motivated by his discovery of von Neumann algebras with a dimension function taking a continuous range of dimensions, and the first example of a continuous geometry other than projective space was the projections of the hyperfinite type II factor. In more pure lattice theoretical work, he solved the difficult problem of characterizing the class of (continuous dimensional projective geometry over an arbitrary division ring ) in abstract language of lattice theory. Von Neumann provided an abstract exploration of dimension in completed complemented modular topological lattices (properties that arise in the lattices of subspaces of inner product spaces): Dimension is determined, up to a positive linear transformation, by the following two properties. It is conserved by perspective mappings ("perspectivities") and ordered by inclusion. The deepest part of the proof concerns the equivalence of perspectivity with "projectivity by decomposition"—of which a corollary is the transitivity of perspectivity. For any integer every dimensional abstract projective geometry is isomorphic to the subspace lattice of an dimensional vector space over a (unique) corresponding division ring This is known as the Veblen–Young theorem. Von Neumann extended this fundamental result in projective geometry to the continuous dimensional case. This coordinatization theorem stimulated considerable work in abstract projective geometry and lattice theory, much of which continued using von Neumann's techniques. Birkhoff described this theorem as follows: Any complemented modular lattice L having a "basis" of n ≥ 4 pairwise perspective elements, is isomorphic with the lattice ℛ(R) of all principal right ideals of a suitable regular ring R. This conclusion is the culmination of 140 pages of brilliant and incisive algebra involving entirely novel axioms. Anyone wishing to get an unforgettable impression of the razor edge of von Neumann's mind, need merely try to pursue this chain of exact reasoning for himself—realizing that often five pages of it were written down before breakfast, seated at a living room writing table in a bathrobe. This work required the creation of regular rings. A von Neumann regular ring is a ring where for every , an element exists such that These rings came from and have connections to his work on von Neumann algebras, as well as AW* algebras and various kinds of C* algebras. Many smaller technical results were proven during the creation and proof of the above theorems, particularly regarding distributivity (such as infinite distributivity), von Neumann developing them as needed. He also developed a theory of valuations in lattices, and shared in developing the general theory of metric lattices. Birkhoff noted in his posthumous article on von Neumann that most of these results were developed in an intense two year period of work, and that while his interests continued in lattice theory after 1937, they became peripheral and mainly occurred in letters to other mathematicians. A final contribution in 1940 was for a joint seminar he conducted with Birkhoff at the Institute for Advanced Study on the subject where he developed a theory of σ complete lattice ordered rings. He never wrote up the work for publication.
Математикалық статистика
Фон Нойман математикалық статистикаға маңызды үлес қосты. 1941 жылы ол тәуелсіз және бірдей нормальды үлестірімді айнымалылар үшін тікелей кезекті айырмашылықтардың орташа квадратының дисперсияға қатынасының нақты үлестірімін шығарды. Бұл қатынас регрессиялық модельдердің қалдықтарына қолданылды және қателердің бірінші реттік авторегрессияға сәйкес келетін альтернативқа қарсы сериялық тәуелсіздік туралы нөлдік гипотезаны тексеру үшін Дурбин-Уотсон статистикасы деп белгілі.
Von Neumann made fundamental contributions to mathematical statistics. In 1941, he derived the exact distribution of the ratio of the mean square of successive differences to the sample variance for independent and identically normally distributed variables. This ratio was applied to the residuals from regression models and is commonly known as the Durbin–Watson statistic for testing the null hypothesis that the errors are serially independent against the alternative that they follow a stationary first order autoregression.
Басқа жұмыстар
Бастапқы жылдары фон Нейман жиын теориясымен байланысты нақты талдау және сандар теориясы салаларында бірнеше мақала жариялады. 1925 жылғы мақаласында ол , кез келген тығыз нүктелер тізбегі үшін, сол нүктелердің біркелкі таратылған ретін табуға болатынын дәлелдеді. 1926 жылы ол Пруфердің идеалдық алгебралық сандар теориясы бойынша бір мақала жариялады, онда оларды құрудың жаңа тәсілін тапты, осылайша Пруфердің теориясын барлық алгебралық сандар саласына кеңейтті және олардың p-адық сандармен байланысын нақтылады. 1928 жылы ол осы тақырыптарды жалғастыратын тағы екі мақала жариялады. Бірінші мақаласы интервалды санауға болатын конгруентті кіші жиынтарға бөлуге арналған. Ол Хьюго Штайнхаустың интервалды бөлуге бола ма деген сұрағына жауап берді. Фон Нейман барлық жартылай ашық, ашық немесе жабық интервалдарды трансляция арқылы бөлуге болатынын дәлелдеді (яғни, оларды трансляция арқылы сәйкес келетін кіші жиынтарға жіктеуге болады). Оның келесі мақаласы таңдау аксиомасын қолданбай, алгебралық тәуелсіз нақты сандардың бар екенін конструктивті түрде дәлелдеуге арналған. Ол алгебралық тәуелсіз екенін дәлелдеді, соның салдарынан континуумның өлшемімен алгебралық тәуелсіз нақты сандар жиыны бар. Оның ерте мансабындағы басқа да маңызды нәтижелері вариациялар есебіндегі минимумды іздейтін функцияның градиенті үшін максимум принципінің дәлелі және геометриялық сандар теориясындағы сызықтық формалар үшін Герман Минковский теоремасын қарапайымдау кіреді. Кейінірек, Паскуал Джордан мен Юджин Вигнермен бірге ол барлық шекті өлшемді формальды нақты Джордан алгебраларын жіктеген және кванттық теория үшін жақсы математикалық формализмді іздеу кезінде Альберт алгебраларын ашқан негізгі мақала жазды. 1936 жылы ол өзінің бұрынғы Хилберт кеңістігі бағдарламасының аксиомаларын Джордан алгебраларымен алмастыру бағдарламасын шексіз өлшемді жағдайды зерттейтін мақала арқылы одан әрі дамытуға тырысты; ол тақырып бойынша кем дегенде бір мақала жазуды жоспарлаған, бірақ оны жазбады. Дегенмен, бұл аксиомалар Ирвинг Сегал бастаған алгебралық кванттық механиканы одан әрі зерттеудің негізін құрады.
In his early years, von Neumann published several papers related to set theoretical real analysis and number theory. In a paper from 1925, he proved that for any dense sequence of points in , there existed a rearrangement of those points that is uniformly distributed. In 1926 his sole publication was on Prüfer's theory of ideal algebraic numbers where he found a new way of constructing them, thus extending Prüfer's theory to the field of all algebraic numbers, and clarified their relation to p adic numbers. In 1928 he published two additional papers continuing with these themes. The first dealt with partitioning an interval into countably many congruent subsets. It solved a problem of Hugo Steinhaus asking whether an interval is divisible. Von Neumann proved that indeed that all intervals, half open, open, or closed are divisible by translations (i. e. that these intervals can be decomposed into subsets that are congruent by translation). His next paper dealt with giving a constructive proof without the axiom of choice that algebraically independent reals exist. He proved that are algebraically independent for Consequently, there exists a perfect algebraically independent set of reals the size of the continuum. Other minor results from his early career include a proof of a maximum principle for the gradient of a minimizing function in the field of calculus of variations, and a small simplification of Hermann Minkowski's theorem for linear forms in geometric number theory. Later in his career together with Pascual Jordan and Eugene Wigner he wrote a foundational paper classifying all finite dimensional formally real Jordan algebras and discovering the Albert algebras while attempting to look for a better mathematical formalism for quantum theory. In 1936 he attempted to further the program of replacing the axioms of his previous Hilbert space program with those of Jordan algebras in a paper investigating the infinite dimensional case; he planned to write at least one further paper on the topic but never did. Nevertheless, these axioms formed the basis for further investigations of algebraic quantum mechanics started by Irving Segal.
Кванттық механика
Фон Нейман 1932 жылы өзінің «Кванттық механиканың математикалық негіздері» атты еңбегінде кванттық механиканың Дирак–Фон Нейман аксиомалары деп аталатын қатаң математикалық негізін алғаш рет құрды. Жинақтар теориясының аксиоматизациясын аяқтағаннан кейін ол кванттық механиканы аксиоматизациялауға кірісті. 1926 жылы ол кванттық жүйенің күйін (жалпы алғанда) бір бөлшектің де шексіз өлшемді болуы мүмкін (кешенді) Гилберт кеңістігіндегі нүкте арқылы бейнелеуге болатынын түсінді. Кванттық механиканың бұл формализмінде байқалатын шамалар, мысалы, орын немесе импульс, кванттық жүйемен байланысты Гилберт кеңістігінде әрекет ететін сызықтық операторлар ретінде ұсынылады. Осылайша, кванттық механика физикасы Гилберт кеңістіктерінің математикасына және оларға әсер ететін сызықтық операторларға дейін тоғытылды. Мысалы, белгісіздік принципі, яғни бөлшектің орнын анықтау оның импульсын анықтауға және керісінше кедерілді етеді, екі сәйкес оператордың коммутацияламауы арқылы түсіндіріледі. Бұл жаңа математикалық формулировка Хайзенберг пен Шредингердің формулировкаларын ерекше жағдай ретінде қамтиды. Фон Нейманның абстрактілі тәсілі оған детерминизм және индетерминизм арасындағы негізгі мәселені қарастыруға мүмкіндік берді, және ол кітапта кванттық механиканың статистикалық нәтижелері классикалық статистикалық механикадағыдай анықталған «жасырын айнымалылар» жиынтығының орташа мәні бола алмайтындығын дәлелдеді. 1935 жылы Грете Герман дәлелдеуде концептуалды қате бар екенін және оның жарамсыз екенін дәлелдейтін мақала жариялады. Германның жұмысы Джон С. Белл 1966 жылы шамамен сондай дәлел келтіргенге дейін көбінесе назардан тыс қалды. 2010 жылы Джеффри Баб Белл фон Нейманның дәлелін дұрыс түсінбегенін және дәлел барлық жасырын айнымалылар теориялары үшін жарамды болмаса да, жақсы анықталған және маңызды ішкі жиынтықты жоққа шығаратынын атап өтті. Баб сондай-ақ Фон Нейман бұл шектеуді білгенін және оның дәлелі жасырын айнымалылар теориясын толығымен жоққа шығармайтынын айтты. Бабтың аргументінің дұрыстығы да даулы. Глисонның 1957 жылғы теоремасы Фон Нейманның дәлелімен ұқсас жасырын айнымалыларға қарсы аргумент келтірді, бірақ жақсы негізделген және физикалық мағынасы бар деп саналатын болжамдарға негізделді. Фон Нейманның дәлелі зерттеулердің бір бағытын ашты, ол соңынан Белл теоремасы және Ален Аспекттің 1982 жылғы эксперименттері арқылы кванттық физика классикалық физикадан түбірінен өзгеше шындық тұжырымын қажет ететінін немесе арнайы салыстырмалылық теориясын бұзуға әкелетін жергілікті емес құбылыстарды қамтуы керектігін көрсетуге әкелді. «Кванттық механиканың математикалық негіздері» кітабының бір бөлімінде Фон Нейман «өлшеу мәселесі» деп аталатын мәселені терең талдады. Ол бүкіл физикалық ғаламды әмбебап толқындық функцияға бағынуға болатынына қорытынды жасады. Толқындық функцияның күйреуі үшін «есептеуден тыс» бірдеңе қажет болғандықтан, Фон Нейман күйреуді тәжірибешінің санасы тудырады деген қорытындыға келді. Ол кванттық механиканың математикасы толқындық функцияның күйреуін себептік тізбектегі кез келген нүктеге, өлшеу құрылғысынан бастап адам бақылаушысының «субъективті санасына» дейін орналастыруға мүмкіндік береді деп мәлімдеді. Басқаша айтқанда, бақылаушы мен байқалатын объектінің арасындағы шекараны әртүрлі жерлерде жүргізуге болады, бірақ теория тек бақылаушы бар болса ғана мағыналы. Эуген Вигнер сананың күйреуге себеп болатыны туралы идеяны қабылдаса да, Фон Нейман–Вигнер түсіндірмесі физиктердің көпшілігі тарапынан қабылданбады. Кванттық механика теориясы дамуын жалғастырса да, кванттық механикадағы проблемалардың математикалық формализміне негізделген негізгі құрылымды көбінесе Фон Нейман алғаш қолданған математикалық формализмдер мен әдістерге із баруға болады. Теорияны түсіндіру және оны кеңейту туралы пікірталастар қазір көбінесе математикалық негіздер туралы ортақ болжамдар негізінде жүргізіледі. Дегенмен, Фон Нейман өзінің кейінгі жылдары осы ғылыми жұмысының бұл аспектісінде сәтсіздікке ұшырағанын сезінді, өйткені ол дамытқан математиканың барлығына қарамастан, кванттық теорияның қанағаттанарлық математикалық негізін таба алмады.
Von Neumann was the first to establish a rigorous mathematical framework for quantum mechanics, known as the Dirac–von Neumann axioms, in his influential 1932 work Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. After having completed the axiomatization of set theory, he began to confront the axiomatization of quantum mechanics. He realized in 1926 that a state of a quantum system could be represented by a point in a (complex) Hilbert space that, in general, could be infinite dimensional even for a single particle. In this formalism of quantum mechanics, observable quantities such as position or momentum are represented as linear operators acting on the Hilbert space associated with the quantum system. The physics of quantum mechanics was thereby reduced to the mathematics of Hilbert spaces and linear operators acting on them. For example, the uncertainty principle, according to which the determination of the position of a particle prevents the determination of its momentum and vice versa, is translated into the non commutativity of the two corresponding operators. This new mathematical formulation included as special cases the formulations of both Heisenberg and Schrödinger. Von Neumann's abstract treatment permitted him to confront the foundational issue of determinism versus non determinism, and in the book he presented a proof that the statistical results of quantum mechanics could not possibly be averages of an underlying set of determined "hidden variables", as in classical statistical mechanics. In 1935, Grete Hermann published a paper arguing that the proof contained a conceptual error and was therefore invalid. Hermann's work was largely ignored until after John S. Bell made essentially the same argument in 1966. In 2010, Jeffrey Bub argued that Bell had misconstrued von Neumann's proof, and pointed out that the proof, though not valid for all hidden variable theories, does rule out a well defined and important subset. Bub also suggests that von Neumann was aware of this limitation and did not claim that his proof completely ruled out hidden variable theories. The validity of Bub's argument is, in turn, disputed. Gleason's theorem of 1957 provided an argument against hidden variables along the lines of von Neumann's, but founded on assumptions seen as better motivated and more physically meaningful. Von Neumann's proof inaugurated a line of research that ultimately led, through Bell's theorem and the experiments of Alain Aspect in 1982, to the demonstration that quantum physics either requires a notion of reality substantially different from that of classical physics, or must include nonlocality in apparent violation of special relativity. In a chapter of The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, von Neumann deeply analyzed the so called measurement problem. He concluded that the entire physical universe could be made subject to the universal wave function. Since something "outside the calculation" was needed to collapse the wave function, von Neumann concluded that the collapse was caused by the consciousness of the experimenter. He argued that the mathematics of quantum mechanics allows the collapse of the wave function to be placed at any position in the causal chain from the measurement device to the "subjective consciousness" of the human observer. In other words, while the line between observer and observed could be drawn in different places, the theory only makes sense if an observer exists somewhere. Although the idea of consciousness causing collapse was accepted by Eugene Wigner, the Von Neumann–Wigner interpretation never gained acceptance among the majority of physicists. Though theories of quantum mechanics continue to evolve, a basic framework for the mathematical formalism of problems in quantum mechanics underlying most approaches can be traced back to the mathematical formalisms and techniques first used by von Neumann. Discussions about interpretation of the theory, and extensions to it, are now mostly conducted on the basis of shared assumptions about the mathematical foundations. Nevertheless, von Neumann in his later years felt he had failed in this aspect of his scientific work as despite all the mathematics he developed, he did not find a satisfactory mathematical framework for quantum theory as a whole.
Фон Нойман энтропиясы
Фон-Нойман энтропиясы кванттық ақпарат теориясы аясында әр түрлі формаларда (шартты энтропия, салыстырмалы энтропия және т.б.) кеңінен қолданылады. Кванттық байланыс өлшемдері Фон-Нойман энтропиясына тікелей байланысты шамаға негізделген. Тығыздық матрицасы ρ бар кванттық механикалық жүйелердің статистикалық жиынтығы үшін ол формуласымен беріледі. Классикалық ақпарат теориясындағы энтропия өлшемдерінің көптеген түрлері, мысалы, Holevo энтропиясы және шартты кванттық энтропия сияқты, кванттық жағдайға да жалпыланады. Кванттық ақпарат теориясы негізінен Фон-Нойман энтропиясын түсіндірумен және қолданумен айналысады, ол оның дамуының маңызды негізі болып табылады; ал Шеннон энтропиясы классикалық ақпарат теориясына қолданылады.
Von Neumann entropy is extensively used in different forms (conditional entropy, relative entropy, etc.) in the framework of quantum information theory. Entanglement measures are based upon some quantity directly related to the von Neumann entropy. Given a statistical ensemble of quantum mechanical systems with the density matrix , it is given by Many of the same entropy measures in classical information theory can also be generalized to the quantum case, such as Holevo entropy and conditional quantum entropy. Quantum information theory is largely concerned with the interpretation and uses of von Neumann entropy, a cornerstone in the former's development; the Shannon entropy applies to classical information theory.
Тығыздық матрицасы
Тығыздық операторлары мен матрицаларының формализмін 1927 жылы фон Нейман енгізді, ал Лев Ландау мен Феликс Блох та дербес, бірақ кем жүйелі түрде 1927 және 1946 жылдары енгізді. Тығыздық матрицасы толқындық функцияларға қарағанда кванттық күйлердің ықтималдық араласуларын (аралас күйлерді) бейнелеуге мүмкіндік береді, ал толқындық функциялар тек таза күйлерді ғана бейнелей алады.
The formalism of density operators and matrices was introduced by von Neumann in 1927 and independently, but less systematically by Lev Landau and Felix Bloch in 1927 and 1946 respectively. The density matrix allows the representation of probabilistic mixtures of quantum states (mixed states) in contrast to wavefunctions, which can only represent pure states.
Фон Нойманның өлшеу схемасы
Фон Нейманның өлшеу схемасы, кванттық декогеренстік теориясының алғабасы, өлшеу аппаратын да кванттық объект ретінде қарастыра отырып, өлшеулерді проективті түрде бейнелейді. Фон Нейман енгізген "проективті өлшеу" схемасы кванттық декогеренстік теорияларының қалыптасуына ықпал етті.
The von Neumann measurement scheme, the ancestor of quantum decoherence theory, represents measurements projectively by taking into account the measuring apparatus which is also treated as a quantum object. The 'projective measurement' scheme introduced by von Neumann led to the development of quantum decoherence theories.
Кванттық логика
Фон Нейман алғаш рет кванттық логиканы 1932 жылы жариялаған «Кванттық механиканың математикалық негіздері» атты еңбегінде ұсынды, онда ол Гильберт кеңістігіндегі проекцияларды физикалық шамалар туралы болжамдар ретінде қарастыруға болатынын көрсетті. Кванттық логика саласы 1936 жылы Фон Нейман мен Гаррет Бирхоффтың жазған мақаласымен ресми түрде ашылды, онда олар кванттық логиканы алғаш рет енгізіп, кванттық механиканың классикалық логикадан едәуір өзгешелеу ұсыныс есептеуін қажет ететінін және кванттық логика үшін жаңа алгебралық құрылымды анықтады. Кванттық логика үшін пікірлік есептеу құру идеясы алғаш рет Фон Нейманның 1932 жылғы еңбегіндегі шағын бөлімінде келтірілді, бірақ 1936 жылы жаңа пікірлік есептеудің қажеттілігі бірнеше дәлелдермен көрсетілді. Мысалы, фотондар тік (мысалы, көлденең және тік) поляризацияланған екі сүзгіден өте алмайды, сондықтан, егер үшінші сүзгі диагональды поляризацияланған болса, ол екінші екеуінің алдында немесе артында қойылса, өте алмайды, бірақ егер үшінші сүзгі екінші екеуінің арасына қойылса, фотондар өтеді. Бұл тәжірибелік факт логикалық тұрғыдан конукцияның коммутативті еместігі ретінде түсіндіріледі. Сондай-ақ, классикалық логиканың үлестіру заңдары, және , кванттық теория үшін жарамсыз екені дәлелденді. Үлестіруші тордың орнына, кванттық жүйе туралы болжамдар сол жүйеге байланысты Гильберт кеңістігінің кіші кеңістіктерінің торына изоморфты ортомодульдік тор құрайды. Дегенмен, ол кванттық логика бойынша жасаған жұмысына толық қанағаттанбады. Ол оны формальды логика мен ықтималдықтар теориясының біріктірілген синтезі ретінде қарастырды және 1945 жылы Вашингтон философиялық қоғамында оқыған Генри Джозеф лекциясы үшін мақала жазуға тырысқанда, оның мүмкін емес екенін түсінді, әсіресе ол сол кезде соғысқа байланысты жұмыстармен айналысқандықтан. 1954 жылғы Халықаралық математиктер конгресінде сөйлеген сөзінде ол бұл мәселені болашақ математиктер шеше алатын мәселелердің бірі ретінде атады.
Von Neumann first proposed a quantum logic in his 1932 treatise Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, where he noted that projections on a Hilbert space can be viewed as propositions about physical observables. The field of quantum logic was subsequently inaugurated in a 1936 paper by von Neumann and Garrett Birkhoff, the first to introduce quantum logics, wherein von Neumann and Birkhoff first proved that quantum mechanics requires a propositional calculus substantially different from all classical logics and rigorously isolated a new algebraic structure for quantum logics. The concept of creating a propositional calculus for quantum logic was first outlined in a short section in von Neumann's 1932 work, but in 1936, the need for the new propositional calculus was demonstrated through several proofs. For example, photons cannot pass through two successive filters that are polarized perpendicularly (e. g., horizontally and vertically), and therefore, a fortiori, it cannot pass if a third filter polarized diagonally is added to the other two, either before or after them in the succession, but if the third filter is added between the other two, the photons will indeed pass through. This experimental fact is translatable into logic as the non commutativity of conjunction It was also demonstrated that the laws of distribution of classical logic, and , are not valid for quantum theory. Instead of a distributive lattice, propositions about a quantum system form an orthomodular lattice isomorphic to the lattice of subspaces of the Hilbert space associated with that system. Nevertheless, he was never satisfied with his work on quantum logic. He intended it to be a joint synthesis of formal logic and probability theory and when he attempted to write up a paper for the Henry Joseph Lecture he gave at the Washington Philosophical Society in 1945 he found that he could not, especially given that he was busy with war work at the time. During his address at the 1954 International Congress of Mathematicians he gave this issue as one of the unsolved problems that future mathematicians could work on.
Сұйықтық динамикасы
Фон Нейман сұйықтық динамикасы саласында, оның ішінде жарылыс толқынының классикалық ағынының шешімінде және жарылғыш заттардың ZND детонациялық моделінің (Яков Борисович Зельдович пен Вернер Дёринг тәуелсіз түрде) бірлесіп ашылуында маңызды үлес қосты. 1930 жылдары фон Нейман формалы зарядтар математикасы бойынша сарапшы ретінде танылды. Кейіннен Роберт Д. Рихтмайермен бірге фон Нейман жасанды тұтқырлықты анықтайтын алгоритмді жасады, бұл соққы толқындарының түсінігін жақсартты. Компьютерлер гидродинамикалық немесе аэродинамикалық мәселелерді шешкенде, өткір үзіліс болатын аймақтарда (соққы толқындары) тым көп есептеу тор нүктелерін орналастыратын. Жасанды тұтқырлықтың математикасы негізгі физикалық заңдарды бұзбай, соққы толқынының өтуін тегістеді. Фон Нейман көп ұзамай компьютерлік модельдеуді осы салаға қолданды, баллистикалық зерттеулері үшін бағдарламалық жасақтама әзірледі. Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде ол АҚШ армиясының Баллистикалық зерттеулер зертханасының директоры Р. Х. Кентке шабуыл толқынын модельдеу үшін 100 молекуладан тұратын бір өлшемді модельді есептеуге арналған компьютерлік бағдарлама ұсынды. Фон Нейман өзінің бағдарламасы бойынша семинар өткізді, онда оның досы Теодор фон Карман да болды. Фон Нейман сөзін аяқтаған соң, фон Карман: "Әрине, Лагранж да үздіксіз орта механикасын модельдеу үшін цифрлық модельдерді қолданғанын білесіз" деді. Фон Нейман Лагранждың "Аналитикалық механикасы" еңбегінен хабарсыз болған.
Von Neumann made fundamental contributions in the field of fluid dynamics, including the classic flow solution to blast waves, and the co discovery (independently by Yakov Borisovich Zel'dovich and Werner Döring) of the ZND detonation model of explosives. During the 1930s, von Neumann became an authority on the mathematics of shaped charges. Later with Robert D. Richtmyer, von Neumann developed an algorithm defining artificial viscosity that improved the understanding of shock waves. When computers solved hydrodynamic or aerodynamic problems, they put too many computational grid points at regions of sharp discontinuity (shock waves). The mathematics of artificial viscosity smoothed the shock transition without sacrificing basic physics. Von Neumann soon applied computer modelling to the field, developing software for his ballistics research. During World War II, he approached R. H. Kent, the director of the US Army's Ballistic Research Laboratory, with a computer program for calculating a one dimensional model of 100 molecules to simulate a shock wave. Von Neumann gave a seminar on his program to an audience which included his friend Theodore von Kármán. After von Neumann had finished, von Kármán said "Of course you realize Lagrange also used digital models to simulate continuum mechanics." Von Neumann had been unaware of Lagrange's Mécanique analytique.
Басқа жұмыстар
Физикада математикадағыдай көп еңбек етпегенмен, ол басқа да маңызды еңбектер жасады. Субрахманян Чандрасекармен бірлескен, кездейсоқ таратылған жұлдыздардың тудырған құбылмалы гравитациялық өрістің статистикасы туралы жарияланған алғашқы мақалалары шедевр деп есептелді. Бұл жұмыста олар екі денелі релаксация теориясын жасады және жұлдыздық жүйелердің динамикасын модельдеу үшін Холтсмарк таралымын пайдаланды. Ол жұлдыздық құрылым тақырыбында бірнеше жарияланбаған қолжазбалар жазды, олардың кейбіреулері Чандрасекардың басқа еңбектеріне қосылды. Осуальд Веблен басшылығымен жасалған ертерек жұмыста фон Нейман Роджер Пенроуздың твистор теориясына әкелетін спинорларға қатысты негізгі идеяларды дамытуға көмектесті. Бұл жұмыстың көп бөлігі 1930 жылдары IAS-та өткізілген семинарларда жүргізілді. Осы жұмыстың нәтижесінде ол А. Х. Тауб пен Вебленмен бірге Дирак теңдеуін проективті салыстырмалылыққа кеңейтетін мақала жазды, мұнда координаталық, спиндік және калибрлі түрлендірулерге қатысты инварианттылықты сақтауға баса назар аударылды, бұл 1930 жылдардағы кванттық гравитацияның потенциалды теорияларын зерттеудің бір бөлігі болды. Сол кезеңде ол жаңа құрылған кванттық өріс теориясының проблемаларын шешу және кеңістік-уақытты кванттау үшін әріптестеріне бірнеше ұсыныстар жасады; алайда, оның әріптестері де, өзі де бұл идеяларды жемісті деп санамады және оларды іске қоспады. Дегенмен, ол кейбір қызығушылықты сақтап, 1940 жылы де Ситтер кеңістігінде Дирак теңдеуі туралы қолжазба жазды.
While not as prolific in physics as he was in mathematics, he nevertheless made several other notable contributions. His pioneering papers with Subrahmanyan Chandrasekhar on the statistics of a fluctuating gravitational field generated by randomly distributed stars were considered a tour de force. In this paper they developed a theory of two body relaxation and used the Holtsmark distribution to model the dynamics of stellar systems. He wrote several other unpublished manuscripts on topics in stellar structure, some of which were included in Chandrasekhar's other works. In earlier work led by Oswald Veblen von Neumann helped develop basic ideas involving spinors that would lead to Roger Penrose's twistor theory. Much of this was done in seminars conducted at the IAS during the 1930s. From this work he wrote a paper with A. H. Taub and Veblen extending the Dirac equation to projective relativity, with a key focus on maintaining invariance with regards to coordinate, spin, and gauge transformations, as a part of early research into potential theories of quantum gravity in the 1930s. In the same time period he made several proposals to colleagues for dealing with the problems in the newly created quantum field theory and for quantizing spacetime; however, both his colleagues and he did not consider the ideas fruitful and did not pursue them. Nevertheless, he maintained at least some interest, in 1940 writing a manuscript on the Dirac equation in de Sitter space.
Ойын теориясы
Фон Нейман ойын теориясын математикалық ғылым ретінде қалыптастырды. 1928 жылы ол өзінің минимакс теоремасын дәлелдеді. Бұл теорема, толық ақпаратпен нөлдік жиынтық ойындарында (яғни, ойыншылардың әрбір қадамы туралы толық білімі бар жағдайда) екі ойыншыға да максималды ұтылу мүмкіндігін азайтатын стратегиялар жұбы бар екенін көрсетеді. Мұндай стратегиялар оптималды деп аталады. Фон Нейман олардың минимакс мәндерінің абсолюттік шамасы бойынша тең және таңбасы бойынша қарама-қарсы екенін көрсетті. Ол минимакс теоремасын толық емес ақпаратты және екі ойыншыдан артық ойыншы бар ойындарды қамту үшін жетілдірді және кеңейтті, бұл нәтижені 1944 жылы Оскар Моргенстернмен бірлесіп жазған «Ойындар теориясы және экономикалық мінез-құлық» еңбегінде жариялады. Бұл жұмысқа қоғамдық қызығушылық соншалық болды, тіпті The New York Times газетінің бірінші бетінде жарияланды. Осы кітабында Фон Нейман экономикалық теория дифференциалдық есептеудің дәстүрлі әдістерінен гөрі функционалдық талдауды, әсіресе дөңес жиынтықтарды және топологиялық бекітілген нүкте теоремасын пайдалануы керек екенін айтты, себебі максимум операторы дифференциалданатын функцияларды сақтамайды.
Von Neumann founded the field of game theory as a mathematical discipline. He proved his minimax theorem in 1928. It establishes that in zero sum games with perfect information (i. e., in which players know at each time all moves that have taken place so far), there exists a pair of strategies for both players that allows each to minimize his maximum losses. Such strategies are called optimal. Von Neumann showed that their minimaxes are equal (in absolute value) and contrary (in sign). He improved and extended the minimax theorem to include games involving imperfect information and games with more than two players, publishing this result in his 1944 Theory of Games and Economic Behavior, written with Oskar Morgenstern. The public interest in this work was such that The New York Times ran a front page story. In this book, von Neumann declared that economic theory needed to use functional analysis, especially convex sets and the topological fixed point theorem, rather than the traditional differential calculus, because the maximum operator did not preserve differentiable functions.
Математикалық экономика
Фон Нейман бірнеше ықпалды жарияланымда экономиканың математикалық деңгейін көтерді. Оның кеңейіп жатқан экономика моделі үшін ол Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасын жалпылау арқылы тепе-теңдіктің болуын және бірегейлігін дәлелдеді. Фон Нейманның нәтижелері сызықтық бағдарламалаудың ерекше жағдайы ретінде қарастырылды, онда оның моделі тек теріс емес матрицаларды қолданады. Оның кеңейіп жатқан экономика моделін зерттеу математикалық экономистерді әлі де қызықтырады. Бұл мақаланы математикалық экономикадағы ең маңызды мақала деп атаған бірнеше авторлар, оның тұрақты нүкте теоремаларын, сызықтық теңсіздіктерді, толықтырушы босаңсуды және сағаттық нүктелік дуалдықты енгізгенін мойындады. Фон Нейманның өсу моделі туралы конференцияда Пол Самуэльсон көптеген математиктер экономистерге пайдалы әдістерді жасағанын, бірақ Фон Нейманның экономикалық теорияның өзіне маңызды үлес қосқаны ерекше екенін айтты. Жалпы тепе-теңдіктер және тұрақты нүкте теоремаларының әдістемесі бойынша жұмыстың ұзаққа созылған маңыздылығы 1972 жылы Кеннет Ароуға, 1983 жылы Жерар Дебреуге және 1994 жылы Джон Нэшке Нобель сыйлығының берілуімен расталады. Нэш өзінің докторлық диссертациясындағы кооперативтік емес ойындар мен келісімдер мәселелері үшін тепе-теңдіктерді орнату үшін тұрақты нүкте теоремаларын қолданды. Ароу және Дебреу, сондай-ақ Нобель сыйлығының лауреаттары Тжаллинг Купманс, Леонид Канторович, Василий Леонтьев, Пол Самуэльсон, Роберт Дорфман, Роберт Солоу және Леонид Хурвич сызықтық бағдарламалауды қолданды. Фон Нейманның осы тақыпқа қызығушылығы 1928 және 1929 жылдары Берлинде дәріс оқыған кезде басталды. Ол Будапештте жаздарын өткізді, сондай-ақ экономист Николас Кальдор да сонда болды; Кальдор Фон Нейманға математикалық экономист Леон Вальрастың кітабын оқуды ұсынды. Фон Нейман Вальрастың Жалпы тепе-теңдік теориясы мен Вальрастың заңы бір мезгілдегі сызықтық теңдеулер жүйесіне алып келетінін байқады, бұл өнімнің теріс мөлшерін өндіру және сату арқылы пайданы барынша арттыруға мүмкіндік беретін абсурдты нәтижеге әкелуі мүмкін. Ол теңдеулерді теңсіздіктермен алмастырды, динамикалық тепе-теңдіктерді енгізді және, соңында, өз мақаласын жариялады.
Von Neumann raised the mathematical level of economics in several influential publications. For his model of an expanding economy, he proved the existence and uniqueness of an equilibrium using his generalization of the Brouwer fixed point theorem. Von Neumann's results have been viewed as a special case of linear programming, where his model uses only nonnegative matrices. The study of his model of an expanding economy continues to interest mathematical economists. This paper has been called the greatest paper in mathematical economics by several authors, who recognized its introduction of fixed point theorems, linear inequalities, complementary slackness, and saddlepoint duality. In the proceedings of a conference on von Neumann's growth model, Paul Samuelson said that many mathematicians had developed methods useful to economists, but that von Neumann was unique in having made significant contributions to economic theory itself. The lasting importance of the work on general equilibria and the methodology of fixed point theorems is underscored by the awarding of Nobel prizes in 1972 to Kenneth Arrow, in 1983 to Gérard Debreu, and in 1994 to John Nash who used fixed point theorems to establish equilibria for non cooperative games and for bargaining problems in his Ph. D. thesis. Arrow and Debreu also used linear programming, as did Nobel laureates Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Wassily Leontief, Paul Samuelson, Robert Dorfman, Robert Solow, and Leonid Hurwicz. Von Neumann's interest in the topic began while he was lecturing at Berlin in 1928 and 1929. He spent his summers in Budapest, as did the economist Nicholas Kaldor; Kaldor recommended that von Neumann read a book by the mathematical economist Léon Walras. Von Neumann noticed that Walras's General Equilibrium Theory and Walras's law, which led to systems of simultaneous linear equations, could produce the absurd result that profit could be maximized by producing and selling a negative quantity of a product. He replaced the equations by inequalities, introduced dynamic equilibria, among other things, and eventually produced his paper.
Сызықтық бағдарламалау
Матрицалық ойындардағы нәтижелері мен кеңейіп жатқан экономиканың моделіне сүйене отырып, фон Нейман Джордж Данциг өзінің жұмысын бірнеше минутта сипаттағанда, сызықтық бағдарламалаудағы дуалдық теорияны ойлап тапты, ал шыдамсыз фон Нейман одан мәселеге тоқталуын сұрады. Данциг кейін фон Нейманның конвекстік жиынтықтар, бекітілген нүктелер теориясы және дуалдық туралы бір сағаттық дәріс оқығанын, матрицалық ойындар мен сызықтық бағдарламалаудың балама екенін болжағанын таң-қалып тыңдады. Кейін фон Нейман Пауль Горданның (1873) гомогенді сызықтық жүйесін пайдаланып, сызықтық бағдарламалаудың жаңа әдісін ұсынды, бұл әдіс кейін Кармаркар алгоритмі арқылы танымал болды. Фон Нейманның әдісі симплекстер арасындағы айналдыру алгоритмін қолданды, ал айналдыру шешімі конвекстік шектеумен (белсенді симплекстің дөңгелек қабығына нөлдік векторды проекциялау) теріс емес ең кіші квадраттардың қосалқы мәселесімен анықталды. Фон Нейманның алгоритмі сызықтық бағдарламалаудың алғашқы ішкі нүктелік әдісі болды.
Building on his results on matrix games and on his model of an expanding economy, von Neumann invented the theory of duality in linear programming when George Dantzig described his work in a few minutes, and an impatient von Neumann asked him to get to the point. Dantzig then listened dumbfounded while von Neumann provided an hourlong lecture on convex sets, fixed point theory, and duality, conjecturing the equivalence between matrix games and linear programming. Later, von Neumann suggested a new method of linear programming, using the homogeneous linear system of Paul Gordan (1873), which was later popularized by Karmarkar's algorithm. Von Neumann's method used a pivoting algorithm between simplices, with the pivoting decision determined by a nonnegative least squares subproblem with a convexity constraint (projecting the zero vector onto the convex hull of the active simplex). Von Neumann's algorithm was the first interior point method of linear programming.
Компьютерлік ғылым
Фон Нейман – есептеу саласының негізін қалаушылардың бірі, ол есептеу аппараттық құрылғысын жобалауға, теориялық информатикаға, ғылыми есептеулерге және информатика философиясына маңызды үлес қосты.
Von Neumann was a founding figure in computing, with significant contributions to computing hardware design, to theoretical computer science to scientific computing, and to the philosophy of computer science.
Жабдық
Фон Нейман әскери баллистикалық зерттеулер зертханасының кеңесшісі болды, әсіресе ENIAC жобасында, оның ғылыми кеңесші комитетінің мүшесі ретінде. Бір жадты, сақталған бағдарлама архитектурасы көбінесе фон Нейман архитектурасы деп аталса да, архитектура ENIAC және оның ізбасары EDVAC-тың ойластырушылары Дж. Преспер Эккерт пен Джон Мохлидің жұмысына негізделген. Пенсильвания университетінде EDVAC жобасы бойынша кеңес бергенде, фон Нейман EDVAC туралы есептің бірінші нұсқасын жазды, бірақ оны аяқтамады. Бұл құжаттың мерзімінен бұрын тарауы Эккерт пен Мохлидің патенттік құқықтарын күштен шығарды, ол алғашқы компьютерлерден өзгеше, деректері мен бағдарламасын бір адрестік кеңістікте сақтайтын компьютерді сипаттады – алғашқы компьютерлер бағдарламаларын қағаз лентасында немесе қосымша тақталарда бөлек сақтайтын. Осы архитектура қазіргі заманғы компьютерлердің көптеген жобаларының негізі болды. Содан кейін фон Нейман Нью-Джерси штатының Принстон қаласындағы Жоғары оқу орында ИАС машинасының жобасын жасады. Ол оны қаржыландыруды ұйымдастырды, ал құраушы бөлшектер жақын орналасқан RCA зерттеу зертханасында жобаланып, құрастырылды. Фон Нейман «қорғаныс компьютері» аталған IBM 701 компьютеріне магниттік барабан қосуды ұсынды. Бұл ИАС машинасының жылдамдатылған нұсқасы болды және коммерциялық сәттілікке жеткен IBM 704 машинасының негізін құрады.
Von Neumann consulted for the Army's Ballistic Research Laboratory, most notably on the ENIAC project, as a member of its Scientific Advisory Committee. Although the single memory, stored program architecture is commonly called von Neumann architecture, the architecture was based on the work of J. Presper Eckert and John Mauchly, inventors of ENIAC and its successor, EDVAC. While consulting for the EDVAC project at the University of Pennsylvania, von Neumann wrote an incomplete First Draft of a Report on the EDVAC. The paper, whose premature distribution nullified the patent claims of Eckert and Mauchly, described a computer that stored both its data and its program in the same address space, unlike the earliest computers which stored their programs separately on paper tape or plugboards. This architecture became the basis of most modern computer designs. Next, von Neumann designed the IAS machine at the Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. He arranged its financing, and the components were designed and built at the RCA Research Laboratory nearby. Von Neumann recommended that the IBM 701, nicknamed the defense computer, include a magnetic drum. It was a faster version of the IAS machine and formed the basis for the commercially successful IBM 704.
Алгоритмдер
Фон Нейман 1945 жылы біріктіру сұрыптау алгоритмін ойлап тапты, онда массивтің бірінші және екінші жартысы рекурсивті түрде сұрыпталып, содан кейін біріктіріледі. Фон Нейманның сутекті бомба бойынша жұмысының бір бөлігі ретінде ол Станислав Уламмен бірге гидродинамикалық есептеулерге арналған модельдеулер жасады. Ол сонымен қатар күрделі мәселелердің шешімдерін жуықтап табу үшін кездейсоқ сандарды қолданатын Монте-Карло әдісін әзірлеуге үлес қосты. Фон Нейманның бұрыс монета арқылы әділ монетаны модельдеу алгоритмі кейбір аппараттық кездейсоқ сандар генераторларының «бағдарламалық тазарту» кезеңінде қолданылады. Ол сондай-ақ бұл әдіс қателіктер жасағанда, басқа әдістерден айырмашылығы, қателіктерді анық көрсететінін атап өтті, ал басқа әдістер сырттай дұрыс болғанымен, жасырын қателіктерге жол беруі мүмкін. Бірақ бұл әдіс 1960 жылдардағы есептеу техникасының жетістіктеріне дейін іске асырыла алмады. Шамамен 1950 жылы ол есептеулердің уақыттық күрделілігі туралы алғашқылардың бірі болып айтты, бұл әрі қарай есептеу күрделілігі теориясының саласына дамыды.
Von Neumann was the inventor, in 1945, of the merge sort algorithm, in which the first and second halves of an array are each sorted recursively and then merged. As part of Von Neumann's hydrogen bomb work, he and Stanisław Ulam developed simulations for hydrodynamic computations. He also contributed to the development of the Monte Carlo method, which used random numbers to approximate the solutions to complicated problems. Von Neumann's algorithm for simulating a fair coin with a biased coin is used in the "software whitening" stage of some hardware random number generators. He also noted that when this method went awry it did so obviously, unlike other methods which could be subtly incorrect. but could not be implemented until advances in computing of the 1960s. Around 1950 he was also among the first to talk about the time complexity of computations, which eventually evolved into the field of computational complexity theory.
Ұяшықтық автоматы, ДНК және әмбебап конструктор
Фон Нейманның өзін-өзі көбейту құрылымының математикалық талдауы ДНК құрылымының ашылуына дейін жасалды. Улам мен фон Нейман 1940 жылдары биологиялық жүйелердің қарапайым математикалық моделі ретінде жасушалық автоматтар саласын құрған деп есептеледі. 1948 және 1949 жылдарғы лекцияларында фон Нейман кинематикалық өзін-өзі көбейтуге қабілетті автоматты ұсынды. 1952 жылға қарай ол бұл мәселені көбірек абстрактілі тұрғыдан қарастырды. Ол жасушалардың бастапқы орналасуын автоматты түрде көшіре алатын күрделі 2D жасушалық автоматты жобалады. Фон Нейманның жасушалық автоматына негізделген әмбебап құрастырушысы оның өлімінен кейін жарық көрген "Өзін-өзі көбейту автоматтарының теориясында" толыққанды сипатталды. Фон Нейманның жасушалық автоматындағы әрбір жасушаның екі өлшемді тордағы төрт тік бұрышты көрші жасушасы көршілер болып табылатын "көршілік" қағидасы, басқа жасушалық автоматтар үшін де қолданыла береді.
Von Neumann's mathematical analysis of the structure of self replication preceded the discovery of the structure of DNA. Ulam and von Neumann are also generally credited with creating the field of cellular automata, beginning in the 1940s, as a simplified mathematical model of biological systems. In lectures in 1948 and 1949, von Neumann proposed a kinematic self reproducing automaton. By 1952, he was treating the problem more abstractly. He designed an elaborate 2D cellular automaton that would automatically make a copy of its initial configuration of cells. The Von Neumann universal constructor based on the von Neumann cellular automaton was fleshed out in his posthumous Theory of Self Reproducing Automata. The von Neumann neighborhood, in which each cell in a two dimensional grid has the four orthogonally adjacent grid cells as neighbors, continues to be used for other cellular automata.
Ғылыми есептеулер және сандық талдау
"Барлық уақыттағы ғылыми есептеудегі ең ықпалды зерттеуші" деп саналатын фон Нейман осы салаға техникалық және әкімшілік тұрғыдан бірнеше үлес қосты. Ол сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулер үшін сандық әдістерде қателердің жиналуын болдырмау үшін әлі де кеңінен қолданылатын фон Нейманның тұрақтылық талдау процедурасын жасады. 1947 жылы Герман Голдстайнмен бірге жазған мақаласы кері қателіктерді талдауды алғаш рет сипаттады, әйтсе де бұл ашық айтылмаған еді. Сонымен қатар, ол Жакоби әдісі туралы жазған алғашқы ғалымдардың бірі болды. Лос-Аламоста ол газ динамикасы мәселелерін сандық жолмен шешу туралы бірнеше құпия есеп дайындады. Дегенмен, ол осы сызықтық емес мәселелер үшін талдамалық әдістердің жетілмегендігіне көңіл бөлді. Осының нәтижесінде ол есептеу әдістеріне көшті. Оның ықпалымен Лос-Аламос 1950-ші және 1960-шы жылдардың басында есептеу ғылымының жетекші орталығына айналды. Осы жұмысының арқасында фон Нейман есептеудің проблеманы сандық түрде күшпен шешу құралы ғана емес, сонымен қатар мәселелерді талдамалық жолмен шешуге көмектесетін түсінік бере алатынын, және компьютерлердің пайдалы болатын көптеген ғылыми және инженерлік мәселелер бар екенін, олардың ең маңыздысы – сызықтық емес мәселелер екенін түсінді. 1945 жылғы маусымда өткен Бірінші Канадалық математикалық конгресінде ол мәселелерді, әсіресе сұйық динамикасын сандық жолмен шешудің жалпы идеялары туралы алғашқы баяндамасын жасады. Ол сондай-ақ жел тоннельдерінің аналогтық компьютерлер екенін және цифрлық компьютерлердің оларды алмастырып, сұйық динамиканың жаңа дәуірін бастайтынын түсіндірді. Гаррет Бирхофф оны "ұмытылмас жарнама" деп сипаттады. Ол Голдстайнмен бірге жасаған баяндамасын "Ірі есептеу машиналарының принциптері" атты қолжазбаға дамытып, ғылыми есептеуді қолдау үшін пайдаланды. Оның еңбектерінде матрицаларды инверсиялау, кездейсоқ матрицалар және эллиптикалық шекаралық мәселелерді шешуге арналған автоматтандырылған релаксация әдістері туралы ұғымдар да қалыптасты.
Considered to be possibly "the most influential researcher in scientific computing of all time", von Neumann made several contributions to the field, both technically and administratively. He developed the Von Neumann stability analysis procedure, still commonly used to avoid errors from building up in numerical methods for linear partial differential equations. His paper with Herman Goldstine in 1947 was the first to describe backward error analysis, although implicitly. He was also one of the first to write about the Jacobi method. At Los Alamos, he wrote several classified reports on solving problems of gas dynamics numerically. However, he was frustrated by the lack of progress with analytic methods for these nonlinear problems. As a result, he turned towards computational methods. Under his influence Los Alamos became the leader in computational science during the 1950s and early 1960s. From this work von Neumann realized that computation was not just a tool to brute force the solution to a problem numerically, but could also provide insight for solving problems analytically, and that there was an enormous variety of scientific and engineering problems towards which computers would be useful, most significant of which were nonlinear problems. In June 1945 at the First Canadian Mathematical Congress he gave his first talk on general ideas of how to solve problems, particularly of fluid dynamics numerically. He also described how wind tunnels were actually analog computers, and how digital computers would replace them and bring a new era of fluid dynamics. Garrett Birkhoff described it as "an unforgettable sales pitch". He expanded this talk with Goldstine into the manuscript "On the Principles of Large Scale Computing Machines" and used it to promote the support of scientific computing. His papers also developed the concepts of inverting matrices, random matrices and automated relaxation methods for solving elliptic boundary value problems.
Ауа райы жүйелері мен ғаламдық жылыну
Компьютерлерді қолдану мүмкіндіктерін зерттеу барысында фон Нейман ауа райын болжауға қызығушылық танытып, осы саладағы мәселелер мен Манхэттен жобасы кезіндегі жұмысында кездесетін мәселелердің ұқсастығын байқады. 1946 жылы фон Нейман Жоғары оқу орнында «Метеорологиялық жобаны» құрды, жобасына Метеорологиялық бюро, АҚШ Әуе күштері және АҚШ Әскери-теңіз күштерінің ауа райы қызметтерінен қаржыландыру алды. Ол сол кездегі жетекші теориялық метеоролог саналатын Карл Густав Россбимен бірге осы саладағы түрлі мәселелерді шешу үшін жиырма метеорологтан тұратын топты жинады. Алайда, соғыстан кейінгі басқа жұмыстарына байланысты ол жобаны тиісті түрде басқаруға жеткілікті уақыт бөле алмады және көп нәтижеге қол жеткізілмеді. Бұл жас Жюль Грегори Чарни Россбиден жобаның басшылығын қабылдағанда өзгерді. 1950 жылы фон Нейман мен Чарни әлемдегі алғашқы климатты модельдеу бағдарламасын жасап, фон Нейман қолданған ENIAC компьютерінде әлемдегі алғашқы сандық ауа райы болжамын жасау үшін пайдаланды. Олар теңіз бен ауа арасындағы энергия мен ылғал алмасуын климатты зерттеуге енгізуге бағытталған күш-жігерде жетекші рөл атқарды. ENIAC болжамдары туралы жаңалықтар жылдам бүкіл әлемге тарады және басқа жерлерде бірқатар параллель жобалар бастау алды. 1955 жылы фон Нейман, Чарни және олардың әріптестері өздерінің демеушілерін Мэриленд штатының Суитленд қаласында Бірлескен сандық ауа райы болжау бөлімін (JNWPU) ашуға көндірді, ол күнделікті нақты уақыт режимінде ауа райын болжауды бастады. Содан кейін фон Нейман климатты модельдеу үшін зерттеу бағдарламасын ұсынды: тәсіл алдымен қысқа мерзімді болжамдарды, содан кейін ұзақ мерзімді болжамдарды сынап көру, содан кейін кез келген ұзақ мерзімге өздігінен жалғаса алатын айналымның қасиеттерін болжау және соңында қарапайым гидродинамикалық теориямен шешуге тым ұзақ және тепе-теңдік теориясының жалпы қағидасымен шешуге тым қысқа болатын орташа мерзімді болжамдарға тырысу. 1955 жылы Норман А. Филлипстің оң нәтижелері дереу реакция тудырды және фон Нейман Принстонда «Жалпы айналым мәселесіне сандық интеграциялау әдістерін қолдану» тақырыбында конференция ұйымдастырды. Ол тағы да бағдарламаны Уақыт бюросы мен әскерилердің қолдауын қамтамасыз ету үшін стратегиялық тұрғыдан ұйымдастырды, бұл JNWPU-дың жанында Жалпы айналым зерттеу бөлімінің (қазіргі Геофизикалық сұйықтық динамикасы зертханасы) құрылуына әкелді. Ол модельдеудің техникалық мәселелері бойынша және осы жобаларға қаржыландыруды қамтамасыз ету бойынша жұмысын жалғастырды. XIX ғасырдың соңында Сванте Аррениус адамның қызметі атмосфераға көмірқышқыл газын қосу арқылы жаһандық жылынуға себеп болуы мүмкін екенін болжады. 1955 жылы фон Нейман бұл үдеріс қазірдің өзінде басталған болуы мүмкін екенін атап өтті: «Өнеркәсіптің көмір мен мұнайды жағуынан атмосфераға шығарылған көмірқышқыл газы – соңғы ұрпақтың жартысынан астамы – атмосфераның құрамын өзгертіп, әлемнің жалпы жылынуына бір градус Фаренгейтке дейін себеп болуы мүмкін». Оның ауа райы жүйелерін және метеорологиялық болжамдарды зерттеуі оған полярлық мұз қапақтарына бояғыштарды таратып, күн сәулесін сіңіруді арттыру (албедоны азайту арқылы) арқылы қоршаған ортаны басқаруды ұсынды. Алайда ол атмосфераны өзгерту бағдарламасында сақтық танытуды қадалады: «Әрине, не істеуге болады, бұл не істеуге тиіс екендігінің көрсеткіші емес. Шындығында, жалпы салқынданудың немесе жалпы жылынудың соңғы салдарларын бағалау күрделі мәселе болар еді. Өзгерістер теңіз деңгейіне, демек, құрлық жағалауының қоныстануына, теңіздің булануына, демек, жалпы жауын-шашын мен мұздық деңгейіне және т.б. әсер етеді. Бірақ нәтижелерді болжау үшін қажетті талдауларды жүргізуге, кез келген масштабта араласуға және ақырында керемет нәтижелерге қол жеткізуге күмән жоқ». Ол Уламмен талқылаған «технологияның үнемі үдеп келе жатқан дамуы мен адам өмірінің өзгеруі, бұл адамзат тарихындағы маңызды бір ерекше жағдайға жақындап қалғандай көрінеді, одан кейін адамзаттың іс-әрекеті, біз білетіндей, жалғаса алмайды» деген пікірді айтты. Бұл тұжырымдама кейіннен Альвин Тоффлердің «Болашақ шогы» кітабында кеңінен жазылды.
As part of his research into possible applications of computers, von Neumann became interested in weather prediction, noting similarities between the problems in the field and those he had worked on during the Manhattan Project. In 1946 von Neumann founded the "Meteorological Project" at the Institute for Advanced Study, securing funding for his project from the Weather Bureau, the US Air Force and US Navy weather services. With Carl Gustaf Rossby, considered the leading theoretical meteorologist at the time, he gathered a group of twenty meteorologists to work on various problems in the field. However, given his other postwar work he was not able to devote enough time to proper leadership of the project and little was accomplished. This changed when a young Jule Gregory Charney took up co leadership of the project from Rossby. By 1950 von Neumann and Charney wrote the world's first climate modelling software, and used it to perform the world's first numerical weather forecasts on the ENIAC computer that von Neumann had arranged to be used; Together they played a leading role in efforts to integrate sea air exchanges of energy and moisture into the study of climate. Though primitive, news of the ENIAC forecasts quickly spread around the world and a number of parallel projects in other locations were initiated. In 1955 von Neumann, Charney and their collaborators convinced their funders to open the Joint Numerical Weather Prediction Unit (JNWPU) in Suitland, Maryland, which began routine real time weather forecasting. Next up, von Neumann proposed a research program for climate modeling: The approach is to first try short range forecasts, then long range forecasts of those properties of the circulation that can perpetuate themselves over arbitrarily long periods of time, and only finally to attempt forecast for medium long time periods which are too long to treat by simple hydrodynamic theory and too short to treat by the general principle of equilibrium theory. Positive results of Norman A. Phillips in 1955 prompted immediate reaction and von Neumann organized a conference at Princeton on "Application of Numerical Integration Techniques to the Problem of the General Circulation". Once again he strategically organized the program as a predictive one to ensure continued support from the Weather Bureau and the military, leading to the creation of the General Circulation Research Section (now the Geophysical Fluid Dynamics Laboratory) next to the JNWPU. He continued work both on technical issues of modelling and in ensuring continuing funding for these projects. During the late 19th century, Svante Arrhenius suggested that human activity could cause global warming by adding carbon dioxide to the atmosphere. In 1955, von Neumann observed that this may already have begun: "Carbon dioxide released into the atmosphere by industry's burning of coal and oil – more than half of it during the last generation – may have changed the atmosphere's composition sufficiently to account for a general warming of the world by about one degree Fahrenheit." His research into weather systems and meteorological prediction led him to propose manipulating the environment by spreading colorants on the polar ice caps to enhance absorption of solar radiation (by reducing the albedo). However, he urged caution in any program of atmosphere modification: <blockquote>What could be done, of course, is no index to what should be done In fact, to evaluate the ultimate consequences of either a general cooling or a general heating would be a complex matter. Changes would affect the level of the seas, and hence the habitability of the continental coastal shelves; the evaporation of the seas, and hence general precipitation and glaciation levels; and so on But there is little doubt that one could carry out the necessary analyses needed to predict the results, intervene on any desired scale, and ultimately achieve rather fantastic results. who according to Ulam discussed the "ever accelerating progress of technology and changes in the mode of human life, which gives the appearance of approaching some essential singularity in the history of the race beyond which human affairs, as we know them, could not continue." This concept was fleshed out later in the book Future Shock by Alvin Toffler.
Манхэттен жобасы
1930 жылдардың соңынан бастап фон Нейман математикалық модельдеуге қиын жарылыстар құбылыстарында тәжірибе жинақтады. Осы кезеңде ол пішінді зарядтар математикасының жетекші маманы болды, бұл оны көптеген әскери консультацияларға және нәтижесінде Манхэттен жобасына қатысуға жеткізді. Бұл жұмыстарға Нью-Мексикодағы Лос-Аламос зертханасындағы құпия зерттеу нысандарына жиі бару да кірді. Модельдермен бірнеше сәтсіз әрекеттерден кейін бұл Джордж Кистиаковскийге қол жеткізілді және Тринити бомбасының құрылысы 1945 жылдың шілдесінде аяқталды. 1944 жылдың қыркүйек айында Лос-Аламосқа жасаған сапарында фон Нейман жарылыс соққы толқынының қатты денелерден шағылысуынан болатын қысымның күшеюін көрсетті. Егер соққы толқынының түсу бұрышы 90° пен белгілі бір шектеу бұрышы арасында болса, бұл бұрышты бұрынғы болжамдардан жоғары деп есептелді. Нәтижесінде атом бомбасының тиімділігі жер бетінен гөрі нысанадан бірнеше шақырым биіктікте жарылғанда артады деп анықталды. Фон Нейман атом бомбасының алғашқы нысанасы ретінде Хиросима мен Нагасаки қалаларын таңдауға жауапты болған нысананы таңдау комитетіне кірді. Фон Нейман бомба жарылысының күтілетін көлемі, қаза болғандар саны және бомбалардың оңтайлы шок толқынының таралуы үшін жер бетінен қанша биіктікте жарылуы керек екеніне қатысты есептеулерді бақылады. Мәдени орталық Киото фон Нейманның бірінші таңдауы болды, бұл таңдауға Манхэттен жобасының жетекшісі генерал Лесли Гроувз қолдау көрсетті. Алайда бұл мақсатты соғыс министрі Генри Л. Стимсон қабылдамады. 1945 жылдың 16 шілдесінде фон Нейман және Манхэттен жобасының көптеген басқа да қызметкерлері атом бомбасының тұңғыш сынағына куә болды, ол "Тринити" деп аталды. Бұл сынақ Жаңа Мексикадағы Аламогордо бомбалау полигонында имплозиялық әдіс арқылы жасалған құрылғыны сынау мақсатында жүргізілді. Фон Нейманның өзінің бақылауынша, сынақ нәтижесінде 10 килотонналық жарылыс болды, бірақ Энрико Ферми шок толқыны өткелі жатқанда жыртылған қағаз қиындыларын тастап, олардың қаншалықты шашырағанын бақылап, 10 килотоннаға жуық екенін анықтады. Жарылыстың нақты күші 20-22 килотоннаны құрады. "Килотон" термині алғаш рет 1944 жылы фон Нейманның еңбектерінде пайда болды. Фон Нейман жұмысына тосқауылсыз кірісіп, Эдвард Теллермен бірге сутекті бомба жобасын қолдағандардың бірі болды. Ол Клаус Фукспен бірге бомбаны одан әрі жетілдіруде жұмыс істеді, ал 1946 жылы екеуі ядролық синтезді бастау үшін бөлінуші бомбаны пайдаланып синтездік отынды сығыстыру схемасын сипаттайтын құпия патентке өтініш берді. Фукс-Вон Нейманның патенты радиациялық имплозияны қолданды, бірақ ол кейіннен жасалған сутекті бомбаның дизайнындағы Теллер-Улам дизайнында қолданылғандай емес. Алайда олардың жұмысы "Гринхаус" операциясының "Джордж" сынағына енгізілді, бұл соңғы дизайнға енгізілген тұжырымдамаларды сынау үшін пайдалы болды. Фукс-Вон Нейманның жұмысы Фукс ядролық тыңшылығының бір бөлігі ретінде Кеңес Одағына берілді, бірақ ол Кеңес Одағының Теллер-Улам дизайнын өздігінен дамытуында қолданылмады. Тарихшы Джереми Бернштейн ирониямен "Джон фон Нейман мен Клаус Фукс 1946 жылы сутекті бомбаның даму барысын өзгерте алатын керемет өнертабыс жасады, бірақ бомба сәтті жасалғаннан кейін ғана толық түсінілді" деп атап өтті. Ол сондай-ақ ядролық қарудың әскери аспектілеріне жауапты Қарулы Күштердің арнайы қару-жарақ жобасының кеңесшісі болды. Келесі екі жылда ол АҚШ үкіметінде кеңесші болып жұмыс істеді. Бұл Орталық барлау агенттігі (ЦРУ), атом энергиясы жөніндегі комиссияның ықпалды Бас кеңесші комитетінің мүшесі, жаңа құрылған Лоуренс Ливермор ұлттық зертханасының консультанты және АҚШ Әскери-әуе күштері ғылыми кеңесші тобының мүшесі болды. Осы уақыт ішінде ол Пентагонның "супер жұлдызы" қорғаныс ғалымы атанды. Оның билігі АҚШ үкіметі мен әскерилерінің ең жоғары деңгейінде сөзсіз болып саналды. АҚШ Әуе күштері кеңесші кеңесінің бірнеше кездесуінде фон Нейман мен Эдвард Теллер 1960 жылға қарай АҚШ ракетаның үстіне сыятын жеңіл сутекті бомба жасауға болатынын болжады. 1953 жылы кездесуге қатысқан Бернард Шривер бұл мүмкіндікті растау үшін Принстондағы фон Нейманға жеке сапармен барды. Шривер Тревор Гарднерді шақырды, ол өз кезегінде бірнеше аптадан кейін фон Нейманға Вашингтонда мұндай қару үшін науқанды бастамас бұрын болашақ мүмкіндіктерді толық түсіну үшін барды. Стратегиялық зымырандар мен ядролық қару-жарақпен айналысатын бірнеше кеңестерге төрағалық ету немесе мүше болу арқылы фон Нейман осы екі саланың дамуындағы кеңестік жетістіктерге және американдық бомбалаушыларға қарсы стратегиялық қорғанысқа қатысты маңызды аргументтерді үкіметтік есептерге енгізе алды. Гарднер бірнеше рет фон Нейманды АҚШ Қорғаныс министрлігімен кездесулерге шақырды, онда ол түрлі жоғары лауазымды шенеуніктерге өз есептерін талқылады. Осы есептердегі бірнеше дизайндық шешімдер, мысалы инерциялық басқару механизмдері, кейіннен барлық стратегиялық зымырандардың негізін құрады. 1954 жылға қарай фон Нейман сондай-ақ стратегиялық зымырандар бағдарламасына үздіксіз қолдау көрсетуді қамтамасыз ету үшін әртүрлі конгресс әскери комиссияларына куәлік берумен айналысты. Алайда бұл жеткіліксіз болды. Стратегиялық зымырандар бағдарламасын толық қуатпен іске қосу үшін олар АҚШ Президентінің тікелей әрекетіне мұқтаж болды. Олар 1955 жылдың шілдесінде өткен тікелей кездесуде Президент Эйзенхауэрді ықпалдастырып, 1955 жылдың 13 қыркүйегінде президенттік директиваға қол қойды. Директивада "Кеңес Одағы АҚШ-тан бұрын стратегиялық зымырандарды жасаса, ұлттық қауіпсіздікке және еркін әлемнің ынтымақтастығына ең ауыр салдар тиеді" делінген және стратегиялық зымырандар жобасы "барлық басқаларынан жоғары басымдыққа ие зерттеу және дамыту бағдарламасы" деп белгіленді. Қорғаныс министріне жобаны "барынша жеделдетумен" бастау бұйрық берілді. Кейінірек алынған мәліметтер көрсетті, кеңестік тарап сол кезде өздерінің орташа қашықтықтағы баллистикалық зымырандарын сынап көрген. Фон Нейман президентпен, соның ішінде Пенсильвания штаты Геттисбердегі үйінде және басқа да жоғары лауазымды үкімет шенеуніктерімен стратегиялық зымырандар бойынша негізгі кеңесші ретінде өмірінің соңына дейін кездесулерін жалғастырды.
Beginning in the late 1930s, von Neumann developed an expertise in explosions—phenomena that are difficult to model mathematically. During this period, he was the leading authority of the mathematics of shaped charges, leading him to a large number of military consultancies and consequently his involvement in the Manhattan Project. The involvement included frequent trips to the project's secret research facilities at the Los Alamos Laboratory in New Mexico. After a series of failed attempts with models, this was achieved by George Kistiakowsky, and the construction of the Trinity bomb was completed in July 1945. In a visit to Los Alamos in September 1944, von Neumann showed that the pressure increase from explosion shock wave reflection from solid objects was greater than previously believed if the angle of incidence of the shock wave was between 90° and some limiting angle. As a result, it was determined that the effectiveness of an atomic bomb would be enhanced with detonation some kilometers above the target, rather than at ground level. Von Neumann was included in the target selection committee that was responsible for choosing the Japanese cities of Hiroshima and Nagasaki as the first targets of the atomic bomb. Von Neumann oversaw computations related to the expected size of the bomb blasts, estimated death tolls, and the distance above the ground at which the bombs should be detonated for optimum shock wave propagation. The cultural capital Kyoto was von Neumann's first choice, a selection seconded by Manhattan Project leader General Leslie Groves. However, this target was dismissed by Secretary of War Henry L. Stimson. On July 16, 1945, von Neumann and numerous other Manhattan Project personnel were eyewitnesses to the first test of an atomic bomb detonation, which was code named Trinity. The event was conducted as a test of the implosion method device, at the Alamogordo Bombing Range in New Mexico. Based on his observation alone, von Neumann estimated the test had resulted in a blast equivalent to but Enrico Fermi produced a more accurate estimate of 10 kilotons by dropping scraps of torn up paper as the shock wave passed his location and watching how far they scattered. The actual power of the explosion had been between 20 and 22 kilotons. It was in von Neumann's 1944 papers that the expression "kilotons" appeared for the first time. Von Neumann continued unperturbed in his work and became, along with Edward Teller, one of those who sustained the hydrogen bomb project. He collaborated with Klaus Fuchs on further development of the bomb, and in 1946 the two filed a secret patent outlining a scheme for using a fission bomb to compress fusion fuel to initiate nuclear fusion. The Fuchs–von Neumann patent used radiation implosion, but not in the same way as is used in what became the final hydrogen bomb design, the Teller–Ulam design. Their work was, however, incorporated into the "George" shot of Operation Greenhouse, which was instructive in testing out concepts that went into the final design. The Fuchs–von Neumann work was passed on to the Soviet Union by Fuchs as part of his nuclear espionage, but it was not used in the Soviets' own, independent development of the Teller–Ulam design. The historian Jeremy Bernstein has pointed out that ironically, "John von Neumann and Klaus Fuchs, produced a brilliant invention in 1946 that could have changed the whole course of the development of the hydrogen bomb, but was not fully understood until after the bomb had been successfully made." He also became an adviser to the Armed Forces Special Weapons Project, which was responsible for the military aspects on nuclear weapons. Over the following two years, he became a consultant across the US government. This included the Central Intelligence Agency (CIA), a member of the influential General Advisory Committee of the Atomic Energy Commission, a consultant to the newly established Lawrence Livermore National Laboratory, and a member of the Scientific Advisory Group of the United States Air Force During this time he became a "superstar" defense scientist at the Pentagon. His authority was considered infallible at the highest levels of the US government and military. During several meetings of the advisory board of the US Air Force, von Neumann and Edward Teller predicted that by 1960 the US would be able to build a hydrogen bomb light enough to fit on top of a rocket. In 1953 Bernard Schriever, who was present at the meeting, paid a personal visit to von Neumann at Princeton to confirm this possibility. Schriever enlisted Trevor Gardner, who in turn visited von Neumann several weeks later to fully understand the future possibilities before beginning his campaign for such a weapon in Washington. Now either chairing or serving on several boards dealing with strategic missiles and nuclear weaponry, von Neumann was able to inject several crucial arguments regarding potential Soviet advancements in both these areas and in strategic defenses against American bombers into government reports to argue for the creation of ICBMs. Gardner on several occasions brought von Neumann to meetings with the US Department of Defense to discuss with various senior officials his reports. Several design decisions in these reports such as inertial guidance mechanisms would form the basis for all ICBMs thereafter. By 1954, von Neumann was also regularly testifying to various Congressional military subcommittees to ensure continued support for the ICBM program. However, this was not enough. To have the ICBM program run at full throttle they needed direct action by the President of the United States. They convinced President Eisenhower in a direct meeting in July 1955, which resulted in a presidential directive on September 13, 1955. It stated that "there would be the gravest repercussions on the national security and on the cohesion of the free world" if the Soviet Union developed the ICBM before the US and therefore designated the ICBM project "a research and development program of the highest priority above all others." The Secretary of Defense was ordered to commence the project with "maximum urgency". Evidence would later show that the Soviets indeed were already testing their own intermediate range ballistic missiles at the time. Von Neumann would continue to meet the President, including at his home in Gettysburg, Pennsylvania, and other high level government officials as a key advisor on ICBMs until his death.
Атом энергиясы жөніндегі комиссия
1955 жылы фон Нейман Атом энергиясы жөніндегі комиссияның (AEC) комиссары болды, бұл сол кезде үкіметтегі ғалымдарға қолжетімді ең жоғары лауазым еді. (Оның тағайындалуы формальды түрде басқа барлық консультациялық шартынан бас тартуды талап еткенімен, Әскери-әуе күштері мен бірнеше маңызды сенаторлар алаңдаушылық білдіргеннен кейін фон Нейманға бірнеше маңызды әскери комитеттермен жұмысын жалғастыруға рұхсат берілді.) Ол бұл лауазымды интерконтиненталдық баллистикалық зымыранмен (ICBM) жеткізілетін ықшам сутекті бомбалар өндірісін одан әрі дамыту үшін пайдаланды. Ол осы қарулар үшін қажетті тритий мен литий-6 тапшылығын жоюға қатысты және Армия ұсынған орташа қашықтықтағы зымырандарға келісуге қарсы болды. Ол ICBM арқылы жау территориясына жеткізілген H-бомбаның ең тиімді қару болады деп талап етті, ал зымыранның салыстырмалы дәлсіздігі H-бомба үшін мәселе болмайды деді. Оның пікірінше, орыстар да осыған ұқсас қару жүйесін құрастырып жатыр, және осы болжамы расталды. 1955 жылдың екінші жартысында Льюис Штраус қатыспаған кезде фон Нейман комиссия төрағасының міндетін уақытша атқарды. Өмірінің соңғы жылдары, қатерлі ісіктен қайтыс болғанға дейін, фон Нейман АҚШ үкіметінің құпия ICBM комитетіне жетекшілік етті, ол кейде оның үйінде жиналатын. Комитеттің мақсаты термоядролық қаруды тасымалдауға жеткілікті үлкен ICBM құрудың мүмкіндігін анықтау болды. Фон Нейман бұл техникалық қиындықтар көп болғанымен, оларды жеңуге болатынын ұзақ уақыттан бері айтып келген. SM 65 Atlas 1959 жылы, оның өлімінен екі жыл өткен соң, толыққанды жұмыс істейтін алғашқы сынағынан өтті. Көбірек жетілдірілген Titan ракеталары 1962 жылы қолданысқа енгізілді. Екі жоба да фон Нейман төрағалық еткен ICBM комитеттерінде ұсынылған. ICBM-нің іске асырылуы ракета технологиясының жетістіктеріне қарағанда, жақсартылған, кішірек соғыс бас бөліктеріне, олардың бағыттауы немесе ыстыққа төзімділік мәселелері болмауына байланысты болды, ал оның соңғысын түсінуі оның кеңестерін құнды етті. Фон Нейман мемлекеттік қызметке кіруіне себеп, егер бостандық пен өркениет сақталса, онда АҚШ нацизм, фашизм және советтік коммунизм тоталитаризмінен жеңіске жететініне сенгені болды. Сенат комитетінде сөйлеген сөзінде ол өзінің саяси идеологиясын "күшті коммунизмге қарсы және қалыптыдан гөрі әлдеқайда милитаристтік" деп сипаттады.
In 1955, von Neumann became a commissioner of the Atomic Energy Commission (AEC), which at the time was the highest official position available to scientists in the government. (While his appointment formally required that he sever all his other consulting contracts, an exemption was made for von Neumann to continue working with several critical military committees after the Air Force and several key senators raised concerns.) He used this position to further the production of compact hydrogen bombs suitable for intercontinental ballistic missile (ICBM) delivery. He involved himself in correcting the severe shortage of tritium and lithium 6 needed for these weapons, and he argued against settling for the intermediate range missiles that the Army wanted. He was adamant that H bombs delivered deep into enemy territory by an ICBM would be the most effective weapon possible, and that the relative inaccuracy of the missile would not be a problem with an H bomb. He said the Russians would probably be building a similar weapon system, which turned out to be the case. While Lewis Strauss was away in the second half of 1955 von Neumann took over as acting chairman of the commission. In his final years before his death from cancer, von Neumann headed the United States government's top secret ICBM committee, which would sometimes meet in his home. Its purpose was to decide on the feasibility of building an ICBM large enough to carry a thermonuclear weapon. Von Neumann had long argued that while the technical obstacles were sizable, they could be overcome. The SM 65 Atlas passed its first fully functional test in 1959, two years after his death. The more advanced Titan rockets were deployed in 1962. Both had been proposed in the ICBM committees von Neumann chaired. The feasibility of the ICBMs owed as much to improved, smaller warheads that did not have guidance or heat resistance issues as it did to developments in rocketry, and his understanding of the former made his advice invaluable. Von Neumann entered government service primarily because he felt that, if freedom and civilization were to survive, it would have to be because the United States would triumph over totalitarianism from Nazism, Fascism and Soviet Communism. During a Senate committee hearing he described his political ideology as "violently anti communist, and much more militaristic than the norm".
Жұмыс әдеттері
Герман Голдстин фон Нейманның жасырын қателерді сезіп табу және ескі материалды мінсіз есте сақтау қабілетін атап өтті. Ол қиындыққа тап болғанда, оны күштеп шешуге тырыспай, керісінше үйіне барып ұйықтап, кейін шешімімен оралып келетін. Осы стиль, "ең оңай жолды таңдау", кейде оның ойдан шашуға бой беруіне себеп болатын. Сондай-ақ, егер қиындық бастапқыда-ақ үлкен болса, ол бірден басқа мәселеге көшіп, одан шығуға болатын нашар тұстарды іздеуге тырыспайтын. Кездейсоқ, ол стандартты математикалық әдебиеттермен толыққанды таныс болмауы мүмкін, себебі қажетті негізгі ақпаратты қайта есептеу, сілтемелерді іздеуден оңайырақ көрінетін. Екінші дүниежүзілік соғыс басталғаннан кейін ол академиялық және әскери міндеттерімен тым шұғылданды. Оның дәрістерін жазбау және нәтижелерін жарияламау әдеті нашарлап кетті. Ол тақырыпты жазбаша түрде ресми талқылауды қиындықпен жасайтын, егер ол оның санасында толық пісіп жетілмеген болса; әйтпесе, өзінің айтуынша, "педантизм мен тиімсіздіктің ең жаман белгілерін дамытатын".
Herman Goldstine commented on von Neumann's ability to intuit hidden errors and remember old material perfectly. When he had difficulties he would not labor on; instead, he would go home and sleep on it and come back later with a solution. This style, 'taking the path of least resistance', sometimes meant that he could go off on tangents. It also meant that if the difficulty was great from the very beginning, he would simply switch to another problem, not trying to find weak spots from which he could break through. At times he could be ignorant of the standard mathematical literature, finding it easier to rederive basic information he needed rather than chase references. After World War II began, he became extremely busy with both academic and military commitments. His habit of not writing up talks or publishing results worsened. He did not find it easy to discuss a topic formally in writing unless it was already mature in his mind; if it was not, he would, in his own words, "develop the worst traits of pedantism and inefficiency".
Математикалық ауқым
Математик Жан Диодонне фон Нейманды "бір кезде гүлденген және көптеген математиктерден тұратын топтың соңғы өкілі болуы мүмкін, олар таза және қолданбалы математикада бірдей жақсы білген және мансабы бойы екі бағытта да тұрақты өнімділік көрсеткен ұлы математиктер" деп айтты. Диодоннеге сәйкес, оның ерекше қабілеті талдау және "комбинаторика" салаларында болды, ал комбинаторика кең мағынада түсініліп, ол бұрын математикамен байланысы шамалы болған күрделі жұмыстарды ұйымдастыру және аксиомалау дағдысын көрсетеді. Оның талдау стилі неміс мектебінің дәстүрінде болды, ол сызықтық алгебра және жалпы топология негіздеріне сүйенді. Фон Нейманның энциклопедиялық білімі болғанымен, оның таза математикадағы ауқымы Пуанкаре, Гильберт немесе тіпті Вейльге қарағанда тар болды: фон Нейман сандар теориясы, алгебралық топология, алгебралық геометрия немесе дифференциалдық геометрия салаларында маңызды еңбек еткен жоқ. Дегенмен, қолданбалы математикада оның жұмысы Гаусс, Коши немесе Пуанкареге тең келді. Вигнердің сөзіне қарағанда, "ешкім ғылымның барлығын білмейді, тіпті фон Нейман да білмеді. Бірақ математикаға қатысты айтсақ, ол сандар теориясы мен топологиядан басқа барлық саласына үлес қосты. Менің ойымша, бұл бірегей жағдай". Халмос фон Нейманның математикадан көп нәрсе білетінін, бірақ алгебралық топология мен сандар теориясы ең үлкен кемшіліктері болғанын атап өтті; ол фон Нейманның топологиялық анықтаманы тани алмаған жағдайды еске алды. Фон Нейман Герман Гольдстинге топологияда ешқандай қабілеті жоқ екенін мойындады және ол оған ешқашан үйренісе алмады, ал Гольдстин кейіннен оны Герман Вейльмен салыстырғанда осы туралы айтты, ол одан терең және кең деп ойлады. Фон Нейманның өмірбаянында Соломон Бохнер фон Нейманның таза математикадағы көптеген жұмыстары шекті және шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерді қамтығанын жазды, ол сол кезде математиканың көп бөлігін құрады. Алайда, ол бұл әлі де математикалық кеңістіктің маңызды бөлігін қамтымайтынын, әсіресе геометрияны "глобал мағынада" қамтитын нәрселерді, мысалы топология, дифференциалдық геометрия және гармоникалық интегралдар, алгебралық геометрия және басқа да салаларды қамтымайтынын атап өтті. Фон Нейман осы салаларда сирек жұмыс істеді және Бохнердің пікірінше, оларға қызығушылық танытпады. Фон Нейманның соңғы мақалаларының бірінде ол таза математиктердің осы саланың тіпті бір бөлігін терең білуге қабілетсіз екеніне өкініш білдірді. 1940-жылдардың басында Улам оның біліміндегі кемшіліктерді анықтау үшін докторлық емтиханға ұқсас сынақ ойлап тапты; фон Нейман дифференциалдық геометрия, сандар теориясы және алгебра бойынша әр сұраққа қанағаттанарлық жауап бере алмады. Олар докторлық емтихандардың "тұрақты мағынасы аз" болуы мүмкін деген қорытындыға келді. Алайда, Вейл 20-ғасыр математикасының тарихын жазу туралы ұсыныстан бас тартқанда, оны ешкім жасай алмайды деп, Улам фон Нейман осы жұмысты атқаруға талпынуы мүмкін деп ойлады.
The mathematician Jean Dieudonné said that von Neumann "may have been the last representative of a once flourishing and numerous group, the great mathematicians who were equally at home in pure and applied mathematics and who throughout their careers maintained a steady production in both directions". According to Dieudonné, his specific genius was in analysis and "combinatorics", with combinatorics being understood in a very wide sense that described his ability to organize and axiomize complex works that previously seemed to have little connection with mathematics. His style in analysis followed the German school, based on foundations in linear algebra and general topology. While von Neumann had an encyclopedic background, his range in pure mathematics was not as wide as Poincaré, Hilbert or even Weyl: von Neumann never did significant work in number theory, algebraic topology, algebraic geometry or differential geometry. However, in applied mathematics his work equalled that of Gauss, Cauchy or Poincaré. According to Wigner, "Nobody knows all science, not even von Neumann did. But as for mathematics, he contributed to every part of it except number theory and topology. That is, I think, something unique." Halmos noted that while von Neumann knew lots of mathematics, the most notable gaps were in algebraic topology and number theory; he recalled an incident where von Neumann failed to recognize the topological definition of a torus. Von Neumann admitted to Herman Goldstine that he had no facility at all in topology and he was never comfortable with it, with Goldstine later bringing this up when comparing him to Hermann Weyl, who he thought was deeper and broader. In his biography of von Neumann, Salomon Bochner wrote that much of von Neumann's works in pure mathematics involved finite and infinite dimensional vector spaces, which at the time, covered much of the total area of mathematics. However he pointed out this still did not cover an important part of the mathematical landscape, in particular, anything that involved geometry "in the global sense", topics such as topology, differential geometry and harmonic integrals, algebraic geometry and other such fields. Von Neumann rarely worked in these fields and, as Bochner saw it, had little affinity for them. In one of von Neumann's last articles, he lamented that pure mathematicians could no longer attain deep knowledge of even a fraction of the field. In the early 1940s, Ulam had concocted for him a doctoral style examination to find weaknesses in his knowledge; von Neumann was unable to answer satisfactorily a question each in differential geometry, number theory, and algebra. They concluded that doctoral exams might have "little permanent meaning". However, when Weyl turned down an offer to write a history of mathematics of the 20th century, arguing that no one person could do it, Ulam thought von Neumann could have aspired to do so.
Лекция стилі
Голдстайн лекцияларын тегіс әрі түсінікті шыныға салынғандай деді. Ал ғылыми мақалаларын одан да қатал, азырақ түсінікпен жазылғанын ойлады. Халмос лекцияларын "көркем әрі жарқын" деп сипаттады, оның сөйлеуі анық, жылдам, дәл және барлық нәрсені қамтитын болды. Голдстайн сияқты, ол да лекцияларда "әлдеқандай оңай да табиғи" сезілгенін, бірақ кейін ойланғанда оның қызықты екенін айтты. Ол жылдам сөйлейтін: Банеш Хоффманға тіпті стенографиямен де жазба алу қиын болды, ал Альберт Такер адамдар көбінесе фон Нейманнан сұрақтар қойып, оның ойларын түсіну үшін оны баяулатуға тырысатынын айтты. Фон Нейман мұны білген және тым жылдам сөйлейтінін ескерткен тыңдаушыларына алғыс айтты. Лекцияға дайындалғанмен, көбінесе жазба қолданбай, қысқаша тұжырымдамалар мен талқылау уақытын жазып алатын.
Goldstine compared his lectures to being on glass, smooth and lucid. By comparison, Goldstine thought his scientific articles were written in a much harsher manner, and with much less insight. Halmos described his lectures as "dazzling", with his speech clear, rapid, precise and all encompassing. Like Goldstine, he also described how everything seemed "so easy and natural" in lectures but puzzling on later reflection. He was a quick speaker: Banesh Hoffmann found it very difficult to take notes, even in shorthand, and Albert Tucker said that people often had to ask von Neumann questions to slow him down so they could think through the ideas he was presenting. Von Neumann knew about this and was grateful for his audience telling him when he was going too quickly. Although he did spend time preparing for lectures, he rarely used notes, instead jotting down points of what he would discuss and for how long.
Эидетикалық жады
Фон Нейманның айқын есте сақтау қабілеті, әсіресе символдық түрдегісі, ерекше атақты болды. Герман Голдстин былай деп жазады:
Von Neumann was also noted for his eidetic memory, particularly of the symbolic kind. Herman Goldstine writes:
Фон Нейман телефондық анықтамалықтардың беттерін жатқа алуға қабілетті болған деседі. Ол достарын кездейсоқ бет нөмірін атауға шақырып, көңіл көтеріп отыратын. Сосын ол сол беттегі есімдерді, мекенжайларды және нөмірлерді тізбектеп айтатын. Станислав Уламның сөзіне қарағанда, Фон Нейманның есте сақтауы көру арқылы емес, есту арқылы болған.
Von Neumann was reportedly able to memorize the pages of telephone directories. He entertained friends by asking them to randomly call out page numbers; he then recited the names, addresses and numbers therein. Per Stanisław Ulam, von Neumann's memory was auditory rather than visual.
Математикалық жылдамдық
Фон Нейманның математикалық шеберлігі, есептеу жылдамдығы және жалпы проблемаларды шешу қабілеті әріптестерімен кеңінен танымал болды. Пол Халмос оның жылдамдығын «таң қалдырарлық» деп атады. Лотар Вольфганг Нордхайм оны «мен кездестірген ең жылдам ойлаушы» деп сипаттады. Энрико Ферми физик Герберт Андерсонға былай деді: «Джонни мен сияқты есептеулерді он есе жылдам жасай алады! Мен сенен он есе жылдам жасай аламын, Герб, сондықтан Джоннидің қаншалықты әсерлі екенін көресің!» Эдвард Теллер оған «ешқашан жете алмайтынымды» мойындады, ал Израиль Халперин оны ұстап тұруды «жарыс машинасына қуатын үш дөңгелек велосипедке» теңеді. Оның жаңа проблемаларды жылдам шешуге ерекше қабілеті болды. Джордж Поля, оның студенті ретінде Фон Нейманның Цюрихтегі ЭТХ-дағы лекцияларына қатысқан, «Джонниден ғана қорқып жүрдім. Егер лекция барысында шешілмеген мәселені айтсам, ол лекция соңында толық шешімін қағазға жазып әкеп беретін» деді. Джордж Данциг Фон Нейманға сызықтық бағдарламалаудағы шешілмеген мәселені «әдеттегі адамға ұсынғандай» ұсынғанда, бұл мәселе бойынша ешқандай жарияланған материал болмады. Фон Нейман «Ой, бұл!» деп жауап беріп, бір сағаттан астам сөз сөйлеп, осы уақытқа дейін ойға келмеген дуалдық теорияны қолданып, мәселені қалай шешу керектігін түсіндірді. Фон Нейманның әйгілі шырыш жұмбағымен кездесуі туралы әңгіме математикалық фольклорға енген. Бұл жұмбақта екі велосипед 20 шақырым қашықтықта басталады, және олар соқтығысқанша әрқайсысы сағатына 10 шақырым жылдамдықпен бір-біріне қарай жүреді; ал шырыш екі велосипед арасында сағатына 15 шақырым жылдамдықпен үздіксіз ұшып, соқтығысу кезінде қысылып қалады. Сұрақ қоюшы шырыш барлығы қанша қашықтықты ұшты деп сұрайды; жылдам жауап берудің «хикметі» — шырыштың жеке ұшуларының маңызды еместігін, тек ол бір сағат бойы сағатына 15 шақырым жылдамдықпен ұшқанын түсіну. Юджин Вигнердің айтуынша, Макс Борн Фон Нейманға бұл жұмбақты қойған. Ол сұраған басқа ғалымдар қашықтықты есептеуге көп уақыт жұмсады, сондықтан Фон Нейман 15 шақырымдық дұрыс жауапты дереу айтқанда, Борн оның амалды білген болуы керек деп байқады. «Қандай амал?» — деп сұрады Фон Нейман. «Мен геометриялық прогрессияны ғана қостым».
Von Neumann's mathematical fluency, calculation speed, and general problem solving ability were widely noted by his peers. Paul Halmos called his speed "awe inspiring." Lothar Wolfgang Nordheim described him as the "fastest mind I ever met". Enrico Fermi told physicist Herbert L. Anderson: "You know, Herb, Johnny can do calculations in his head ten times as fast as I can! And I can do them ten times as fast as you can, Herb, so you can see how impressive Johnny is!" Edward Teller admitted that he "never could keep up with him", and Israel Halperin described trying to keep up as like riding a "tricycle chasing a racing car." He had an unusual ability to solve novel problems quickly. George Pólya, whose lectures at ETH Zürich von Neumann attended as a student, said, "Johnny was the only student I was ever afraid of. If in the course of a lecture I stated an unsolved problem, the chances were he'd come to me at the end of the lecture with the complete solution scribbled on a slip of paper." When George Dantzig brought von Neumann an unsolved problem in linear programming "as I would to an ordinary mortal", on which there had been no published literature, he was astonished when von Neumann said "Oh, that! ", before offhandedly giving a lecture of over an hour, explaining how to solve the problem using the hitherto unconceived theory of duality. A story about von Neumann's encounter with the famous fly puzzle has entered mathematical folklore. In this puzzle, two bicycles begin 20 miles apart, and each travels toward the other at 10 miles per hour until they collide; meanwhile, a fly travels continuously back and forth between the bicycles at 15 miles per hour until it is squashed in the collision. The questioner asks how far the fly traveled in total; the "trick" for a quick answer is to realize that the fly's individual transits do not matter, only that it has been traveling at 15 miles per hour for one hour. As Eugene Wigner tells it, Max Born posed the riddle to von Neumann. The other scientists to whom he had posed it had laboriously computed the distance, so when von Neumann was immediately ready with the correct answer of 15 miles, Born observed that he must have guessed the trick. "What trick?" von Neumann replied. "All I did was sum the geometric series."
Өз-өзіне күмәндану
Рота фон Нейманның "терең және қайта-қайта туындайтын өзіне сенімсіздігі" туралы жазды. Джон Л. Келли 1989 жылы: "Джонни фон Нейман Курт Гёдель Пифагормен бірге еске алынар болса, ал мен ұмытылармын деді, бірақ біздің қалғанымыз Джонниге қорқынышпен қарадық" деп еске алды. Улам өзінің шығармашылығына қатысты күмәндануларының себебі, басқалар ашқан бірнеше маңызды идеяларды өзі ашпағанынан туындағанын айтады, тіпті ол оны істей алатын қабілеті болса да, толық еместік теоремалары мен Бирхоффтың нүктелік эргодикалық теоремасын мысалға келтіреді. Фон Нейман күрделі ойлардың артын бағу және терең түсініктерге ие болуда шебер болған, бірақ ол, мүмкін, интуитивті түсініктерді немесе ақылға сыймас дәлелдер мен теоремаларды табуға қабілеті жоқ деп ойлаған. Улам Принстон университетінде болғанда, фон Нейман операторлар сақиналары, үздіксіз геометриялар және кванттық логика бойынша жұмыс істеген кезде, фон Нейманның өзінің жұмысының маңыздылығына толық сенбегенін сезінгенін, және тек ерекше техникалық тәсілдерді немесе жаңа жолдарды тапқанда ғана оған қызығушылық танытқанын айтады. Дегенмен, Ротаның сөзіне қарағанда, фон Нейманның досымен салыстырғанда "құдіретті техникасы" болған, бірақ ол Уламды шығармашыл математик деп сипаттады.
Rota wrote that von Neumann had "deep seated and recurring self doubts". John L. Kelley reminisced in 1989 that "Johnny von Neumann has said that he will be forgotten while Kurt Gödel is remembered with Pythagoras, but the rest of us viewed Johnny with awe." Ulam suggests that some of his self doubts with regard for his own creativity may have come from the fact he had not discovered several important ideas that others had, even though he was more than capable of doing so, giving the incompleteness theorems and Birkhoff's pointwise ergodic theorem as examples. Von Neumann had a virtuosity in following complicated reasoning and had supreme insights, yet he perhaps felt he did not have the gift for seemingly irrational proofs and theorems or intuitive insights. Ulam describes how during one of his stays at Princeton while von Neumann was working on rings of operators, continuous geometries and quantum logic he felt that von Neumann was not convinced of the importance of his work, and only when finding some ingenious technical trick or new approach that he took some pleasure in it. However, according to Rota, von Neumann still had an "incomparably stronger technique" compared to his friend, despite describing Ulam as the more creative mathematician.
Марапаттар
Нобель сыйлығының лауреаты Ханс Бете: «Кейде фон Нейман сияқты ми адамзаттан артық түрді көрсетеді-ау деймін» деді. Эдвард Теллер: «Фон Нейман үш жасар ұлыммен әңгімелесіп, олар тең-тең сөйлесетін. Кейде ол бізге де осылай сөйлей ме екен деп ойладым». Питер Лакс: «Вон Нейман ойлауға, әсіресе математиканы ойлауға бейім болған» деп жазды. Евгений Вигнер: «Ол математикалық мәселелерді бастапқы күйінде ғана емес, толық күрделілігімен де түсіне білді». Клод Шеннон оны «Мен кездестірген ең ақылды адам» деп атады, бұл пікір көпке тараған. Якоб Броновски: «Ол мен білген ең ақылды адам еді, еш күмәні жоқ. Ол – гений еді». «Ғалымның ықпалы ғылымнан тыс салаларға да тараса, онда Джон фон Нейман, әлемдегі ең ықпалды математик болған шығар» деп жазды Миклош Редей. Питер Лакс фон Нейман ұзақ өмір сүргенде экономика бойынша Нобель сыйлығын алғанын айтты, сондай-ақ «егер компьютерлік ғылым мен математика саласында Нобель сыйлығы болғанда, ол да осы сыйлықтармен марапатталатын еді» деді. Рота: «Ол есептеудің шексіз мүмкіндіктерін бірінші болып сезінген және алғашқы үлкен компьютерді құруға қажетті интеллектуалдық және инженерлік ресурстарды жинауға бел буған адам еді» деп жазды, соның салдарынан «Бұл ғасырдағы ешбір математик цивилизация бағытына одан терең әсер етпеген» деді. Ол 20 ғасырдың ең ұлы және ықпалды математиктері мен ғалымдарының бірі саналады. Нейрофизиолог Леон Хармон оны осыған ұқсас сипаттап, кездестірген жалғыз «нағыз гений» деп атады: «Фон Нейманның санасы шексіз болды. Ол кез келген саладағы мәселелерді шеше алатын. Оның санасы үнемі жұмыс істеп, тыныш отырмайтын». Академиялық емес жобаларға кеңес бергенде фон Нейманның ғылыми қабілеті мен тәжірибесі оған әскери шенеуніктердің, инженерлердің және өнеркәсіпшілердің сенімін қозғады, мұндай бедел басқа ғалымдарға бұйырмады. Герберт Йорк айтуынша, ядролық қару жасау саласында ол «даусыз басты кеңесші» саналды. Экономист Николас Кальдор оның «мен кездестірген ең гениалды адам екеніне күмәнім жоқ» деді. Сол сияқты Пол Самуэльсон: «Біз, экономистер, фон Нейманның генийіне ризамыз. Оның Гаусс, Пуанкаре немесе Гильберт болғанын анықтау бізге жүктелмеген. Ол – теңдесі жоқ Джонни фон Нейман еді. Ол біздің саламызға бір сәт кіріп, содан бері ол ешқашан бұрынғыдай болмады».
Nobel Laureate Hans Bethe said "I have sometimes wondered whether a brain like von Neumann's does not indicate a species superior to that of man". Edward Teller observed "von Neumann would carry on a conversation with my 3 year old son, and the two of them would talk as equals, and I sometimes wondered if he used the same principle when he talked to the rest of us." Peter Lax wrote "Von Neumann was addicted to thinking, and in particular to thinking about mathematics". Eugene Wigner said, "He understood mathematical problems not only in their initial aspect, but in their full complexity." Claude Shannon called him "the smartest person I've ever met", a common opinion. Jacob Bronowski wrote "He was the cleverest man I ever knew, without exception. He was a genius." "It seems fair to say that if the influence of a scientist is interpreted broadly enough to include impact on fields beyond science proper, then John von Neumann was probably the most influential mathematician who ever lived," wrote Miklós Rédei. Peter Lax commented that von Neumann would have won a Nobel Prize in Economics had he lived longer, and that "if there were Nobel Prizes in computer science and mathematics, he would have been honored by these, too." Rota writes that "he was the first to have a vision of the boundless possibilities of computing, and he had the resolve to gather the considerable intellectual and engineering resources that led to the construction of the first large computer" and consequently that "No other mathematician in this century has had as deep and lasting an influence on the course of civilization." He is widely regarded as one of the greatest and most influential mathematicians and scientists of the 20th century. Neurophysiologist Leon Harmon described him in a similar manner, calling him the only "true genius" he had ever met: "von Neumann's mind was all encompassing. He could solve problems in any domain. And his mind was always working, always restless." While consulting for non academic projects von Neumann's combination of outstanding scientific ability and practicality gave him a high credibility with military officers, engineers, and industrialists that no other scientist could match. In nuclear missilery he was considered "the clearly dominant advisory figure" according to Herbert York. Economist Nicholas Kaldor said he was "unquestionably the nearest thing to a genius I have ever encountered." Likewise, Paul Samuelson wrote, "We economists are grateful for von Neumann's genius. It is not for us to calculate whether he was a Gauss, or a Poincaré, or a Hilbert. He was the incomparable Johnny von Neumann. He darted briefly into our domain and it has never been the same since."
Құрмет пен марапаттар
Фон Нейманның құрметіне аталып өткен шаралар мен марапаттардың ішінде Операциялық зерттеулер және басқару ғылымдары институтының жыл сайынғы Джон фон Нейман теориясы сыйлығы, IEEE Джон фон Нейман медалі және Өндірістік және қолданбалы математика қоғамының Джон фон Нейман сыйлығы бар. Айдағы фон Нейман кратері мен 22824 фон Нейман астероиды да оның құрметіне аталған. Фон Нейман 1947 жылы "Еңбек сіңіргені үшін медаль", 1956 жылы "Бостандық медалі" және сол 1956 жылы "Энрико Ферми" сыйлығымен марапатталған. Ол Америка өнер және ғылым академиясы мен Ұлттық ғылым академиясы сияқты бірнеше құрметті қоғамдардың мүшесі болып сайланды және сегіз құрметті докторлық дәрежесін алды. 2005 жылдың 4 мамырында АҚШ пошта қызметі суретші Виктор Стабиннің дизайнымен американдық ғалымдарға арналған ескерткіш пошта маркалары сериясын шығарды. Бұл маркаларда фон Нейман, Барбара Макклинток, Джозиа Виллард Гиббс және Ричард Фейнман бейнеленген. 2016 жылы Венгрияның Кечкемет қаласында Кечкемет колледжінің мұрагері ретінде Neumann János Egyetem университеті құрылды.
Events and awards named in recognition of von Neumann include the annual John von Neumann Theory Prize of the Institute for Operations Research and the Management Sciences, IEEE John von Neumann Medal, and the John von Neumann Prize of the Society for Industrial and Applied Mathematics. Both the crater von Neumann on the Moon and the asteroid 22824 von Neumann are named in his honor. Von Neumann received awards including the Medal for Merit in 1947, the Medal of Freedom in 1956, and the Enrico Fermi Award also in 1956. He was elected a member of multiple honorary societies, including the American Academy of Arts and Sciences and the National Academy of Sciences, and he held eight honorary doctorates. On May 4, 2005, the United States Postal Service issued the American Scientists commemorative postage stamp series, designed by artist Victor Stabin. The scientists depicted were von Neumann, Barbara McClintock, Josiah Willard Gibbs, and Richard Feynman. Neumann János Egyetem was established in Kecskemét, Hungary in 2016, as a successor to Kecskemét College.
Таңдалған шығармалар
Фон Нейманның алғашқы жарияланған жұмысы Майкл Фекетемен бірлесіп жазылған және фон Нейман 18 жасында жарияланған "Кейбір ең аз көптік сандардың нөлдерінің орны туралы" болды. 19 жасында оның "Трансшекті сандарды енгізу туралы" жеке еңбегі жарық көрді. Ол өзінің екінші жеке еңбегін, жинақ теориясының аксиоматизациясын, PhD диссертациясын құру үшін кеңейтті. Оның алғашқы кітабы "Кванттық механиканың математикалық негіздері" 1932 жылы жарық көрді. Осыдан кейін фон Нейман неміс тілінде жариялаудан ағылшын тілінде жариялауға көшті, ал оның жарияланымдары таңдамалырақ болып, таза математикадан тысқары салаларды қамтыды. 1942 жылғы "Жарылыс толқындары теориясы" әскери зерттеулерге үлес қосты, оның есептеу техникасы бойынша жұмысы 1946 жылғы жарияланбаған "Ірі масштабты есептеу машиналарының принциптері туралы" еңбегімен басталды, ал ауа райын болжау жөніндегі жарияланымдары 1950 жылғы баротроптық айналыс теңдеуінің сандық интеграциясымен басталды. Оның кейінгі еңбектерімен қатар әріптестері мен жалпы оқырмандарға арналған бейресми эсселері де болды, мысалы, 1947 жылғы "Математик" (ол "таза математикамен қоштасу" деп сипатталды) және 1955 жылғы "Технологиядан аман қала аламыз ба?", онда ядролық соғыс және қасақана климатты өзгерту сияқты қараңғы болашақ қарастырылды. Оның толық еңбектері алты томдық жинаққа біріктірілді.
Von Neumann's first published paper was On the position of zeroes of certain minimum polynomials, co authored with Michael Fekete and published when von Neumann was 18. At 19, his solo paper On the introduction of transfinite numbers was published. He expanded his second solo paper, An axiomatization of set theory, to create his PhD thesis. His first book, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, was published in 1932. Following this, von Neumann switched from publishing in German to publishing in English, and his publications became more selective and expanded beyond pure mathematics. His 1942 Theory of Detonation Waves contributed to military research, his work on computing began with the unpublished 1946 On the principles of large scale computing machines, and his publications on weather prediction began with the 1950 Numerical integration of the barotropic vorticity equation. Alongside his later papers were informal essays targeted at colleagues and the general public, such as his 1947 The Mathematician, described as a "farewell to pure mathematics", and his 1955 Can we survive technology?, which considered a bleak future including nuclear warfare and deliberate climate change. His complete works have been compiled into a six volume set.