Обобщенное гиперболическое распределение: свойства и применение.
Generalised hyperbolic distribution
Обобщенное гиперболическое распределение (GH): свойства, применение в физике, связь с процессом Леви и обобщенным распределением Гаусса. Математика и статистика.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обобщенное гиперболическое распределение (GH) — это непрерывное распределение вероятностей, определяемое как смесь нормального распределения со смешивающим распределением, являющимся обобщенным обратным гауссовским распределением (GIG). Его функция плотности вероятности (см. врезку) выражается через модифицированную функцию Бесселя второго рода, обозначаемую как . Оно было введено Оле Барндорфом-Нильсеном, который изучал его в контексте физики переноса песка ветром.
The generalised hyperbolic distribution (GH) is a continuous probability distribution defined as the normal variance mean mixture where the mixing distribution is the generalized inverse Gaussian distribution (GIG). Its probability density function (see the box) is given in terms of modified Bessel function of the second kind, denoted by It was introduced by Ole Barndorff Nielsen, who studied it in the context of physics of wind blown sand.
Линейная трансформация
Этот класс инвариантен относительно аффинных преобразований.
This class is closed under affine transformations.
Не может быть закрыта свертыванием
Важным свойством бесконечно делимых распределений является их связь с процессами Леви, то есть в любой момент времени процесс Леви имеет бесконечно делимое распределение. Многие семейства хорошо известных бесконечно делимых распределений являются так называемыми замкнутыми относительно свертки, то есть если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит к одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству распределений. Например, процесс Пуассона будет иметь распределение Пуассона во все моменты времени, а броуновское движение – нормальное распределение во все моменты времени. Однако процесс Леви, являющийся обобщенным гиперболическим в один момент времени, может перестать быть обобщенным гиперболическим в другой момент времени. Фактически, обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные гауссовы распределения – единственные подклассы обобщенных гиперболических распределений, замкнутые относительно свертки.
An important point about infinitely divisible distributions is their connection to Lévy processes, i. e. at any point in time a Lévy process is infinitely divisible distributed. Many families of well known infinitely divisible distributions are so called convolution closed, i. e. if the distribution of a Lévy process at one point in time belongs to one of these families, then the distribution of the Lévy process at all points in time belong to the same family of distributions. For example, a Poisson process will be Poisson distributed at all points in time, or a Brownian motion will be normally distributed at all points in time. However, a Lévy process that is generalised hyperbolic at one point in time might fail to be generalized hyperbolic at another point in time. In fact, the generalized Laplace distributions and the normal inverse Gaussian distributions are the only subclasses of the generalized hyperbolic distributions that are closed under convolution.
Приложения
Он применяется главным образом в областях, где требуется достаточная вероятность поведения на больших расстояниях, которое он способен моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам – свойству, отсутствующему у нормального распределения. Обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, в частности, для моделирования финансовых рынков и управления рисками, благодаря своим полутяжелым хвостам.
It is mainly applied to areas that require sufficient probability of far field behaviour, which it can model due to its semi heavy tails—a property the normal distribution does not possess. The generalised hyperbolic distribution is often used in economics, with particular application in the fields of modelling financial markets and risk management, due to its semi heavy tails.