Введение

Топологическое пространство, полученное склеиванием коллекции окружностей в одной точке.

В математике роза (также известная как букет из n окружностей) — это топологическое пространство, полученное склеиванием коллекции окружностей в одной точке. Окружности розы называются лепестками. Розы важны в алгебраической топологии, где они тесно связаны со свободными группами.

Определение

Роза — это клинная сумма окружностей. То есть, роза — это факторпространство C/S, где C — непересекающееся объединение окружностей, а S — множество, состоящее из одной точки из каждой окружности. Как клеточный комплекс, роза имеет одну вершину и одно ребро для каждой окружности. Это делает её простым примером топологического графа. Розу с n лепестками также можно получить, отождествляя n точек на одной окружности. Роза с двумя лепестками известна как восьмёрка.

Отношение к свободным группам

Основная группа розы свободна, с одним образующим для каждого лепестка. Универсальное накрытие — это бесконечное дерево, которое можно отождествить с графом Кэли свободной группы. (Это частный случай комплекса представления, связанного с любым представлением группы.) Промежуточные накрытия розы соответствуют подгруппам свободной группы. Наблюдение о том, что любое накрытие розы является графом, дает простое доказательство того, что каждая подгруппа свободной группы свободна (теорема Нильсена — Шрайера).

Поскольку универсальное накрытие розы стягиваемо, роза фактически является пространством Эйленберга — Маклейна для соответствующей свободной группы F. Это влечет за собой, что группы когомологий Hn(F) тривиальны при n ≥ 2.

Другие свойства

Любой связный граф гомотопически эквивалентен розе. В частности, роза — это факторпространство графа, полученное путём схлопывания остовного дерева. Диск с n удалёнными точками (или сфера с n + 1 удалёнными точками) деформационно стягивается на розу с n лепестками. Каждый из удалённых точек окружён одним лепестком розы. Тор с одной удалённой точкой деформационно стягивается на восьмёрку, а именно на объединение двух образующих окружностей. В более общем случае, поверхность рода g с одной удалённой точкой деформационно стягивается на розу с 2g лепестками, а именно на границу фундаментального многоугольника. Роза может иметь бесконечно много лепестков, что приводит к фундаментальной группе, которая свободна на бесконечном числе образующих. Роза с счётным бесконечным числом лепестков похожа на гавайскую серьгу: существует непрерывное биективное отображение с этой розы на гавайскую серьгу, но они не гомеоморфны. Роза с бесконечным числом лепестков некомпактна, в то время как гавайская серьга компактна.