Введение

Математическое множество, замкнутое относительно положительных линейных комбинаций.

В линейной алгебре конус — иногда называемый линейным конусом для отличия от других типов конусов — является подмножеством векторного пространства, замкнутым относительно положительного скалярного умножения; то есть, множество C является конусом, если влечет за собой для любого . Конус не обязательно должен быть выпуклым или даже иметь вид конуса в евклидовом пространстве. Когда скаляры являются действительными числами или принадлежат упорядоченному полю, конусом обычно называют подмножество векторного пространства, замкнутое относительно умножения на положительный скаляр. В этом контексте выпуклый конус — это конус, замкнутый относительно сложения, или, эквивалентно, подмножество векторного пространства, замкнутое относительно линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами. Следовательно, выпуклые конусы являются выпуклыми множествами. В данной статье рассматривается только случай скаляров в упорядоченном поле.

Определение

Подмножество C векторного пространства V над упорядоченным полем F является конусом (или иногда называемым линейным конусом), если для каждого x из C и положительного скаляра α из F произведение αx принадлежит C. Следует отметить, что некоторые авторы определяют конус, где скаляр α принимает все неотрицательные значения (а не только положительные, которые не включают 0). Конус C является выпуклым конусом, если αx + βy принадлежит C для любых положительных скаляров α, β и любых x, y из C. Конус C выпуклый тогда и только тогда, когда C + C ⊆ C.

Эта концепция применима к любому векторному пространству, допускающему понятие "положительного" скаляра, например, к пространствам над рациональными, алгебраическими или (чаще) вещественными числами. Важно отметить, что в определении используются положительные скаляры, что не требует обязательного включения начала координат в C. Некоторые авторы используют определение, гарантирующее принадлежность начала координат конусу C. Благодаря масштабирующим параметрам α и β, конусы бесконечно расширяются и не ограничены. Если C – выпуклый конус, то для любого положительного скаляра α и любого x из C вектор… Следовательно, выпуклый конус C является частным случаем линейного конуса. Из вышеуказанного свойства следует, что выпуклый конус также можно определить как линейный конус, замкнутый относительно выпуклых комбинаций или просто относительно сложения. Более кратко, множество C является выпуклым конусом тогда и только тогда, когда αC = C и C + C = C для любого положительного скаляра α.

Примеры

Для векторного пространства V, пустое множество, само пространство V и любое линейное подпространство V являются выпуклыми конусами. Коническая оболочка конечного или бесконечного множества векторов является выпуклым конусом. Тангенциальные конусы выпуклого множества являются выпуклыми конусами. Множество является конусом, но не выпуклым конусом. Нормальный конус является выпуклым конусом. Пересечение двух выпуклых конусов в одном и том же векторном пространстве снова является выпуклым конусом, но их объединение может им не являться. Класс выпуклых конусов также замкнут относительно произвольных линейных отображений. В частности, если C является выпуклым конусом, то его противоположный конус также является выпуклым конусом, и является наибольшим линейным подпространством, содержащимся в C. Множество положительно полуопределённых матриц является выпуклым конусом. Множество неотрицательных непрерывных функций является выпуклым конусом.

Схожие выпуклые конусы

Аффинный выпуклый конус — это множество, получаемое в результате применения аффинного преобразования к выпуклому конусу. Типичным примером является сдвиг выпуклого конуса на точку p: p + C. Строго говоря, такие преобразования могут приводить к множествам, не являющимся конусами. Например, при определенных условиях p + C не будет линейным конусом. Тем не менее, такое множество все равно называется аффинным выпуклым конусом.

Полупространства

(Линейная) гиперплоскость — это множество вида, где f — линейный функционал на векторном пространстве V. Закрытое полупространство — это множество вида или , а аналогично, открытое полупространство использует строгое неравенство. Полупространства (открытые или закрытые) являются аффинными выпуклыми конусами. Более того (в конечномерных пространствах), любой выпуклый конус C, не являющийся всем пространством V, должен содержаться в некотором закрытом полупространстве H пространства V; это частный случай леммы Фаркаса.

Рациональные конусы

Тип конуса, представляющий особый интерес для чистых математиков, — это частично упорядоченное множество рациональных конусов. «Рациональные конусы — важные объекты в торической алгебраической геометрии, комбинаторной коммутативной алгебре, геометрической комбинаторике и целочисленном программировании». Этот объект возникает при изучении конусов в вместе с решеткой A. Конус называется рациональным (здесь мы предполагаем «остроконечным», как определено выше), если все его образующие имеют целочисленные координаты, то есть если является рациональным конусом, то .

Свойства

Если C — непустой выпуклый конус в X, то линейная оболочка C равна C + C, а наибольшее векторное подпространство X, содержащееся в C, равно C ∩ (−C).

Частичный порядок, определенный выпуклым конусом

Остроконечный и выпуклый конус C индуцирует частичный порядок "≥" на V, определяемый так, что x ≥ y, если и только если x - y принадлежит конусу C. (Если конус плоский, то то же определение дает лишь предзаказ.) Суммы и положительные скалярные кратные допустимых неравенств относительно этого порядка остаются допустимыми неравенствами. Векторное пространство с таким порядком называется упорядоченным векторным пространством. Примеры включают в себя порядковое произведение на векторах с вещественными значениями и порядок Левена на положительно полуопределенных матрицах. Такой порядок часто встречается в полудефинитном программировании.