Принцип минимума энергии и принцип максимума энтропии в термодинамике.
Principle of minimum energy
Принцип минимума энергии: суть, связь со вторым законом термодинамики, энергия и энтропия в замкнутых и изолированных системах. Термодинамика, энергия, энтропия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Принцип минимальной энергии — это, по сути, переформулировка второго закона термодинамики. Он утверждает, что для замкнутой системы с постоянными внешними параметрами и энтропией внутренняя энергия будет уменьшаться и стремиться к минимальному значению в состоянии равновесия. Внешними параметрами обычно является объём, но они могут включать и другие параметры, задаваемые извне, такие как постоянное магнитное поле. В отличие от этого, для изолированных систем (при фиксированных внешних параметрах) второй закон утверждает, что энтропия увеличивается до максимального значения в состоянии равновесия. Изолированная система обладает фиксированной полной энергией и массой. Замкнутая система, напротив, связана с другой системой и не может обмениваться веществом (то есть частицами), но способна обмениваться другими формами энергии (например, теплом) с этой системой. Если вместо изолированной системы рассматривать замкнутую систему, в которой постоянной остаётся энтропия, а не энергия, то из первого и второго законов термодинамики следует, что энергия этой системы уменьшится до минимального значения в состоянии равновесия, передавая энергию другой системе. Повторим:
The principle of minimum energy is essentially a restatement of the second law of thermodynamics. It states that for a closed system, with constant external parameters and entropy, the internal energy will decrease and approach a minimum value at equilibrium. External parameters generally means the volume, but may include other parameters which are specified externally, such as a constant magnetic field. In contrast, for isolated systems (and fixed external parameters), the second law states that the entropy will increase to a maximum value at equilibrium. An isolated system has a fixed total energy and mass. A closed system, on the other hand, is a system which is connected to another, and cannot exchange matter (i. e. particles), but can transfer other forms of energy (e. g. heat), to or from the other system. If, rather than an isolated system, we have a closed system, in which the entropy rather than the energy remains constant, then it follows from the first and second laws of thermodynamics that the energy of that system will drop to a minimum value at equilibrium, transferring its energy to the other system. To restate:
Принцип максимальной энтропии: для замкнутой системы с фиксированной внутренней энергией (то есть изолированной системы) энтропия максимизируется в состоянии равновесия. Принцип минимальной энергии: для замкнутой системы с фиксированной энтропией полная энергия минимизируется в состоянии равновесия.
The maximum entropy principle: For a closed system with fixed internal energy (i. e. an isolated system), the entropy is maximized at equilibrium. The minimum energy principle: For a closed system with fixed entropy, the total energy is minimized at equilibrium.
Математическое объяснение
Общая энергия системы равна , где S — энтропия, а — другие обширные параметры системы (например, объем, число частиц и т. д.). Энтропию системы можно также записать как функцию других обширных параметров, как . Предположим, что X — один из параметров, который изменяется по мере приближения системы к равновесию, и что это единственный изменяющийся параметр. Принцип максимальной энтропии может быть сформулирован следующим образом:
The total energy of the system is where S is entropy, and the are the other extensive parameters of the system (e. g. volume, particle number, etc.). The entropy of the system may likewise be written as a function of the other extensive parameters as Suppose that X is one of the which varies as a system approaches equilibrium, and that it is the only such parameter which is varying. The principle of maximum entropy may then be stated as:
и при равновесии. Первое условие указывает на то, что энтропия находится в экстремуме, а второе — на то, что энтропия достигает максимума. Следует отметить, что при вычислении частных производных все обширные параметры считаются постоянными, за исключением переменных, входящих в частную производную, хотя наглядно показаны только U, S или X. Из свойств точного дифференциала (см. уравнение 8 в статье о точных дифференциалах) и из уравнения состояния энергия/энтропия следует, что для замкнутой системы:
and at equilibrium. The first condition states that entropy is at an extremum, and the second condition states that entropy is at a maximum. Note that for the partial derivatives, all extensive parameters are assumed constant except for the variables contained in the partial derivative, but only U, S, or X are shown. It follows from the properties of an exact differential (see equation 8 in the exact differential article) and from the energy/entropy equation of state that, for a closed system:
Видно, что энергия находится в экстремуме при равновесии. С помощью аналогичного, но более развернутого рассуждения можно показать, что
It is seen that the energy is at an extremum at equilibrium. By similar but somewhat more lengthy argument it can be shown that
, что больше нуля, и, следовательно, энергия действительно минимальна.
which is greater than zero, showing that the energy is, in fact, at a minimum.