Введение
В геометрии символ Уайтхоффа — это обозначение, представляющее построение Уайтхоффа однородного многогранника или мощения плоскости в треугольнике Шварца. Впервые он был использован Коксетером, Лонгетом-Хиггинсом и Миллером при их перечислении однородных многогранников. Позднее диаграмма Коксетера была разработана для обозначения однородных политопов и сотов в n-мерном пространстве внутри фундаментального симплекса. Символ Уайтхоффа состоит из трех чисел и вертикальной черты. Он представляет один однородный многогранник или мощение, хотя одно и то же мощение/многогранник может иметь различные символы Уайтхоффа, соответствующие разным образующим симметрии. Например, правильный куб может быть представлен как 3 | 2 4 при симметрии Oh, и как 2 4 | 2 — квадратная призма с 2 цветами и симметрией D4h, а также как 2 2 2 | с 3 цветами и симметрией D2h. При небольшом расширении символ Уайтхоффа может быть применен ко всем однородным многогранникам. Однако методы построения не приводят ко всем однородным мощениям в евклидовом или гиперболическом пространстве.
In geometry, the Wythoff symbol is a notation representing a Wythoff construction of a uniform polyhedron or plane tiling within a Schwarz triangle. It was first used by Coxeter, Longuet Higgins and Miller in their enumeration of the uniform polyhedra. Later the Coxeter diagram was developed to mark uniform polytopes and honeycombs in n dimensional space within a fundamental simplex. A Wythoff symbol consists of three numbers and a vertical bar. It represents one uniform polyhedron or tiling, although the same tiling/polyhedron can have different Wythoff symbols from different symmetry generators. For example, the regular cube can be represented by 3 | 2 4 with Oh symmetry, and 2 4 | 2 as a square prism with 2 colors and D4h symmetry, as well as 2 2 2 | with 3 colors and D2h symmetry. With a slight extension, Wythoff's symbol can be applied to all uniform polyhedra. However, the construction methods do not lead to all uniform tilings in Euclidean or hyperbolic space.
Пример сферических, евклидовых и гиперболических плиток на прямоугольных треугольниках
Основные треугольники нарисованы в чередующихся цветах как зеркальные отражения. Последовательность треугольников (p 3 2) меняется от сферической (p = 3, 4, 5) к евклидовой (p = 6) и гиперболической (p ≥ 7). Гиперболические покрытия показаны как проекция диска Пуанкаре. Символ Уайтхоффа: q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2. Диаграмма Коксетера. Вершинная фигура: pqq.2p.2pp.q.p.qp.2q.2qqpp.4.q.44.2p.2q3.3.p.3.q. Фундаментальные треугольники. 7 форм и усечённый куб (snub(3 3 2)). 3 | 3 2. 332. 3 | 3. 3.6.6. 2 | 3 3. 3.3.3.3. 2 3 | 3. 3.6.6. 3 | 3 2. 333. 3 | 2. 3.4.3.4. 3 3 2 | 4.6.6. 3 3 2. 3.3.3.3.3. (4 3 2). 3 | 4 2. 432. 3 | 4. 3.8.8. 2 | 4 3. 3.4.3.4. 2 4 | 3. 4.6.6. 4 | 3 2. 344. 3 | 2. 3.4.4.4. 4 3 2 | 4.6.8. 4 3 2. 3.3.3.3.4. (5 3 2). 3 | 5 2. 532. 3 | 5. 3.10.10. 2 | 5 3. 3.5.3.5. 2 5 | 3. 5.6.6. 5 | 3 2. 355. 3 | 2. 3.4.5.4. 5 3 2 | 4.6.10. 5 3 2. 3.3.3.3.5. (6 3 2). 3 | 6 2. 632. 3 | 6. 3.12.12. 2 | 6 3. 3.6.3.6. 2 6 | 3. 6.6.6. 6 | 3 2. 366. 3 | 2. 3.4.6.4. 6 3 2 | 4.6.12. 6 3 2. 3.3.3.3.6. (7 3 2). 3 | 7 2. 732. 3 | 7. 3.14.14. 2 | 7 3. 3.7.3.7. 2 7 | 3. 7.6.6. 7 | 3 2. 377. 3 | 2. 3.4.7.4. 7 3 2 | 4.6.14. 7 3 2. 3.3.3.3.7. (8 3 2). 3 | 8 2. 832. 3 | 8. 3.16.16. 2 | 8 3. 3.8.3.8. 2 8 | 3. 8.6.6. 8 | 3 2. 388. 3 | 2. 3.4.8.4. 8 3 2 | 4.6.16. 8 3 2. 3.3.3.3.8. (∞ 3 2). 3 | ∞ 2. ∞32. 3 | ∞. 3.∞.∞. 2 | ∞ 3. 3.∞.3.∞. 2 ∞ | 3∞.6.6∞. 3 | 2. 3∞∞. 3 | 2. 3.4.∞.4∞. 3 2 | 4.6.∞. ∞ 3 2. 3.3.3.3.∞.