Переменная в математике: история и обозначения

Введение

Символ, представляющий математический объект.

В математике переменная (от латинского variabilis, "изменяемый") — это символ, обозначающий математический объект. Переменная может обозначать число, вектор, матрицу, функцию, аргумент функции, множество или элемент множества. Алгебраические вычисления с переменными, как с конкретными числами, позволяют решить широкий круг задач в рамках одного вычисления. Например, формула для решения квадратного уравнения позволяет решить любое квадратное уравнение, подставляя числовые значения коэффициентов уравнения вместо переменных в этой формуле. В математической логике переменная — это либо символ, обозначающий неопределённый член теории (метапеременная), либо базовый объект теории, с которым оперируют, не опираясь на его возможную интуитивную интерпретацию.

История

В древних работах, таких как «Элементы» Евклида, отдельные буквы обозначают геометрические точки и фигуры. В VII веке Брахмагупта использовал различные цвета для представления неизвестных в алгебраических уравнениях в «Брахмасфутасиддханте». Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов». В конце XVI века Франсуа Виет ввёл идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые сегодня называются переменными, и идею вычисления с ними, как с числами, чтобы получить результат посредством простой замены. Виет придерживался соглашения использовать согласные для известных величин и гласные для неизвестных. В 1637 году Рене Декарт «ввёл обозначение неизвестных в уравнениях буквами x, y и z, а известных – a, b и c». В отличие от соглашения Виета, обозначения Декарта до сих пор широко используются. История буквы x в математике была рассмотрена в статье журнала Scientific American, опубликованной в 1887 году. Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали дифференциальное и интегральное исчисление, которое по сути заключается в изучении того, как бесконечно малая вариация переменной величины вызывает соответствующую вариацию другой величины, являющейся функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер закрепил терминологию дифференциального и интегрального исчисления и ввёл обозначение y = f(x) для функции f, её переменной x и её значения y. До конца XIX века слово «переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций. Во второй половине XIX века стало очевидно, что основания дифференциального и интегрального исчисления недостаточно формализованы для работы с кажущимися парадоксами, такими как непрерывная функция, нигде не дифференцируемая. Для решения этой проблемы Карл Вейерштрасс ввёл новый формализм, заключающийся в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Прежнее понятие предела формулировалось так: «когда переменная x изменяется и стремится к a, то f(x) стремится к L», без какого-либо точного определения понятия «стремится». Вейерштрасс заменил это утверждение формулой, в которой ни одна из пяти переменных не рассматривается как изменяющаяся. Эта статическая формулировка привела к современному пониманию переменной как простого символа, представляющего математический объект, который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом заданного множества (например, множества действительных чисел).

In ancient works such as Euclid's Elements, single letters refer to geometric points and shapes. In the 7th century, Brahmagupta used different colours to represent the unknowns in algebraic equations in the Brāhmasphuṭasiddhānta. One section of this book is called "Equations of Several Colours". At the end of the 16th century, François Viète introduced the idea of representing known and unknown numbers by letters, nowadays called variables, and the idea of computing with them as if they were numbers—in order to obtain the result by a simple replacement. Viète's convention was to use consonants for known values, and vowels for unknowns. In 1637, René Descartes "invented the convention of representing unknowns in equations by x, y, and z, and knowns by a, b, and c". Contrarily to Viète's convention, Descartes' is still commonly in use. The history of the letter x in math was discussed in an 1887 Scientific American article. Starting in the 1660s, Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz independently developed the infinitesimal calculus, which essentially consists of studying how an infinitesimal variation of a variable quantity induces a corresponding variation of another quantity which is a function of the first variable. Almost a century later, Leonhard Euler fixed the terminology of infinitesimal calculus, and introduced the notation 1=y = f(x) for a function f, its variable x and its value y. Until the end of the 19th century, the word variable referred almost exclusively to the arguments and the values of functions. In the second half of the 19th century, it appeared that the foundation of infinitesimal calculus was not formalized enough to deal with apparent paradoxes such as a nowhere differentiable continuous function. To solve this problem, Karl Weierstrass introduced a new formalism consisting of replacing the intuitive notion of limit by a formal definition. The older notion of limit was "when the variable x varies and tends toward a, then f(x) tends toward L", without any accurate definition of "tends". Weierstrass replaced this sentence by the formula

in which none of the five variables is considered as varying. This static formulation led to the modern notion of variable, which is simply a symbol representing a mathematical object that either is unknown, or may be replaced by any element of a given set (e. g., the set of real numbers).

Обозначение

Переменные обычно обозначаются одной буквой, чаще всего из латинского алфавита и реже из греческого, которая может быть строчной или прописной. За буквой может следовать индекс: число (например, x2), другая переменная (xi), слово или аббревиатура слова (xtotal) или математическое выражение (x2i + 1). Под влиянием компьютерных наук некоторые имена переменных в чистой математике состоят из нескольких букв и цифр. Следуя традиции, заложенной Рене Декартом (1596–1650), буквы в начале алфавита, такие как a, b, c, обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, такие как x, y, z, – для неизвестных и переменных функций. В печатной математике принято выделять переменные и константы курсивом. Например, общая квадратичная функция обычно записывается как , где a, b и c – параметры (также называемые константами, поскольку они являются постоянными функциями), а x – переменная функции. Более явным способом обозначения этой функции является , что уточняет статус x как аргумента функции и статус a, b и c как констант. Поскольку c входит в слагаемое, являющееся постоянной функцией от x, его называют постоянным членом. В различных областях и приложениях математики существуют специфические соглашения об именовании переменных. Переменным с близкими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы или одна и та же буква с разными индексами. Например, три оси в трехмерном пространстве координат обычно называют x, y и z. В физике названия переменных в значительной степени определяются физической величиной, которую они описывают, однако существуют различные соглашения об именовании. В теории вероятностей и статистике часто используют X, Y, Z для обозначения случайных переменных, сохраняя x, y, z для переменных, представляющих соответствующие более точно определенные значения.

Зависимые и независимые переменные

В исчислении и его применении в физике и других науках довольно часто рассматривается переменная, скажем, y, возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем, x. В математических терминах зависимая переменная y представляет собой значение функции от x. Для упрощения формул часто полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной y и для функции, отображающей x на y. Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление, температура, пространственное положение, и все эти величины изменяются по мере развития системы, то есть являются функциями времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, неявно рассматриваются как функции времени. Следовательно, в формуле зависимая переменная – это переменная, которая является функцией другой (или нескольких других) переменных. Независимая переменная – это переменная, которая не является зависимой. Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним свойством. Например, в обозначении f(x, y, z) все три переменные могут быть независимыми, и обозначение представляет собой функцию трех переменных. С другой стороны, если y и z зависят от x (являются зависимыми переменными), то обозначение представляет собой функцию единственной независимой переменной x.

Пространства модулей

Рассмотрение констант и переменных может привести к концепции модульных пространств. Для иллюстрации рассмотрим уравнение параболы, где a и b считаются действительными числами. Множество точек (x, y) в 2D-плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, образует график параболы. Здесь a и b рассматриваются как константы, определяющие параболу, а x и y – как переменные. Затем, вместо рассмотрения a и b как переменных, мы замечаем, что каждый набор из трех чисел (a, b, c) соответствует различной параболе. То есть они задают координаты в "пространстве парабол": это известно как модульное пространство парабол.