Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Функция вероятности
В математике, в частности в теории больших отклонений, функция скорости — это функция, используемая для оценки вероятностей редких событий. Такие функции применяются для формулировки принципов больших отклонений. Принцип больших отклонений оценивает асимптотическую вероятность редких событий для последовательности вероятностей. Функция скорости также называется функцией Крамера, в честь шведского теоретика вероятностей Харальда Крамера.
Probability function
In mathematics — specifically, in large deviations theory — a rate function is a function used to quantify the probabilities of rare events. Such functions are used to formulate large deviation principles. A large deviation principle quantifies the asymptotic probability of rare events for a sequence of probabilities. A rate function is also called a Cramér function, after the Swedish probabilist Harald Cramér.
Уникальность
Естественный вопрос, учитывая несколько абстрактную постановку общей схемы, заключается в том, является ли функция скорости уникальной. Оказывается, что это так: если последовательность мер вероятности (μδ)δ>0 на X удовлетворяет принципу больших отклонений для двух функций скорости I и J, то следует, что I(x) = J(x) для всех x ∈ X.
A natural question to ask, given the somewhat abstract setting of the general framework above, is whether the rate function is unique. This turns out to be the case: given a sequence of probability measures (μδ)δ>0 on X satisfying the large deviation principle for two rate functions I and J, it follows that I(x) = J(x) for all x ∈ X.
Экспоненциальная герметичность
Можно преобразовать принцип слабого большого отклонения в строгий, если меры сходятся достаточно быстро. Если верхняя граница выполняется для компактных множеств F и последовательность мер (μδ) при δ>0 экспоненциально компактна, то верхняя граница также выполняется для замкнутых множеств F. Иными словами, экспоненциальная компактность позволяет преобразовать принцип слабого большого отклонения в строгий.
It is possible to convert a weak large deviation principle into a strong one if the measures converge sufficiently quickly. If the upper bound holds for compact sets F and the sequence of measures (μδ)δ>0 is exponentially tight, then the upper bound also holds for closed sets F. In other words, exponential tightness enables one to convert a weak large deviation principle into a strong one.
История и основное развитие
Понятие скоростной функции возникло в 1930-х годах в связи с исследованием шведским математиком Харальдом Крамером последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин (Zi)i∈. В частности, рассматривая вопросы масштабирования, Крамер изучал поведение распределения среднего значения при n→∞. Он обнаружил, что хвосты распределения Xn убывают экспоненциально как e−nλ(x), где множитель λ(x) в показателе степени является преобразованием Лежандра — Фенхеля (также известным как выпуклый сопряжённый) кумулятивной генерирующей функции. По этой причине эта функция λ(x) иногда называется функцией Крамера. Скоростная функция, определённая выше в данной статье, представляет собой широкое обобщение этого понятия Крамера, определённого более абстрактно на вероятностном пространстве, а не на пространстве состояний случайной величины.
The notion of a rate function emerged in the 1930s with the Swedish mathematician Harald Cramér's study of a sequence of i. i. d. random variables (Zi)i∈. Namely, among some considerations of scaling, Cramér studied the behavior of the distribution of the average as n→∞. He found that the tails of the distribution of Xn decay exponentially as e−nλ(x) where the factor λ(x) in the exponent is the Legendre–Fenchel transform (a. k. a. the convex conjugate) of the cumulant generating function For this reason this particular function λ(x) is sometimes called the Cramér function. The rate function defined above in this article is a broad generalization of this notion of Cramér's, defined more abstractly on a probability space, rather than the state space of a random variable.