Введение

Преобразование многочлена, вызванное преобразованием его корней

В математике преобразование многочлена заключается в вычислении многочлена, корни которого являются заданной функцией от корней исходного многочлена. Полиномиальные преобразования, такие как преобразования Чирнхауса, часто используются для упрощения решения алгебраических уравнений.

Свойства

Если многочлен P является неприводимым, то полученный многочлен Q либо неприводим, либо является степенью неприводимого многочлена. Пусть α – корень P и рассмотрим L, поле расширения, порожденное α. Первый случай означает, что α является примитивным элементом L, для которого Q является минимальным многочленом. Во втором случае, α принадлежит некоторому подполю L, и его минимальный многочлен – неприводимый многочлен, являющийся степенью Q.

Преобразование для решения уравнений

Полиномиальные преобразования применяются для упрощения полиномиальных уравнений с целью их решения, где это возможно, с помощью радикалов. Декарт ввёл преобразование многочлена степени d, которое устраняет член степени d − 1 посредством сдвига корней. Такой многочлен называют пониженным. Этого уже достаточно для решения квадратного уравнения с помощью квадратных корней. В случае кубического уравнения преобразования Чирнхауса заменяют переменную на квадратичную функцию, что позволяет устранить два члена и, следовательно, может быть использовано для устранения линейного члена в пониженном кубическом уравнении, чтобы получить решение кубического уравнения в виде комбинации квадратных и кубических корней. Преобразование Бринг–Джеррарда, являющееся преобразованием четвёртой степени относительно переменной, приводит квинтику к нормальной форме Бринг–Джеррарда с членами степеней 5, 1 и 0.