Введение

Путь между точками равновесия в фазовом пространстве

В математике, в фазовом портрете динамической системы, гетероклиническая орбита (иногда называемая гетероклиническим соединением) — это траектория в фазовом пространстве, соединяющая две различные точки равновесия. Если точки равновесия в начале и конце орбиты совпадают, то орбита называется гомоклинической орбитой. Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением

Предположим, что существуют точки равновесия в . Тогда решение является гетероклинической орбитой от до , если выполняются оба следующих условия:

Это означает, что орбита содержится в устойчивом многообразии и неустойчивом многообразии .

Символическая динамика

Используя разделение Маркова, долговременное поведение гиперболической системы может быть изучено с использованием методов символической динамики. В этом случае, гетероклиническая орбита имеет особенно простое и ясное представление. Предположим, что – конечное множество из M символов. Динамика точки x тогда представляется как бесконечная двусторонняя последовательность символов. Периодическая точка системы – это просто рекуррентная последовательность символов. Гетероклиническая орбита – это соединение двух различных периодических орбит. Её можно записать как

где – последовательность символов длины k (очевидно, ), а – другая последовательность символов длины m (аналогично, ). Обозначение означает повторение последовательности p бесконечное число раз. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. В отличие от неё, гомоклиническую орбиту можно записать как

при этом промежуточная последовательность не является пустой и, конечно, не совпадает с p, иначе орбита была бы просто .