Введение

множества, обладающие свойством Бейра, которые иногда называют множествами Бейра.

В математике, в частности в теории меры, множества Бейра образуют σ-алгебру топологического пространства, избегающую некоторых патологических свойств множеств Бореля. Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бейра, но в наиболее распространенном множества Бейра локально компактного пространства Хаусдорфа образуют наименьшую σ-алгебру, содержащую все компактно носимые непрерывные функции в качестве измеримых. Таким образом, меры, определенные на этой σ-алгебре и называемые мерами Бейра, представляют собой удобный аппарат для интегрирования на локально компактных пространствах Хаусдорфа. В частности, любая компактно носимая непрерывная функция на таком пространстве интегрируема относительно любой конечной меры Бейра. Каждое множество Бейра является множеством Бореля. Обратное утверждение верно для многих, но не для всех топологических пространств. Множества Бейра избегают некоторых патологических свойств множеств Бореля на пространствах, не имеющих счетного базиса для топологии. На практике использование мер Бейра на множествах Бейра часто можно заменить использованием регулярных мер Бореля на множествах Бореля. Множества Бейра были введены и названы в честь функций Бейра, которые, в свою очередь, названы в честь Рене Луи Бейра.

Основные определения

Существует как минимум три неэквивалентных определения множеств Байра для локально компактных пространств Хаусдорфа, и ещё больше определений для общих топологических пространств, хотя все эти определения эквивалентны для локально компактных σ-компактных пространств Хаусдорфа. Кроме того, некоторые авторы накладывают ограничения на топологическое пространство, в котором определяются множества Байра, и определяют множества Байра только для компактных пространств Хаусдорфа, локально компактных пространств Хаусдорфа или σ-компактных пространств.

Первое определение

Кунихико Кодайра определил множества, которые мы называем множествами Бейра (хотя он запутанно называет их "множествами Бореля") для определенных топологических пространств, как множества, чья характеристическая функция является функцией Бейра (наименьший класс функций, содержащий все непрерывные функции с вещественными значениями и замкнутый относительно поточечных пределов последовательностей). Приводится эквивалентное определение, определяющее множества Бейра топологического пространства как элементы наименьшей σ-алгебры, содержащей все непрерывные функции с вещественными значениями, по которым можно строить измерения. Для локально компактных σ-компактных пространств Хаусдорфа это эквивалентно следующим определениям, но в общем случае определения не эквивалентны. Обратно, функции Бейра – это ровно те функции с вещественными значениями, которые измеримы по Бейру. Для метрических пространств множества Бейра совпадают с множествами Бореля.

Второе определение

определены множества Байра локально компактного пространства Хаусдорфа как элементы σ-кольца, порожденного компактными множествами Gδ. Это определение сейчас используется редко, поскольку σ-кольца несколько устарели. Если пространство σ-компактно, то это определение эквивалентно следующему. Одна из причин работы с компактными множествами Gδ, а не с замкнутыми множествами Gδ, заключается в том, что меры Бейра автоматически регулярны.

Третье определение

Третье и наиболее широко используемое определение аналогично определению Халмоса, но модифицировано таким образом, что множества Байра образуют σ-алгебру, а не только σ-кольцо. Подмножество локально компактного хаусдорфова топологического пространства называется множеством Байра, если оно принадлежит наименьшей σ-алгебре, содержащей все компактные множества Gδ. Иными словами, σ-алгебра множеств Байра – это σ-алгебра, порожденная всеми пересечениями счетного числа открытых множеств, дающими компактное множество. Альтернативно, множества Байра образуют наименьшую σ-алгебру, для которой все непрерывные функции с компактным носителем измеримы (по крайней мере, на локально компактных хаусдорфовых пространствах; на общих топологических пространствах эти два условия не обязательно эквивалентны). Для σ-компактных пространств это эквивалентно определению Халмоса. Для пространств, не являющихся σ-компактными, множества Байра в соответствии с этим определением состоят из множеств Байра по определению Халмоса вместе с их дополнениями. Однако в этом случае уже неверно, что конечная мера Байра обязательно регулярна: например, мера вероятности Байра, которая присваивает меру 0 любому счетному подмножеству несчетного дискретного пространства и меру 1 любому ко-счетному подмножеству, является мерой вероятности Байра, которая не является регулярной.

Различные определения множеств Байра не эквивалентны

Для локально компактных топологических пространств Хаусдорфа, которые не являются σ-компактными, три вышеуказанных определения не обязаны быть эквивалентными. Дискретное топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово. Любая функция, определенная на дискретном пространстве, непрерывна, и поэтому, согласно первому определению, все подмножества дискретного пространства являются множествами Бэра. Однако, поскольку компактные подпространства дискретного пространства – это точно конечные подпространства, множества Бэра, согласно второму определению, являются как раз счетными множествами, а согласно третьему определению множества Бэра – это счетные множества и их дополнения. Таким образом, три определения неэквивалентны на несчетном дискретном пространстве. Для нехаусдорфовых пространств определения множеств Бэра в терминах непрерывных функций не обязаны быть эквивалентными определениям, включающим компактные множества Gδ. Например, если X – бесконечное счетное множество, чьи замкнутые множества – это конечные множества и все пространство, то единственные непрерывные вещественные функции на X – постоянные, но все подмножества X принадлежат σ-алгебре, порожденной компактными замкнутыми множествами Gδ.

Набор Бореля, который не является набором Байра

В декартовом произведении несчётного числа компактных пространств Хаусдорфа, содержащих более одной точки, точка никогда не является множеством Байра, несмотря на то, что она замкнута и, следовательно, является множеством Бореля.

Свойства

Набор Байера совпадает с набором Бореля в евклидовых пространствах. Для каждого компактного пространства Хаусдорфа любая конечная мера Байера (то есть мера на σ-алгебре всех множеств Байера) является регулярной. Для каждого компактного пространства Хаусдорфа любая конечная мера Байера имеет единственное расширение до регулярной меры Бореля. Теорема расширения Колмогорова утверждает, что любое согласованное семейство конечных размерных распределений вероятностей порождает меру Байера на пространстве функций. При условии компактности (данного пространства, а следовательно, и пространства функций) эту меру можно расширить до регулярной меры Бореля. После дополнения получается вероятностное пространство, которое не обязательно является стандартным.