Джордж Брюс Хэлстед: Американский математик и пионер неевклидовой геометрии

Введение

Американский математик

Джордж Брюс Халстед (25 ноября 1853 – 16 марта 1922), обычно упоминаемый как Г. Б. Халстед, был американским математиком, исследовавшим основы геометрии и внедрившим неевклидову геометрию в Соединенные Штаты посредством своих переводов работ Бойяи, Лобачевского, Сакери и Пуанкаре. Он написал учебник по элементарной геометрии «Рациональная геометрия», основанный на аксиомах Гильберта, который был переведен на французский, немецкий и японский языки. Халстед создал оригинальные работы по синтетической геометрии, начав с элементарного учебника в 1896 году и продолжив текстом по синтетической проективной геометрии в 1906 году.

Жизнь

Халстед был преподавателем и инструктором в Принстонском университете. Он получил математическую стипендию, будучи студентом Принстона. Халстед был выпускником Принстона в четвертом поколении, получив степень бакалавра в 1875 году и степень магистра в 1878 году. Затем он поступил в Университет Джона Хопкинса, где стал первым учеником Дж. Дж. Сильвестра и получил степень доктора философии в 1879 году. После окончания университета Халстед преподавал математику в Принстоне до 1884 года, когда начал работать в Техасском университете в Остине. С 1884 по 1903 год Халстед был членом кафедры чистой и прикладной математики Техасского университета в Остине, в конечном итоге став её заведующим. Среди его учеников были математики Р. Л. Мур и Л. Э. Диксон. Он исследовал основы геометрии и множество альтернатив евклидову построению, что вылилось в его труд «Рациональная геометрия». В 1891 году, проявляя интерес к гиперболической геометрии, он перевёл работу Николая Лобачевского о теории параллельных. В 1893 году в Чикаго на Международном математическом конгрессе, проходившем в связи с Всемирной Колумбийской выставкой, Халстед выступил с докладом «Некоторые важные моменты в истории неевклидовых и гиперпространств». Халстед часто публиковался в раннем американском журнале «Mathematical Monthly». В одной из статей он отстаивал роль Я. Бойяи в развитии неевклидовой геометрии и критиковал К. Ф. Гаусса. См. также письмо Роберта Гаусса Феликсу Клейну от 3 сентября 1912 года. В 1903 году Халстеда уволили из Техасского университета после публикации нескольких статей, критиковавших университет за то, что он предпочёл хорошо связанного, но менее квалифицированного кандидата с местными связями молодому и перспективному математику Р. Л. Муру, которого Халстед надеялся взять в качестве ассистента. Он завершил свою преподавательскую карьеру в колледже Святого Иоанна в Аннаполисе; в колледже Кенион в Гамбиере, штат Огайо (1903–1906); и в педагогическом колледже штата Колорадо в Грили (1906–1914). В 1913 году издательство Science Press опубликовало три перевода Халстедом популярных научных работ Анри Пуанкаре. В предисловии Пуанкаре отметил широкий международный охват Халстеда: «Он уже взял на себя труд перевести множество европейских трактатов и тем самым внес значительный вклад в понимание мысли Старого Света на новом континенте». Халстед был членом Американского математического общества и занимал должность вице-президента Американской ассоциации содействия развитию науки. В 1905 году он был избран членом Королевского астрономического общества.

Halsted was a tutor and instructor at Princeton University. He held a mathematical fellowship while a student at Princeton. Halsted was a fourth generation Princeton graduate, earning his bachelor's degree in 1875 and his Master's in 1878. He went on to Johns Hopkins University where he was J. J. Sylvester's first student, receiving his Ph. D. in 1879. After graduation, Halsted served as an instructor in mathematics at Princeton until beginning his post at the University of Texas at Austin in 1884. From 1884 to 1903, Halsted was a member of the University of Texas at Austin Department of Pure and Applied Mathematics, eventually becoming its chair. He taught mathematicians R. L. Moore and L. E. Dickson, among other students. He explored the foundations of geometry and many alternatives to Euclid's development, culminating with his Rational Geometry. In the interest of hyperbolic geometry in 1891 he translated the work of Nicolai Lobachevsky on theory of parallels. In 1893 in Chicago, Halsted read a paper Some salient points in the history of non Euclidean and hyper spaces at the International Mathematical Congress held in connection with the World's Columbian Exposition. Halsted frequently contributed to the early American Mathematical Monthly. In one article he championed the role of J. Bolyai in the development of non Euclidean geometry and criticized C. F. Gauss. See also the letter from Robert Gauss to Felix Klein on 3 September 1912. In 1903, Halsted was fired from UT Austin after having published several articles that criticized the university for having passed over R. L. Moore, at that time a young and promising mathematician whom Halsted hoped to have as an assistant, for an instructor post in favor of a well connected but less qualified candidate with roots in the area. He completed his teaching career at St. John's College, Annapolis; Kenyon College, Gambier, Ohio (1903–1906); and the Colorado State Teachers College, Greeley (1906–1914). In 1913 Science Press published three translations by Halsted of popular science works by Henri Poincaré. In a preface, Poincaré paid tribute to Halsted's inter continental reach: He "has already taken the trouble to translate many European treatises and thus powerfully contributed to make the new continent understand the thought of the old." Halsted was a member of the American Mathematical Society and served as vice president of the American Association for the Advancement of Science. He was elected Fellow of the Royal Astronomical Society in 1905.

Синтетическая проективная геометрия

В 1896 году Халстед опубликовал главу о синтетической геометрии, относящуюся к трехмерной проективной геометрии в сборнике «Высшая математика», распространяемом Мэнсфилдом Мерриманом и Робертом С. Вудвордом. В 1906 году «Синтетическая проективная геометрия» была опубликована отдельно в виде 241 статьи и 61 задачи. Библиография, содержащая ссылки на Чейзлза, Штайнера и Клебша, приведена на странице 24. Книга содержит четыре страницы указателя, 58 страниц текста и лирическое предисловие: «Человек, заключенный в небольшое тело, с короткими руками вместо крыльев, создал для своего руководства геометрию крота, тактильное пространство, кодифицированное Евклидом в его бессмертных «Началах», основополагающим принципом которого является конгруэнтность, измерение. Но человек не крот. Бесконечные щупальца исходят из окон его души, чьи крылья касаются неподвижных звезд. Ангел света в нем создал для руководства зрительного восприятия независимую систему, лучезарную геометрию, визуальное пространство, кодифицированное в 1847 году новым Евклидом, профессором из Эрлангена, Джорджем фон Штаудтом, в его бессмертной «Геометрии положения», опубликованной в причудливом и древнем Нюрнберге Альбрехта Дюрера». Развивая концепции выколачивания и сечения, текст связывает абстракцию с практикой в перспективе рисования или на плоскости изображения (страница 10). Линия называется прямой и включает в себя фиктивную точку. Халстед использует подход конического Штайнера в статье 77 для определения конического: «Если два лежащих в одной плоскости плоских пучка не совпадающих точек проективны, но не перспективны, то точки пересечения соответствующих прямых образуют «диапазон второго порядка» или «конический диапазон». Выколочивание конического – это конус, а сечение конуса – конический. Поскольку четыре произвольные точки в плоскости имеют шесть соединителей, существуют еще три точки, определяемые пересечениями соединителей. Халстед называет исходные четыре точки точками, а дополнительные три – коточками. Стандартная номенклатура относится к этой конфигурации как к полному четырехугольнику, в то время как Халстед называет ее тетрастимом. Каждый коточек соответствует паре противоположных соединителей. Четыре гармонические точки определяются следующим образом: «если первая и третья являются коточками тетрастима, а остальные лежат на соединителях третьего коточка» (страницы 15, 16). Для заданной коники C точка Z имеет соответствующую прямую – полярную прямую к Z, а Z является полюсом этой прямой: через Z проведем две секущие к C, пересекающиеся в точках A и D, и в точках B и C. Рассмотрим тетрастим ABCD, в котором Z является коточком. Тогда полярная прямая к Z – это прямая, проходящая через другие два коточка тетрастима ABCD (страница 25). Продолжая рассмотрение конических, сопряженные диаметры – это прямые, каждая из которых является полярной прямой к фиктивной точке другой (страница 32).

In 1896 Halsted published a chapter on synthetic geometry pertaining to three dimensional projective geometry in Higher Mathematics distributed by Mansfield Merriman and Robert S. Woodward. In 1906 Synthetic Projective Geometry was published separately in 241 articles and 61 problems. A bibliography referring to Chasles, Steiner, and Clebsch appears on page 24. There are four pages of index, 58 of text, and a lyrical preface: "Man imprisoned in a little body, with short arm hands instead of wings, created for his guidance a mole geometry, tactile space, codified by Euclid in his immortal Elements, whose basal principle is congruence, measurement. Yet man is no mole. Infinite feelers radiate from the windows of his soul, whose wings touch the fixed stars. The angel of light in him created for the guidance of eye life an independent system, a radiant geometry, a visual space, codified in 1847 by a new Euclid, by the Erlangen professor, George von Staudt, in his immortal Geometrie der Lage, published in the quaint and ancient Nurnberg of Albrecht Durer." By developing concepts of eject and cut, the text relates abstraction to practice in perspective drawing or a picture plane (page 10). A line is called a straight and includes a figurative point. Halsted uses the approach of a Steiner conic in article 77 for the definition of a conic: "If two coplanar non copunctual flat pencils are projective but not perspective, the crosses of correlated straights form a 'range of the second degree' or 'conic range'." The eject of a conic is a cone, while the cut of a cone is a conic. Since four arbitrary points in a plane have six connectors, there are three more points determined by the crosses of the connectors. Halted calls the original four points dots and the extra three codots. Standard nomenclature refers to the configuration as a complete quadrangle while Halsted says tetrastim. Each codot corresponds to a pair of opposite connectors. Four harmonic points are defined "if the first and third are codots of a tetrastim while the others are on the connectors of the third codot" (pages 15, 16). For a given conic C, a point Z has a corresponding straight the polar of Z and Z is the pole of this straight: Through Z draw two secants through C crossing at AD and BC. Consider the tetrastim ABCD, which has Z as a codot. Then the polar of Z is the straight through the other two codots of ABCD (page 25). Continuing with conics, conjugate diameters are straights, each of which is the polar of the figurative point of the other (page 32).