Введение

Теорема уникальности в комплексном анализе
В математике, в области комплексного анализа, теорема Карлсона — это теорема об однозначности, открытая Фрицем Давидом Карлсоном. Неформально она утверждает, что две различные аналитические функции, рост которых в бесконечности не слишком быстр, не могут совпадать во всех целых числах. Теорему можно вывести из теоремы Фрагмена — Линделёфа, которая, в свою очередь, является обобщением теоремы о максимальном модуле. Теорема Карлсона обычно используется для доказательства однозначности разложения в ряд Ньютона. Для других разложений существуют обобщённые аналоги теоремы Карлсона.

Второе условие

Чтобы увидеть, что второе условие является существенным, рассмотрим функцию. Она обращается в нуль в целых точках; однако, она растёт экспоненциально на мнимой оси со скоростью роста , и действительно, она не тождественно равна нулю.

Третье условие

Результат, вытекающий из , ослабляет требование, чтобы f обращалась в нуль на целых числах. А именно, Рубель показал, что заключение теоремы остаётся верным, если f обращается в нуль на подмножестве верхней плотности 1, то есть

Это условие является точным, что означает, что теорема не выполняется для множеств A с верхней плотностью, меньшей 1.

Приложения

Предположим, что f(z) — функция, обладающая всеми конечными прямыми разностями. Рассмотрим тогда ряд Ньютона

где — биномиальный коэффициент, а — n-я прямая разность. По построению, имеем 1 = f(k) = g(k) для всех неотрицательных целых чисел k, следовательно, разность 1 = h(k) = f(k) − g(k) = 0. Это одно из условий теоремы Карлсона; если h удовлетворяет остальным, то h тождественно равна нулю, и конечные разности для f однозначно определяют её ряд Ньютона. Иными словами, если ряд Ньютона для f существует, и разность удовлетворяет условиям Карлсона, то f единственна.