Кіріспе
Күрделі талдаудағы бірегейлік теоремасы. Математикада, күрделі талдау саласында Карлсон теоремасы – Фриц Дэвид Карлсон ашқан бірегейлік теоремасы. Шартты түрде айтқанда, шексіздікте тым жылдам өспейтін екі әртүрлі аналитикалық функция бүтін сандарда бірдей бола алмайды. Бұл теореманы Phragmén–Lindelöf теоремасынан шығаруға болады, ол өзі максималды модуль теоремасының жалғасы болып табылады. Карлсон теоремасы көбінесе Ньютон қатарларының кеңеюінің бірегейлігін дәлелдеу үшін қолданылады. Карлсон теоремасының басқа кеңеюлер үшін жалпыланған аналогтары бар.
In mathematics, in the area of complex analysis, Carlson's theorem is a uniqueness theorem which was discovered by Fritz David Carlson. Informally, it states that two different analytic functions which do not grow very fast at infinity can not coincide at the integers. The theorem may be obtained from the Phragmén–Lindelöf theorem, which is itself an extension of the maximum modulus theorem. Carlson's theorem is typically invoked to defend the uniqueness of a Newton series expansion. Carlson's theorem has generalized analogues for other expansions.
Екінші шарт
Екінші шарттың нақты екенін көру үшін функцияны қарастырайық. Ол бүтін сандарда нөлге тең болады; алайда, ол жолға қарай экспоненциалды түрде өседі, өсу жылдамдығы , және шындығында ол толығымен нөл емес.
Үшінші шарт
Нәтижесінде, бұл f функциясының бүтін сандарда нөлге тең болу шартын жеңілдетеді. Атап айтқанда, Рубель теореманың қорытындысы f функциясы 1-ге тең жоғарғы тығыздыққа ие жиынның ішкі жиынында нөлге тең болса да сақталады, яғни:
Бұл шарт шекті, яғни теорема 1-ден кіші жоғарғы тығыздыққа ие A жиындары үшін орындалмайды.
Қолданбалар
f(z) функциясы барлық шекті алға қарай айырмашылықтарға ие деп есептейік. Содан кейін Ньютон қатарын қарастырайық
мұнда – биномдық коэффициент, ал – n-ші алға қарай айырмашылық. Құрылымы бойынша, 1=f(k) = g(k) барлық теріс емес бүтін сандар k үшін, сондықтан айырма 1=h(k) = f(k) − g(k) = 0. Бұл Карлсон теоремасының шарттарының бірі; егер h басқа шарттарды орындаса, онда h толыққанды нөлге тең болады, ал f үшін шекті айырмашылықтар оның Ньютон қатарын бірегей түрде анықтайды. Яғни, егер f үшін Ньютон қатары болса және айырмашылық Карлсон шарттарын қанағаттандырса, онда f бірегей болады.