Введение
В математике проблема Шотки, названная в честь Фридриха Шотки, — это классический вопрос алгебраической геометрии, заключающийся в характеризации якобиевых многообразий среди абелевых многообразий.
Геометрическая формулировка
Более точно, следует рассмотреть алгебраические кривые заданного рода *g* и их якобианы. Существует модульное пространство таких кривых и модульное пространство абелевых многообразий, *A*, размерности *g*, которые принципиально поляризованы. Существует морфизм, который на точках (геометрических точках, если быть точным) отображает класс изоморфизма в *A*. Содержание теоремы Торелли заключается в том, что этот морфизм инъективен (опять же, на точках). Проблема Шоттки состоит в описании образа этого морфизма, обозначаемого *S*. Размерность *A* равна *g*, а размерность *S* равна *g(g+1)/2*. Это означает, что размеры совпадают (0, 1, 3, 6) при *g* = 0, 1, 2, 3. Следовательно, случай *g* = 4 является первым, когда размеры различаются, и он был изучен Ф. Шоттки в 1880-х годах. Шоттки применил тета-константы, которые являются модульными формами для верхней полуплоскости Сигеля, для определения локуса Шоттки в *A*. Более точная формулировка вопроса заключается в определении того, совпадает ли образ морфизма по существу с локусом Шоттки (иными словами, является ли он плотным по Зариски в этом локусе).
The dimension of is , for , while the dimension of is g(g + 1)/2. This means that the dimensions are the same (0, 1, 3, 6) for g = 0, 1, 2, 3. Therefore is the first case where the dimensions change, and this was studied by F. Schottky in the 1880s. Schottky applied the theta constants, which are modular forms for the Siegel upper half space, to define the Schottky locus in A more precise form of the question is to determine whether the image of essentially coincides with the Schottky locus (in other words, whether it is Zariski dense there).
Размер 1
Все эллиптические кривые являются якобианами самих себя, следовательно, модульный стек эллиптических кривых является моделью для .
Размеры 2 и 3
В случае абелевых поверхностей существуют два типа абелевых многообразий: якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов эллиптических кривых. Это означает, что пространства модулей вкладываются в. Существует аналогичное описание для размерности 3, поскольку абелево многообразие может быть представлено в виде произведения якобианов.
Формулировка периодической решетки
Если описывать модульное пространство в интуитивных терминах, как параметры, от которых зависит абелево многообразие, то проблема Шоттки, по сути, спрашивает, какое условие на эти параметры гарантирует, что абелево многообразие является якобианом некоторой кривой. Классический случай, рассматриваемый над полем комплексных чисел, получил наибольшее внимание, и в этом случае абелево многообразие A представляет собой просто комплексный тор определенного типа, возникающий из решетки в Cg. В относительно конкретных терминах вопрос заключается в том, какие решетки являются решетками периодов компактных римановых поверхностей.
Геометрия задачи
Существует ряд геометрических подходов, и было показано, что данный вопрос также связан с уравнением Кадомцева — Петвиашвили, относящимся к теории солитонов.