Введение
Стохастический процесс, также известный как (Моранов) гамма-процесс, – это случайный процесс, изучаемый в математике, статистике, теории вероятностей и стохастике. Гамма-процесс – это стохастический или случайный процесс, состоящий из независимо распределенных гамма-распределений, где обозначает количество событий, произошедших в интервале времени от 0 до t. Гамма-распределение имеет параметр формы и параметр скорости , часто записывается как и . Оба параметра и должны быть больше 0. Гамма-процесс часто записывается как , где представляет время, отсчитываемое от 0. Процесс является чисто скачкообразным возрастающим процессом Леви с мерой интенсивности для всех положительных t. Таким образом, скачки, размер которых лежит в интервале , происходят как процесс Пуассона с интенсивностью . Параметр контролирует скорость появления скачков, а параметр масштабирования обратно пропорционально контролирует размер скачка. Предполагается, что процесс начинается со значения 0 при t = 0, то есть . Гамма-процесс иногда также параметризуется через среднее и дисперсию увеличения за единицу времени, что эквивалентно и .
Also known as the (Moran )Gamma Process, the gamma process is a random process studied in mathematics, statistics, probability theory, and stochastics. The gamma process is a stochastic or random process consisting of independently distributed gamma distributions where represents the number of event occurrences from time 0 to time The gamma distribution has shape parameter and rate parameter , often written as Both and must be greater than 0. The gamma process is often written as where represents the time from 0. The process is a pure jump increasing Lévy process with intensity measure for all positive Thus jumps whose size lies in the interval occur as a Poisson process with intensity The parameter controls the rate of jump arrivals and the scaling parameter inversely controls the jump size. It is assumed that the process starts from a value 0 at t = 0 meaning
The gamma process is sometimes also parameterised in terms of the mean and variance of the increase per unit time, which is equivalent to and .
Определение на простом английском языке
Гамма-процесс – это процесс, который измеряет количество реализаций независимых случайных величин с гамма-распределением на протяжении определенного промежутка времени. На изображении ниже показаны два различных гамма-процесса, начиная с момента времени 0 и заканчивая моментом времени 4. Красный процесс демонстрирует больше реализаций в течение этого промежутка времени по сравнению с синим процессом, поскольку его параметр формы больше, чем у синего процесса.
Масштабирование
Умножение гамма-процесса на скалярную константу снова является гамма-процессом с другим средним темпом прироста.
Добавление независимых процессов
Сумма двух независимых гамма-процессов снова является гамма-процессом.
Моменты
Функция момента помогает математикам находить математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс, где – гамма-функция.
Функция генерации момента
Функция, генерирующая момент, — это математическое ожидание величины e^(tX), где X — случайная величина.