Введение
Нестандартные позиционные системы счисления здесь обозначают системы счисления, которые можно условно описать как позиционные, но которые не полностью соответствуют следующему описанию стандартных позиционных систем:
In a standard positional numeral system, the base b is a positive integer, and b different numerals are used to represent all non negative integers. The standard set of numerals contains the b values 0, 1, 2, etc., up to b − 1, but the value is weighted according to the position of the digit in a number. The value of a digit string like pqrs in base b is given by the polynomial form
The numbers written in superscript represent the powers of the base used. For instance, in hexadecimal (b = 16), using the numerals A for 10, B for 11 etc., the digit string 7A3F means
,
which written in our normal decimal notation is 31295. Upon introducing a radix point "." and a minus sign "−", real numbers can be represented up to arbitrary accuracy. This article summarizes facts on some non standard positional numeral systems. In most cases, the polynomial form in the description of standard systems still applies. Some historical numeral systems may be described as non standard positional numeral systems. E. g., the sexagesimal Babylonian notation and the Chinese rod numerals, which can be classified as standard systems of base 60 and 10, respectively, counting the space representing zero as a numeral, can also be classified as non standard systems, more specifically, mixed base systems with unary components, considering the primitive repeated glyphs making up the numerals. However, most of the non standard systems listed below have never been intended for general use, but were devised by mathematicians or engineers for special academic or technical use.
В стандартной позиционной системе счисления основание *b* является положительным целым числом, и *b* различных цифр используются для представления всех неотрицательных целых чисел. Стандартный набор цифр содержит значения от 0 до *b* − 1, но значение каждой цифры определяется её позицией в числе. Значение последовательности цифр, такой как *pqrs*, в системе с основанием *b*, задается полиномиальной формой:
In a standard positional numeral system, the base b is a positive integer, and b different numerals are used to represent all non negative integers. The standard set of numerals contains the b values 0, 1, 2, etc., up to b − 1, but the value is weighted according to the position of the digit in a number. The value of a digit string like pqrs in base b is given by the polynomial form
The numbers written in superscript represent the powers of the base used. For instance, in hexadecimal (b = 16), using the numerals A for 10, B for 11 etc., the digit string 7A3F means
,
which written in our normal decimal notation is 31295. Upon introducing a radix point "." and a minus sign "−", real numbers can be represented up to arbitrary accuracy. This article summarizes facts on some non standard positional numeral systems. In most cases, the polynomial form in the description of standard systems still applies. Some historical numeral systems may be described as non standard positional numeral systems. E. g., the sexagesimal Babylonian notation and the Chinese rod numerals, which can be classified as standard systems of base 60 and 10, respectively, counting the space representing zero as a numeral, can also be classified as non standard systems, more specifically, mixed base systems with unary components, considering the primitive repeated glyphs making up the numerals. However, most of the non standard systems listed below have never been intended for general use, but were devised by mathematicians or engineers for special academic or technical use.
Числа, написанные в виде верхних индексов, представляют собой степени основания. Например, в шестнадцатеричной системе (b = 16), используя цифры A для 10, B для 11 и так далее, последовательность цифр 7A3F означает:
In a standard positional numeral system, the base b is a positive integer, and b different numerals are used to represent all non negative integers. The standard set of numerals contains the b values 0, 1, 2, etc., up to b − 1, but the value is weighted according to the position of the digit in a number. The value of a digit string like pqrs in base b is given by the polynomial form
The numbers written in superscript represent the powers of the base used. For instance, in hexadecimal (b = 16), using the numerals A for 10, B for 11 etc., the digit string 7A3F means
,
which written in our normal decimal notation is 31295. Upon introducing a radix point "." and a minus sign "−", real numbers can be represented up to arbitrary accuracy. This article summarizes facts on some non standard positional numeral systems. In most cases, the polynomial form in the description of standard systems still applies. Some historical numeral systems may be described as non standard positional numeral systems. E. g., the sexagesimal Babylonian notation and the Chinese rod numerals, which can be classified as standard systems of base 60 and 10, respectively, counting the space representing zero as a numeral, can also be classified as non standard systems, more specifically, mixed base systems with unary components, considering the primitive repeated glyphs making up the numerals. However, most of the non standard systems listed below have never been intended for general use, but were devised by mathematicians or engineers for special academic or technical use.
, что в обычном десятичном представлении равно 31295. При введении разделителя целой и дробной части "." и знака минуса "−", вещественные числа могут быть представлены с произвольной точностью. В данной статье обобщены сведения о некоторых нестандартных позиционных системах счисления. В большинстве случаев полиномиальная форма, используемая для описания стандартных систем, остаётся применимой. Некоторые исторические системы счисления также могут быть описаны как нестандартные позиционные системы. Например, сексагезимальная вавилонская система счисления и китайские счётные палочки, которые можно классифицировать как стандартные системы с основанием 60 и 10 соответственно, рассматривая пробел, обозначающий ноль, как цифру, также могут быть классифицированы как нестандартные системы, а точнее, как системы со смешанным основанием и унитарными компонентами, учитывая примитивные повторяющиеся символы, составляющие цифры. Однако большинство нестандартных систем, перечисленных ниже, не предназначались для общего использования, а были разработаны математиками или инженерами для специальных научных или технических целей.
In a standard positional numeral system, the base b is a positive integer, and b different numerals are used to represent all non negative integers. The standard set of numerals contains the b values 0, 1, 2, etc., up to b − 1, but the value is weighted according to the position of the digit in a number. The value of a digit string like pqrs in base b is given by the polynomial form
The numbers written in superscript represent the powers of the base used. For instance, in hexadecimal (b = 16), using the numerals A for 10, B for 11 etc., the digit string 7A3F means
,
which written in our normal decimal notation is 31295. Upon introducing a radix point "." and a minus sign "−", real numbers can be represented up to arbitrary accuracy. This article summarizes facts on some non standard positional numeral systems. In most cases, the polynomial form in the description of standard systems still applies. Some historical numeral systems may be described as non standard positional numeral systems. E. g., the sexagesimal Babylonian notation and the Chinese rod numerals, which can be classified as standard systems of base 60 and 10, respectively, counting the space representing zero as a numeral, can also be classified as non standard systems, more specifically, mixed base systems with unary components, considering the primitive repeated glyphs making up the numerals. However, most of the non standard systems listed below have never been intended for general use, but were devised by mathematicians or engineers for special academic or technical use.
Объективные системы нумерации
Биективная система счисления с основанием b использует b различных цифр для представления всех неотрицательных целых чисел. Однако значения этих цифр равны 1, 2, 3 и так далее до b включительно, а ноль представляется пустой последовательностью цифр. Например, можно построить десятичную систему счисления без использования нуля.
Первая база (единомерная система чисел)
Унарная система — это биективная система счисления с основанием b = 1. В унарной системе для представления всех положительных целых чисел используется одна цифра. Значение последовательности цифр pqrs, заданное полиномиальной формой, упрощается до p + q + r + s, поскольку bⁿ = 1 для всех n. Нестандартные особенности этой системы включают: значение цифры не зависит от её позиции. Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что унарная система вообще не является позиционной системой счисления. Введение десятичной точки в этой системе не позволит представить нецелые числа. Единственная цифра представляет значение 1, а не значение 0 = b - 1. Значение 0 не может быть представлено (или неявно представляется пустой последовательностью цифр).
The value of a digit does not depend on its position. Thus, one can easily argue that unary is not a positional system at all. Introducing a radix point in this system will not enable representation of non integer values. The single numeral represents the value 1, not the value 0 = b − 1. The value 0 cannot be represented (or is implicitly represented by an empty digit string).
Представление подписанной цифры
В некоторых системах, хотя основание является положительным целым числом, допускаются отрицательные цифры. Система с не смежными цифрами — это частный случай, где основание b = 2. В сбалансированной троичной системе основание b = 3, а цифры принимают значения −1, 0 и +1 (в отличие от 0, 1 и 2 в стандартной троичной системе, или 1, 2 и 3 в биективной троичной системе).
Серый код
Отраженный двоичный код, также известный как код Грея, тесно связан с двоичными числами, но некоторые биты инвертируются в зависимости от четности старших битов.
Основания, которые не являются положительными целыми числами
Было предложено несколько позиционных систем, в которых основание b не является положительным целым числом.
Отрицательная основа
Негативные системы счисления включают негабинарную, негатренарную и негадесятичную, с основаниями -2, -3 и -10 соответственно; в системе с основанием -b количество различных используемых цифр равно b. Благодаря свойствам отрицательных чисел в степени, все целые числа, как положительные, так и отрицательные, могут быть представлены без знака.
Комплексная основа
В чисто воображаемой системе счисления с основанием bi, где b – целое число, большее 1, а i – мнимая единица, стандартный набор цифр состоит из b² чисел от 0 до b² − 1. Это можно обобщить на другие комплексные основания, что приводит к возникновению систем счисления с комплексным основанием.
Нецелое число
В нецелых основаниях число различных используемых цифр очевидно не может быть равно b. Вместо этого используются цифры от 0 до a. Например, основание, использующее золотое сечение (финарное основание), использует 2 различные цифры: 0 и 1.
Смешанные основания
Иногда удобно рассматривать позиционные числовые системы, в которых веса, связанные с позициями, не образуют геометрическую прогрессию 1, b, b², b³, и т.д., начиная с младшего разряда, как это представлено в полиномиальной форме. В системах со смешанным основанием, таких как факториальная система счисления, веса образуют последовательность, где каждый вес является целым кратным предыдущего, а количество допустимых значений цифр соответственно меняется от разряда к разряду. Например, система счисления майя, использовавшаяся в календаре, была системой со смешанным основанием, поскольку одна из её позиций представляет собой умножение на 18, а не на 20, чтобы соответствовать 360-дневному календарю. Также, представление угла в градусах, минутах и секундах (с десятичными долями) или времени в днях, часах, минутах и секундах можно интерпретировать как системы со смешанным основанием. Можно использовать и последовательности, где каждое весовое значение не является целым кратным предыдущего, но тогда не каждое целое число будет иметь уникальное представление. Например, кодирование Фибоначчи использует цифры 0 и 1, взвешенные в соответствии с последовательностью Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, …); уникальность представления всех неотрицательных целых чисел обеспечивается запретом на последовательные единицы. Десятичные числа, закодированные в двоичном формате (BCD), являются системами со смешанным основанием, в которых биты (двоичные цифры) используются для представления десятичных цифр. Например, в последовательности 1001 0011 каждая группа из четырех битов может представлять десятичную цифру (в данном примере 9 и 3, следовательно, восемь битов вместе представляют десятичное число 93). Веса, связанные с этими 8 позициями, равны 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2 и 1. Уникальность обеспечивается требованием, что в каждой группе из четырех битов, если первый бит равен 1, то следующие два должны быть 00.
Асимметричные системы счисления
Асимметричные системы счисления — это системы, используемые в информатике, где каждая цифра может иметь различные основания, как правило, не являющиеся целыми числами. В этих системах основания для каждой цифры не только различны, но также могут быть неоднородными и изменяться асимметрично для более эффективного кодирования информации. Они оптимизированы для заданных неоднородных распределений вероятностей символов, используя в среднем приблизительно количество бит, соответствующее энтропии Шеннона, на символ.