Введение

Точка на кривой, не заданная гладким параметрическим отображением. В геометрии сингулярной точкой на кривой называется точка, в которой кривая не задается гладким параметрическим отображением. Точное определение сингулярной точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые в плоскости

Алгебраические кривые в плоскости могут быть определены как множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению вида, где f – полиномиальная функция f: \R^2 \to \R. Если f раскладывается в виде

Если начало координат (0, 0) лежит на кривой, то если, то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции h, такой что кривая имеет вид 1=y = h(x) в окрестности начала координат. Аналогично, если, то существует гладкая функция k, такая что кривая имеет вид 1=x = k(y) в окрестности начала координат. В любом случае, существует гладкое отображение из \R в плоскость, которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в начале координат

Таким образом, кривая является несингулярной или регулярной в начале координат, если хотя бы одна из частных производных f не равна нулю. Сингулярными точками являются те точки на кривой, где обе частные производные обращаются в ноль.

Круноды

Если уравнение f(x,y) = 0 имеет два действительных решения для m, то есть если Δ > 0, то начало координат называется кронодой. Кривая в этом случае пересекает сама себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения f(x,y) = 0. В этом случае функция f имеет седловую точку в начале координат.

Анодные узлы

Если уравнение не имеет действительных решений для m, то есть если , то начало координат называется аконодой. На действительной плоскости начало координат является изолированной точкой на кривой; однако, если рассматривать кривую в комплексной плоскости, начало координат не является изолированной точкой и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям уравнения . В этом случае функция f имеет локальный экстремум в начале координат.

Куспы

Если уравнение имеет единственное решение кратности 2 относительно m, то есть если , то начало координат называется точкой возврата. В этом случае кривая меняет направление в начале координат, образуя заостренную точку. Кривая имеет единственную касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Термин "узел" используется для обозначения круноды или аконоды, то есть двойной точки, не являющейся остриём. Количество узлов и количество острий на кривой — два из инвариантов, используемых в формулах Плюккера. Если одно из решений уравнения также является решением уравнения , то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется флекнодой. Если обе касательные обладают этим свойством, то есть является множителем , то начало координат называется бифлекнодой.

Многоточечные

В общем случае, если все члены степени, меньшей k, равны 0, и хотя бы один член степени k в f не равен 0, то кривая называется имеющей кратную точку порядка k или k-кратную точку. Кривая, как правило, имеет k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми.