Эндрю Мэттей Глисон: Жизнь и вклад выдающегося математика и педагога.

Введение

Американский математик и педагог

Эндрю Маттей Глисон (1921–2008) был американским математиком, внесшим фундаментальный вклад в самые разные области математики, включая решение пятой проблемы Гильберта, и являвшимся лидером в реформировании и внедрении инноваций в преподавание на всех уровнях. Теорема Глисона в квантовой логике и граф Гринвуда — Глисона, важный пример в теории Рамсея, названы в его честь. Будучи молодым офицером военно-морского флота во время Второй мировой войны, Глисон расшифровывал немецкие и японские военные коды. После войны он провел всю свою академическую карьеру в Гарвардском университете, откуда вышел на пенсию в 1992 году. Среди многочисленных академических и научных должностей, которые он занимал, были председательство в математическом отделе Гарварда и Гарвардском обществе стипендиатов, а также президентство в Американском математическом обществе. Он продолжал консультировать правительство Соединенных Штатов по вопросам криптографической безопасности, а штат Массачусетс — по вопросам образования детей, почти до конца своей жизни. Глисон получил премию Ньюкомба Кливленда в 1952 году и премию за выдающиеся заслуги Гунг-Ху Американского математического общества в 1996 году. Он был членом Национальной академии наук и Американского философского общества, а также занимал должность профессора математики и естественной философии в Гарварде. Он любил говорить, что доказательства «на самом деле не нужны для того, чтобы убедить вас в истинности чего-либо — они нужны для того, чтобы показать вам, почему это так». Он вырос в Бронксвилле, штат Нью-Йорк, где его отец был куратором Нью-Йоркского ботанического сада. После нападения японцев на Перл-Харбор во время его последнего года обучения в университете Глисон подал заявление о зачислении в ВМС США и после окончания присоединился к команде, работавшей над расшифровкой японских военно-морских кодов. Берко, психолингвист, много лет работал в Бостонском университете. Он ушел из Гарварда в 1992 году, но оставался активным в работе на благо Гарварда (например, в качестве председателя Общества стипендиатов) и сотрудничал с Советом по образованию штата Массачусетс. В Гарварде он «регулярно преподавал на всех уровнях», что привело к публикации его «Основ абстрактного анализа», о которой один из рецензентов написал: «Это очень необычная книга. Каждый практикующий математик, конечно, знает разницу между безжизненной цепочкой формализованных утверждений и «чувством», которое есть (или которое он пытается получить) от математической теории, и, вероятно, согласится с тем, что помощь студенту в достижении этого «внутреннего» взгляда является конечной целью математического образования; но он обычно отказывается от любых попыток добиться этого успешно, кроме как посредством устного обучения. Оригинальность автора заключается в том, что он попытался достичь этой цели в учебнике, и, по мнению рецензента, он замечательно преуспел в этой почти невозможной задаче. Большинство читателей, вероятно, будут рады (как и рецензент) найти на каждой странице кропотливые обсуждения и объяснения стандартных математических и логических процедур, всегда написанные в наиболее удачном стиле, который не жалеет усилий для достижения максимальной ясности, не скатываясь в вульгарность, которая так часто портит подобные попытки». [[Файл:GleasonAndrewMattei HorseAndClipboard.jpg|мини|справа|"С неизбежным портфелем под рукой", и за его кажущееся отсутствие математической строгости.

Andrew Mattei Gleason (19212008) was an American mathematician who made fundamental contributions to widely varied areas of mathematics, including the solution of Hilbert's fifth problem, and was a leader in reform and innovation in teaching at all levels. Gleason's theorem in quantum logic and the Greenwood–Gleason graph, an important example in Ramsey theory, are named for him. As a young World War II naval officer, Gleason broke German and Japanese military codes. After the war he spent his entire academic career at Harvard University, from which he retired in 1992. His numerous academic and scholarly leadership posts included chairmanship of the Harvard Mathematics Department and the Harvard Society of Fellows, and presidency of the American Mathematical Society. He continued to advise the United States government on cryptographic security, and the Commonwealth of Massachusetts on education for children, almost until the end of his life. Gleason won the Newcomb Cleveland Prize in 1952 and the Gung–Hu Distinguished Service Award of the American Mathematical Society in 1996. He was a member of the National Academy of Sciences and of the American Philosophical Society, and held the Hollis Chair of Mathematics and Natural Philosophy at Harvard. He was fond of saying that proofs "really aren't there to convince you that something is truethey're there to show you why it is true." He grew up in Bronxville, New York, where his father was the curator of the New York Botanical Garden. After the Japanese attacked Pearl Harbor during his senior year, Gleason applied for a commission in the US Navy,
and on graduation
joined the team working to break Japanese naval codes. Berko, a psycholinguist, worked for many years at Boston University. He retired from Harvard in 1992 but remained active in service to Harvard (as chair of the Society of Fellows, for example) and working with the Massachusetts Board of Education. At Harvard he "regularly taught at every level", That effort led to publication of his Fundamentals of Abstract Analysis, of which one reviewer wrote:
This is a most unusual book Every working mathematician of course knows the difference between a lifeless chain of formalized propositions and the "feeling" one has (or tries to get) of a mathematical theory, and will probably agree that helping the student to reach that "inside" view is the ultimate goal of mathematical education; but he will usually give up any attempt at successfully doing this except through oral teaching. The originality of the author is that he has tried to attain that goal in a textbook, and in the reviewer's opinion, he has succeeded remarkably well in this all but impossible task. Most readers will probably be delighted (as the reviewer has been) to find, page after page, painstaking discussions and explanations of standard mathematical and logical procedures, always written in the most felicitous style, which spares no effort to achieve the utmost clarity without falling into the vulgarity which so often mars such attempts. [[File:GleasonAndrewMattei HorseAndClipboard. jpg|thumb|right|"With the inevitable clipboard under his arm", and for its perceived lack of mathematical rigor.

Работа по криптоанализу

Отчет (1945) Глисона и его коллег о немецкой машине «Энигма». «Восстановление проводки с глубины может быть очень сложным, но стоит попробовать». Во время Второй мировой войны Глисон был частью OP 20 G – группы радиоразведки и криптоанализа военно-морских сил США – и занимался вопросами комбинаторики. Глисон был практиком: он решал конкретные задачи, а не формулировал масштабные теории.

Пятая проблема Гильберта

Запись в журнале (1947): "10 июля. Мы вывесили одежду сушиться в этот пятый день". В 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 задачи, которые, по его мнению, будут ключевыми для математических исследований следующего столетия. Пятая проблема Гильберта касается характеризации групп Ли посредством их действий на топологических пространствах: в какой мере их топология предоставляет информацию, достаточную для определения их геометрии? "Ограниченная" версия пятой проблемы Гильберта (решённая Глисоном) спрашивает более конкретно, является ли каждая локально евклидова топологическая группа группой Ли. Иными словами, если группа G обладает структурой топологического многообразия, можно ли усилить эту структуру до дифференцируемой структуры, так чтобы в любой окрестности элемента G групповая операция задавалась сходящимся степенным рядом, а перекрывающиеся окрестности имели согласованные определения степенными рядами? До работы Глисона частные случаи этой задачи были решены Л. Э. Брауэром, Джоном фон Нейманом, Львом Понтрягиным и Гарретом Биркоффом, среди прочих. [[Файл:GleasonAndrewMattei withGeorgeMackey2000. jpg|thumb|left|С его наставником.

Квантовая механика

thumb|upright=0.8|С семейным котом Фредом, около 1966 года. Правило Борна утверждает, что наблюдаемое свойство квантовой системы определяется эрмитовым оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве, что единственными наблюдаемыми значениями свойства являются собственные значения оператора, и что вероятность наблюдения системы в конкретном собственном значении равна квадрату модуля комплексного числа, полученного при проектировании вектора состояния (точки в гильбертовом пространстве) на соответствующий собственный вектор. Джордж Макки задавался вопросом, является ли правило Борна необходимым следствием определенного набора аксиом для квантовой механики, и, более конкретно, может ли каждое измерение на решетке проекций гильбертова пространства быть определено положительным оператором с единичным следом. Хотя Ричард Кадисон доказал, что это неверно для двухмерных гильбертовых пространств, теорема Глисона (опубликованная в 1957 году) показывает, что это справедливо для более высоких размерностей. В 1953 году вычисление R(3,3) было предложено в качестве вопроса на конкурсе Путнама; в 1955 году, вдохновленные этой проблемой, Глисон и его соавтор Роберт Гринвуд добились значительного прогресса в вычислении чисел Рамзи, доказав, что R(3,4) = 9, R(3,5) = 14 и R(4,4) = 18. С тех пор было найдено только еще пять таких значений. В той же статье 1955 года Гринвуд и Глисон также вычислили многоцветное число Рамзи R(3,3,3) – наименьшее число r, такое, что если полный граф на r вершинах имеет ребра, окрашенные в три цвета, то он обязательно содержит монохромный треугольник. Как они показали, R(3,3,3) = 17; это остается единственным нетривиальным многоцветным числом Рамзи, точное значение которого известно (иногда называемым графом Гринвуда — Глисона). Рональд Грэм пишет, что статья Гринвуда и Глисона «теперь признана классикой в развитии теории Рамзи».

Теория кодирования

Вместе со своим братом, лингвистом Генри Алланом Глисоном-младшим, в Торонто, 1969 год. Глисон опубликовал немного работ по теории кодирования, но они оказались весьма влиятельными. В 1950-х и 1960-х годах он посещал ежемесячные встречи, посвященные теории кодирования, с Верой Плесс и другими участниками в Исследовательской лаборатории ВВС Кембриджа. Плесс, ранее занимавшаяся абстрактной алгеброй, но в этот период ставшая одним из ведущих мировых экспертов в области теории кодирования, пишет, что "эти ежемесячные встречи были смыслом моей жизни". Она часто обращалась к Глисону со своими математическими проблемами и нередко получала быстрый и глубокий ответ. Показано, что этот код обладает высокой симметрией, поскольку проективная линейная группа PSL2(n) является подгруппой его симметрий. Эти многочлены принимают особенно простую форму для самодвойственных кодов: в этом случае их всего два – два бивариантных многочлена x² + y² и x⁸ + 14x²y² + y⁸.