Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Парадоксальное утверждение
Paradoxical assertion
В философии и логике, классический парадокс лжеца, или парадокс лжеца, или антиномия лжеца – это утверждение лжеца о том, что он лжёт: например, заявление «Я лгу». Если лжец действительно лжёт, то он говорит правду, а значит, он солгал. В формулировке «это предложение – ложь» парадокс усиливается, чтобы сделать его более подходящим для строгого логического анализа. Его по-прежнему обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстрагируются именно от того, кто делает это утверждение. Попытка присвоить этому усиленному парадоксу классическое двоичное значение истинности приводит к противоречию. Если «это предложение ложно» истинно, то оно ложно, но предложение утверждает, что оно ложно, а если оно ложно, то оно должно быть истинным, и так далее.
In philosophy and logic, the classical liar paradox or liar's paradox or antinomy of the liar is the statement of a liar that they are lying: for instance, declaring that "I am lying". If the liar is indeed lying, then the liar is telling the truth, which means the liar just lied. In "this sentence is a lie" the paradox is strengthened in order to make it amenable to more rigorous logical analysis. It is still generally called the "liar paradox" although abstraction is made precisely from the liar making the statement. Trying to assign to this statement, the strengthened liar, a classical binary truth value leads to a contradiction. If "this sentence is false" is true, then it is false, but the sentence states that it is false, and if it is false, then it must be true, and so on.
Саул Крипке
Саул Крипке утверждал, что парадоксальность высказывания может зависеть от контингентных фактов. В отношении парадокса лжеца (sarvam mithyā bravīmi "всё, что я говорю, ложно") Бхартрихари выявляет скрытый параметр, способный превратить безобидные ситуации в повседневном общении в устойчивый парадокс. Решение Бхартрихари можно понять в терминах решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: "Парадоксы саморазрушаются. Но мы можем развести враждующие стороны противоречия, прибегнув к простому приёму временной контекстуализации: то, что является "истинным" по отношению к одному моменту времени, не обязательно остаётся таковым в другой. Общая сила "австинистского" аргумента заключается не просто в том, что "вещи меняются", а в том, что рациональность по своей сути временна, поскольку нам необходимо время для согласования и управления состояниями, которые в противном случае были бы взаимоуничтожающими". Согласно предложению Робертса, именно фактор "времени" позволяет согласовать разделенные "части мира", играющие ключевую роль в решении Барвайза и Этчемэнди.
Saul Kripke argued that whether a sentence is paradoxical or not can depend upon contingent facts. With regard to the liar paradox (sarvam mithyā bravīmi "everything I am saying is false") Bhartrhari identifies a hidden parameter that can change unproblematic situations in daily communication into a stubborn paradox. Bhartrhari's solution can be understood in terms of the solution proposed in 1992 by Julian Roberts: "Paradoxes consume themselves. But we can keep apart the warring sides of the contradiction by the simple expedient of temporal contextualisation: what is 'true' with respect to one point in time need not be so in another The overall force of the 'Austinian' argument is not merely that 'things change', but that rationality is essentially temporal in that we need time in order to reconcile and manage what would otherwise be mutually destructive states." According to Robert's suggestion, it is the factor "time" which allows us to reconcile the separated "parts of the world" that play a crucial role in the solution of Barwise and Etchemendy.
Первая теорема о неполноте Гёделя
Теоремы о неполноте Гёделя — две фундаментальные теоремы математической логики, которые устанавливают присущие ограничения достаточно мощных аксиоматических систем для математики. Теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1931 году и имеют важное значение в философии математики. Говоря упрощенно, при доказательстве первой теоремы о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив утверждение «это предложение ложно» на «это предложение не доказуемо», которое называется «предложением Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T, G истинно, но не доказуемо в T. Анализ истинности и доказуемости G является формализованной версией анализа истинности предложения лжеца. Для доказательства первой теоремы о неполноте Гёдель представил утверждения числами. Тогда теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представляются как вопросы о свойствах чисел, которые могли бы быть разрешимы теорией, если бы она была полной. В этих терминах предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа, обладающего определенным, странным свойством. Число с этим свойством закодировало бы доказательство противоречивости теории. Если бы такое число существовало, то теория была бы противоречива, что противоречит гипотезе о непротиворечивости. Следовательно, при условии, что теория непротиворечива, такого числа не существует. Невозможно заменить «не доказуемо» на «ложно» в предложении Гёделя, поскольку предикат «Q является числом Гёделя ложной формулы» нельзя представить в виде формулы арифметики. Этот результат, известный как теорема о неопределимости Тарски, был независимо открыт Гёделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфредом Тарски. Джордж Булос впоследствии предложил альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, которое использует парадокс Берри вместо парадокса лжеца для построения истинной, но недоказуемой формулы.
Gödel's incompleteness theorems are two fundamental theorems of mathematical logic which state inherent limitations of sufficiently powerful axiomatic systems for mathematics. The theorems were proven by Kurt Gödel in 1931, and are important in the philosophy of mathematics. Roughly speaking, in proving the first incompleteness theorem, Gödel used a modified version of the liar paradox, replacing "this sentence is false" with "this sentence is not provable", called the "Gödel sentence G". His proof showed that for any sufficiently powerful theory T, G is true, but not provable in T. The analysis of the truth and provability of G is a formalized version of the analysis of the truth of the liar sentence. To prove the first incompleteness theorem, Gödel represented statements by numbers. Then the theory at hand, which is assumed to prove certain facts about numbers, also proves facts about its own statements. Questions about the provability of statements are represented as questions about the properties of numbers, which would be decidable by the theory if it were complete. In these terms, the Gödel sentence states that no natural number exists with a certain, strange property. A number with this property would encode a proof of the inconsistency of the theory. If there were such a number then the theory would be inconsistent, contrary to the consistency hypothesis. So, under the assumption that the theory is consistent, there is no such number. It is not possible to replace "not provable" with "false" in a Gödel sentence because the predicate "Q is the Gödel number of a false formula" cannot be represented as a formula of arithmetic. This result, known as Tarski's undefinability theorem, was discovered independently by Gödel (when he was working on the proof of the incompleteness theorem) and by Alfred Tarski. George Boolos has since sketched an alternative proof of the first incompleteness theorem that uses Berry's paradox rather than the liar paradox to construct a true but unprovable formula.
В популярной культуре
Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе для вывода из строя искусственного интеллекта, который представляется неспособным обработать это высказывание. В эпизоде "Я, Мадд" сериала "Звёздный путь: Оригинальный сериал" капитан Кирк и Гарри Мадд используют парадокс лжеца, чтобы запутать и в конечном итоге отключить андроида, удерживающего их в плену. В эпизоде "Зелёная смерть" сериала "Доктор Кто" 1973 года Доктор временно ставит в тупик безумный компьютер BOSS, спросив: "Если бы я сказал вам, что следующее моё высказывание будет правдой, а предыдущее – ложью, вы бы мне поверили?". BOSS пытается это понять, но не может, и в итоге признаёт вопрос нерелевантным, вызывая охрану. В видеоигре Portal 2 2011 года искусственный интеллект GLaDOS пытается использовать парадокс "это предложение ложно", чтобы уничтожить другого искусственный интеллект, Уитли. Однако, не обладая достаточным интеллектом, чтобы осознать, что это парадокс, он просто отвечает: "Эм, правда. Я выбираю правду. Вот, это было легко" и остаётся невредимым. Любопытно, что все остальные ИИ, кроме GLaDOS, которые значительно менее разумны и осознают себя, чем она и Уитли, всё же погибают, услышав этот парадокс. Однако позже GLaDOS замечает, что чуть не уничтожила себя, пытаясь убить Уитли. В песне Devo "Enough Said" есть строчки: "Следующее, что я скажу тебе, будет правдой / Предыдущее, что я сказал, было ложью". В седьмом эпизоде Minecraft: Story Mode под названием "Access Denied" главный герой Джесси и его друзья попадают в плен к суперкомпьютеру по имени PAMA. После того, как PAMA берёт под контроль двух друзей Джесси, Джесси узнаёт, что PAMA испытывает задержки при обработке информации и использует парадокс, чтобы запутать его и сбежать с последним другом. Одним из парадоксов, который игрок может заставить Джесси произнести, является парадокс лжеца. Песня Rollins Band "Liar" 1994 года содержит намёк на парадокс, когда рассказчик заканчивает песню словами: "Я буду лгать снова и снова, и буду продолжать лгать, обещаю". Песня Роберта Эрла Кина "The Road Goes On and On" также содержит намёк на парадокс. Считается, что песня была написана в рамках конфликта Кина с Тоби Китом, который, предположительно, является "лжецом", о котором говорит Кин.
The liar paradox is occasionally used in fiction to shut down artificial intelligences, who are presented as being unable to process the sentence. In the Star Trek: The Original Series episode "I, Mudd", the liar paradox is used by Captain Kirk and Harry Mudd to confuse and ultimately disable an android holding them captive. In the 1973 Doctor Who serial The Green Death, the Doctor temporarily stumps the insane computer BOSS by asking it "If I were to tell you that the next thing I say would be true, but that the last thing I said was a lie, would you believe me?" BOSS tries to figure it out but cannot and eventually decides the question is irrelevant and summons security. In the 2011 video game Portal 2, artificial intelligence GLaDOS attempts to use the "this sentence is false" paradox to kill another artificial intelligence, Wheatley. However, lacking the intelligence to realize the statement is a paradox, he simply responds, "Um, true. I'll go with true. There, that was easy." and is unaffected. Humorously, all other AIs present barring GLaDOS, all of which are significantly less sentient and lucid than both her and Wheatley, are still killed from hearing the paradox. However, GLaDOS later notes that she almost killed herself from her own attempt to kill Wheatley. The Devo song, Enough Said, includes the lyrics The next thing I say to you will be true / The last thing I said was false. In the seventh episode of Minecraft: Story Mode, titled "Access Denied", the main character Jesse and their friends are captured by a supercomputer named PAMA. After PAMA controls two of Jesse's friends, Jesse learns that PAMA stalls when processing and uses a paradox to confuse him and escape with their last friend. One of the paradoxes the player can make Jesse say is the liar paradox. Rollins Band's 1994 song "Liar" alluded to the paradox when the narrator ends the song by stating "I'll lie again and again and I'll keep lying, I promise". Robert Earl Keen's song "The Road Goes On and On" alludes to the paradox. The song is widely believed to be written as part of Keen's feud with Toby Keith, who is presumably the "liar" Keen refers to.