Метод сопоставленных асимптотических разложений

Введение

В математике метод сопоставленных асимптотических разложений – распространенный подход к нахождению точной аппроксимации решения уравнения или системы уравнений. Он особенно полезен при решении сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Метод заключается в построении нескольких различных приближенных решений, каждое из которых справедливо (то есть точно) для определенной части области изменения независимой переменной, а затем в объединении этих решений для получения единого приближения, справедливого во всей области изменения независимой переменной. В российской математической литературе эти методы были известны под названием "промежуточная асимптотика" и были впервые разработаны в работах Якова Зельдовича и Григория Баренблатта.

Обзор метода

В большом классе сингулярно возмущенных задач область определения может быть разделена на два или более подобластей. В одной из них, как правило, самой большой, решение точно аппроксимируется асимптотическим рядом, полученным путем рассмотрения задачи как регулярного возмущения (то есть, полагая относительно малый параметр равным нулю). Другие подобласти состоят из одной или нескольких малых областей, в которых эта аппроксимация неточна, обычно потому, что возмущающие члены в задаче там не пренебрежимо малы. Эти области обычно называют переходными слоями, а конкретнее – пограничными слоями или внутренними слоями, в зависимости от того, возникают ли они на границе области (как это обычно происходит в приложениях) или внутри области, соответственно. В переходном слое (слоях) аппроксимация в виде асимптотического ряда получается путем рассмотрения этой части области как отдельной задачи возмущения. Эта аппроксимация называется внутренним решением, а другая – внешним решением, в соответствии с их отношением к переходному слою (слоям). Затем внешнее и внутреннее решения объединяются посредством процесса, называемого "согласованием", таким образом, чтобы получить приближенное решение для всей области.

Композитный раствор

Чтобы получить наше окончательное, согласованное, составное решение, справедливое для всей области, одним из популярных методов является равномерный метод. В этом методе мы складываем внутреннее и внешнее приближения и вычитаем их перекрывающееся значение, , которое в противном случае было бы учтено дважды. Перекрывающееся значение – это внешняя граница решения внутреннего пограничного слоя и внутренняя граница внешнего решения; эти границы были ранее найдены равными . Следовательно, окончательное приближенное решение этой краевой задачи имеет вид:

Обратите внимание, что это выражение корректно сводится к выражениям для и , когда и O(1), соответственно.

Точность

Это окончательное решение удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (что подтверждается подстановкой решения и его производных в исходное уравнение). Кроме того, граничные условия, полученные для этого окончательного решения, совпадают со значениями, заданными в задаче, с точностью до постоянного множителя. Это означает, что благодаря единственности решения, найденное асимптотическое решение идентично точному решению с точностью до постоянного множителя. Однако это не всегда так, и все оставшиеся члены должны стремиться к нулю равномерно при стремлении к нулю. Наше решение не только успешно приближенно решает поставленную задачу, но и близко приближается к точному решению. Оказывается, что для этой конкретной задачи легко находится точное решение, которое имеет ту же форму, что и приближенное решение, отличаясь лишь постоянным множителем. Приближенное решение является первым членом в биномиальном разложении точного решения по степеням .

Местоположение пограничного слоя

Удобно, что мы видим: пограничный слой, где и велики, находится вблизи , как мы и предполагали ранее. Если бы мы предположили, что он находится у другого конца, и продолжили, выполнив перемасштабирование , мы бы обнаружили, что невозможно выполнить полученное условие сопряжения. Для многих задач такой метод проб и ошибок – единственный способ определить истинное положение пограничного слоя.

Дифференциальные уравнения второго порядка типа Шредингера

Метод сопоставления асимптотических разложений с согласованием решений в общей области применимости был разработан и широко использован Динглем и Мюллером Кирстеном для получения асимптотических разложений решений и характеристических чисел (границ зон) дифференциальных уравнений второго порядка типа уравнений Шрёдингера с периодическими потенциалами, в частности, для уравнения Матье (наиболее яркий пример), уравнений Ламе и уравнений эллипсоидальных волн, уравнений сфероидальных волн с уплощенной и вытянутой геометрией, а также уравнений с анармоническими потенциалами.

Уравнения конвекции-диффузии

Были разработаны методы сопоставления асимптотических разложений для нахождения приближенных решений уравнения конвективной диффузии Смолуховского – дифференциального уравнения второго порядка с особенностью. Эта задача особенно актуальна при изучении коллоидных частиц в линейных полях течения, где переменной является функция парного распределения вокруг пробной частицы. В пределе малых чисел Пекле уравнение конвективной диффузии также демонстрирует особенность на бесконечном расстоянии (где обычно задается граничное условие в дальней области) из-за линейной зависимости поля течения от расстояния между частицами. Ян Дхонт показал, что эту проблему можно обойти с помощью пространственного преобразования Фурье. Альтернативный подход к решению этой задачи был предложен Алессио Закконе и его коллегами, который заключается в установке граничного условия непосредственно на расстоянии пограничного слоя, исходя из предположения (в первом порядке приближения) о постоянстве функции парного распределения во внешней области, где преобладает конвекция. Это приводит к приближенной теории скорости сближения двух взаимодействующих коллоидных частиц в линейном поле течения, хорошо согласующейся с полным численным решением. Когда число Пекле значительно превышает единицу, особенность на бесконечном расстоянии исчезает, и метод сопоставленных асимптотических разложений может быть использован для построения полного решения функции парного распределения во всей области.