Введение

Символическая математическая формула
В математике алгебраическое выражение – это выражение, построенное из постоянных алгебраических чисел, переменных и алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с рациональным показателем). Например, 3x² − 2xy + c является алгебраическим выражением. Поскольку извлечение квадратного корня эквивалентно возведению в степень 1/2, следующее также является алгебраическим выражением:

Алгебраическое уравнение – это уравнение, содержащее только алгебраические выражения. В отличие от этого, трансцендентные числа, такие как π и число Эйлера (математическая константа) *e*, не являются алгебраическими, поскольку они не выводятся из целых констант и алгебраических операций. Обычно, π конструируется как геометрическое отношение, а определение *e* требует бесконечного числа алгебраических операций. Рациональное выражение – это выражение, которое можно переписать в виде рациональной дроби, используя свойства арифметических операций (коммутативные и ассоциативные свойства сложения и умножения, дистрибутивное свойство и правила операций с дробями). Иными словами, рациональное выражение – это выражение, которое можно построить из переменных и констант, используя только четыре арифметические операции. Таким образом,

является рациональным выражением, в то время как

не является, то есть это иррациональное выражение. Рациональное уравнение – это уравнение, в котором две рациональные дроби (или рациональные выражения) вида

приравниваются друг к другу. Эти выражения подчиняются тем же правилам, что и дроби. Уравнения можно решить методом перекрестного умножения. Деление на ноль не определено, поэтому любое решение, приводящее к формальному делению на ноль, отбрасывается.

В корнях многочленов

Корни многочленного выражения степени n, или, что эквивалентно, решения многочленного уравнения, всегда могут быть выражены алгебраически, если n < 5 (см. формулу для квадратного уравнения, кубическую функцию и уравнение четвертой степени). Такое решение уравнения называется алгебраическим. Однако теорема Абеля — Руффини утверждает, что алгебраические решения существуют не для всех таких уравнений (а лишь для некоторых), если n ≥ 5.

Переменные

По соглашению, буквы в начале алфавита (например, a) обычно используются для обозначения констант, а буквы в конце алфавита (например, x и y) используются для обозначения переменных. Обычно они пишутся курсивом.

Экспоненты

По общепринятому правилу, члены с наивысшей степенью (показателем степени) записываются слева, например, записывается слева от . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, записывается ). Аналогично, когда показатель степени равен единице (например, записывается ), и когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, записывается , поскольку всегда равно 1).

Алгебраические и другие математические выражения

В таблице ниже обобщается, как алгебраические выражения соотносятся с несколькими другими типами математических выражений по типу содержащихся в них элементов, согласно общепринятым, но не универсальным соглашениям. Рациональное алгебраическое выражение (или рациональная функция) — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде частного от деления двух многочленов, например, x² + 4x + 4. Иррациональное алгебраическое выражение — это выражение, которое не является рациональным, например, .