Введение

В математике, солв-многообразие — это однородное пространство связной солвбельной группы Ли. Его также можно охарактеризовать как факторсвязной солвбельной группы Ли по замкнутой подгруппе. (Некоторые авторы также требуют, чтобы группа Ли была простосвязной или чтобы фактор был компактным.) Особый класс солв-многообразий, нильмногообразий, был введен Анатолием Мальцевым, который доказал первые теоремы о структуре. Свойства общих солв-многообразий аналогичны, но несколько сложнее.

Примеры

Растворимая группа Ли тривиально является растворимым многообразием. Каждая нильпотентная группа разрешима, следовательно, каждое ниль-многообразие является растворимым многообразием. Этот класс примеров включает n-мерные торы и фактор трехмерной вещественной группы Гейзенберга по ее целочисленной подгруппе Гейзенберга. Лента Мёбиуса и бутылка Клейна — это растворимые многообразия, которые не являются ниль-многообразиями. Отображающий тор диффеоморфизма Аносова n-мерного тора является растворимым многообразием. Для этих многообразий справедливы условия Sol, одной из восьми геометрий Турстона.

Свойства

Растворное многообразие диффеоморфно полному пространству векторного расслоения над некоторым компактным растворимым многообразием. Это утверждение было высказано Джорджем Мостоу и доказано Луисом Аусландером и Ричардом Толимиери. Фундаментальная группа произвольного растворного многообразия полициклическая. Компактное растворное многообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой. Фундаментальные группы компактных растворных многообразий могут быть охарактеризованы как расширения групп свободных абелевых групп конечного ранга конечнопорожденными нильпотентными группами, не содержащими торсионных элементов. Каждое растворное многообразие асферично. Среди всех компактных однородных пространств растворные многообразия могут быть охарактеризованы свойствами асферичности и наличия разрешимой фундаментальной группы.

Полная информация

Пусть $\mathfrak{g}$ — вещественная алгебра Ли. Она называется полной алгеброй Ли, если каждое отображение в её сопряжённом представлении является гиперболическим, то есть имеет только вещественные собственные значения. Пусть $G$ — разрешимая группа Ли, алгебра Ли $\mathfrak{g}$ которой полна. Тогда для любой замкнутой подгруппы $H$ группы $G$, разрешимое многообразие $M = G/H$ является полным разрешимым многообразием.