Введение

В экономике лексикографические предпочтения или лексикографический порядок описывают сравнительные предпочтения, при которых агент предпочитает любое количество одного товара (X) любому количеству другого (Y). В частности, если агенту предлагается несколько наборов товаров, он выберет набор, содержащий наибольшее количество X, независимо от количества Y. Только в случае равенства количества X в разных наборах агент начнет сравнивать количество Y в этих наборах. Лексикографические предпочтения расширяют теорию полезности аналогично тому, как нестандартные бесконечно малые расширяют множество действительных чисел. При лексикографических предпочтениях полезность одних товаров пренебрежимо мала по сравнению с полезностью других.

Этимология

Лексикография — это составление словарей, и подразумевает тот факт, что словарь организован в алфавитном порядке: с предельной внимательностью к первой букве каждого слова, а при совпадении – ко второй букве и так далее.

Непрерывность

Лексикографическое отношение предпочтения не является непрерывным отношением. Это происходит потому, что для убывающей сходящейся последовательности выполняется , в то время как её предел (0,0) меньше, чем (0,1).

Представление полезной функции

Отличительной особенностью таких лексикографических предпочтений является то, что многомерная область предпочтений агента не отображается в область действительных чисел. Иными словами, не существует представления отношения предпочтения в виде функции полезности, будь она непрерывной или нет. Лексикографические предпочтения – это классический пример рациональных предпочтений, не представимых функцией полезности. Доказательство: предположим от противного, что существует функция полезности U, представляющая лексикографические предпочтения, например, для двух товаров. Тогда должно выполняться условие U(x,1) > U(x,0), следовательно, интервалы [U(x,0), U(x,1)] должны иметь ненулевую ширину. Более того, поскольку U(x,1) < U(z,1) при x < z, эти интервалы должны быть непересекающимися для всех x. Это невозможно для несчетного множества значений x. Если количество товаров конечно, а объемы могут быть выражены только рациональными числами, то функции полезности существуют, если принять 1/N за величину бесконечно малого, где N достаточно велико для аппроксимации нестандартных чисел. С точки зрения функции полезности, принимающей действительные значения, можно сказать, что полезность Y и Z пренебрежимо мала по сравнению с X, а полезность Z пренебрежимо мала по сравнению с Y. Таким образом, лексикографические предпочтения могут быть представлены функциями полезности, возвращающими нестандартные действительные числа.

Равновесие в странах с лексикографическими преференциями

Если у всех агентов одинаковые лексикографические предпочтения, то общее равновесие не может существовать, поскольку агенты не будут продавать друг другу, пока цена менее предпочтительного товара больше нуля. Но если цена менее востребованного товара равна нулю, то все агенты захотят неограниченное количество этого товара. Достичь равновесия со стандартными ценами невозможно. Полезности бесконечно малы, а цены – нет. Использование бесконечно малых цен решает эту проблему. Лексикографические предпочтения все же могут существовать в условиях общего равновесия. Например, у разных людей разные наборы лексикографических предпочтений, в соответствии с которыми они по-разному оценивают товары. Лексикографические предпочтения есть не у всех, а лишь у некоторых. Лексикографические предпочтения распространяются только на определенное количество товара. Нестандартные (бесконечно малые) равновесные цены обмена для лексикографического порядка можно определить, используя стандартные методы равновесия, но с применением нестандартных действительных чисел в качестве области значений как для полезностей, так и для цен. Все теоремы о существовании цен и равновесия применимы и к случаю нестандартных полезностей, поскольку нестандартные действительные числа образуют консервативное расширение, то есть любая теорема, верная для действительных чисел, может быть расширена на нестандартные действительные числа и останется верной.