Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Распределение вероятности с высокой асимметрией или эксцессом
Probability distribution with high skewness or kurtosis
Распределение с "тяжелыми хвостами" – это распределение вероятности, демонстрирующее высокую асимметрию или эксцесс по сравнению с нормальным или экспоненциальным распределением. В практическом использовании термины "тяжелые хвосты" и "жирные хвосты" иногда являются синонимами; "жирные хвосты" иногда также определяются как подмножество "тяжелых хвостов". Различные научные сообщества предпочитают один из терминов в основном по историческим причинам и могут иметь различные точные определения каждого из них. Распределения с "тяжелыми хвостами" эмпирически встречаются в различных областях: физике, науках о Земле, экономике и политологии. К классу распределений с "тяжелыми хвостами" относятся те, чьи хвосты убывают по степенному закону, что является распространенной точкой отсчета при их использовании в научной литературе. Однако, распределения с "тяжелыми хвостами" также включают другие медленно убывающие распределения, такие как логнормальное.
A fat tailed distribution is a probability distribution that exhibits a large skewness or kurtosis, relative to that of either a normal distribution or an exponential distribution. In common usage, the terms fat tailed and heavy tailed are sometimes synonymous; fat tailed is sometimes also defined as a subset of heavy tailed. Different research communities favor one or the other largely for historical reasons, and may have differences in the precise definition of either. Fat tailed distributions have been empirically encountered in a variety of areas: physics, earth sciences, economics and political science. The class of fat tailed distributions includes those whose tails decay like a power law, which is a common point of reference in their use in the scientific literature. However, fat tailed distributions also include other slowly decaying distributions, such as the log normal.
"Жирные хвосты" и искажения оценки рисков
По сравнению с распределениями с «тяжелыми хвостами», в нормальном распределении события, отклоняющиеся от среднего на пять или более стандартных отклонений («события 5 сигм»), имеют меньшую вероятность, что означает, что экстремальные события в нормальном распределении менее вероятны, чем в распределениях с тяжелыми хвостами. Распределения с тяжелыми хвостами, такие как распределение Коши (и все остальные стабильные распределения, за исключением нормального), имеют «неопределенную сигму» (точнее, неопределенную дисперсию). Следовательно, если данные получены из базового распределения с тяжелыми хвостами, применение модели риска, основанной на нормальном распределении, и оценка сигмы на основе (неизбежно) конечной выборки приведут к занижению истинной степени сложности прогнозирования (и риска). Многие, в частности, Бенуа Мандельбро и Нассим Талеб, отмечали этот недостаток модели нормального распределения и предлагали, что распределения с тяжелыми хвостами, такие как стабильные распределения, часто определяют доходность активов в финансах. Модель ценообразования опционов Блэка — Шоулза основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле имеет тяжелые хвосты, то модель будет недооценивать стоимость опционов, находящихся далеко вне зоны прибыли, поскольку событие в 5 или 7 сигм гораздо более вероятно, чем предсказывает нормальное распределение.
Compared to fat tailed distributions, in the normal distribution, events that deviate from the mean by five or more standard deviations ("5 sigma events") have lower probability, meaning that in the normal distribution extreme events are less likely than for fat tailed distributions. Fat tailed distributions such as the Cauchy distribution (and all other stable distributions with the exception of the normal distribution) have "undefined sigma" (more technically, the variance is undefined). As a consequence, when data arise from an underlying fat tailed distribution, shoehorning in the "normal distribution" model of risk—and estimating sigma based (necessarily) on a finite sample size—would understate the true degree of predictive difficulty (and of risk). Many—notably Benoît Mandelbrot as well as Nassim Taleb—have noted this shortcoming of the normal distribution model and have proposed that fat tailed distributions such as the stable distributions govern asset returns frequently found in finance. The Black–Scholes model of option pricing is based on a normal distribution. If the distribution is actually a fat tailed one, then the model will under price options that are far out of the money, since a 5 or 7 sigma event is much more likely than the normal distribution would predict.