Введение
Размерность поля расширения, рассматриваемого как векторное пространство над базовым полем. В математике, в частности в теории полей, степень расширения поля является грубой мерой "размера" этого расширения. Эта концепция играет важную роль во многих разделах математики, включая алгебру и теорию чисел — и, вообще, в любой области, где поля играют заметную роль.
In mathematics, more specifically field theory, the degree of a field extension is a rough measure of the "size" of the field extension. The concept plays an important role in many parts of mathematics, including algebra and number theory—indeed in any area where fields appear prominently.
Определение и обозначение
Предположим, что E/F – это расширение поля. Тогда E можно рассматривать как векторное пространство над F (полем скаляров). Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения поля и обозначается [E:F]. Степень может быть конечной или бесконечной, и в этом случае поле называется конечным или бесконечным расширением соответственно. Расширение E/F также иногда называют просто конечным, если оно является конечным расширением; это не следует путать с тем, что сами поля являются конечными полями (полями с конечным числом элементов). Степень не следует путать со степенью трансцендентности поля; например, поле Q(X) рациональных функций имеет бесконечную степень над Q, но степень трансцендентности равна лишь 1.
Доказательство формулы в бесконечном случае
В этом случае мы начинаем с базисов uα для L/K и wβ для M/L, где α принадлежит индексирующему множеству A, а β – индексирующему множеству B. Используя совершенно аналогичный аргумент, как и выше, мы получаем, что произведения uαwβ образуют базис для M/K. Эти элементы индексируются декартовым произведением A × B, которое по определению имеет мощность, равную произведению мощностей множеств A и B.
Примеры
Комплексные числа являются расширением поля над полем вещественных чисел со степенью [C: R] = 2, и, следовательно, между ними нет нетривиальных полей. Расширение поля Q(√2, √3), полученное присоединением √2 и √3 к полю Q рациональных чисел, имеет степень 4, то есть [Q(√2, √3): Q] = 4. Промежуточное поле Q(√2) имеет степень 2 над Q; мы заключаем из мультипликативной формулы, что [Q(√2, √3): Q(√2)] = 4/2 = 2. Конечное поле (поле Галуа) GF(125) = GF(53) имеет степень 3 над своим подполем GF(5). В более общем случае, если p – простое число, а n и m – положительные целые числа, причём n делит m, то [GF(pm): GF(pn)] = m/n. Расширение поля C(T)/C, где C(T) – поле рациональных функций над C, имеет бесконечную степень (фактически, это чисто трансцендентное расширение). Это можно увидеть, заметив, что элементы 1, T, T², и т.д. линейно независимы над C. Расширение поля C(T²) также имеет бесконечную степень над C. Однако, если рассматривать C(T²) как подполе C(T), то [C(T): C(T²)] = 2. В более общем случае, если X и Y – алгебраические кривые над полем K, и F : X → Y – сюръективный морфизм между ними степени d, то поля функций K(X) и K(Y) оба имеют бесконечную степень над K, но степень [K(X): K(Y)] оказывается равной d.
The field extension C(T2) also has infinite degree over C. However, if we view C(T2) as a subfield of C(T), then in fact [C(T):C(T2)] = 2. More generally, if X and Y are algebraic curves over a field K, and F : X → Y is a surjective morphism between them of degree d, then the function fields K(X) and K(Y) are both of infinite degree over K, but the degree [K(X):K(Y)] turns out to be equal to d.
Обобщение
Учитывая два кольца с делением E и F, где F содержится в E, и умножение и сложение в F являются ограничением соответствующих операций в E, мы можем рассматривать E как векторное пространство над F двумя способами: при действии скаляров слева, что дает размерность [E:F]l, и при действии скаляров справа, что дает размерность [E:F]r. Эти две размерности не обязаны совпадать. Однако обе размерности удовлетворяют формуле умножения для цепочек колец с делением; приведенное выше доказательство применимо к скалярам, действующим слева, без изменений.