Жорж Матерон: Основоположник геостатистики и математической морфологии

Введение

Жорж Франсуа Поль Мари Матхерон (2 декабря 1930 – 7 августа 2000) – французский математик и инженер-горняк, известный как основатель геостатистики и сооснователь (вместе с Жаном Серрой) математической морфологии. В 1968 году он создал Центр геостатистики и математической морфологии при Парижской горной школе в Фонтенбло. Он известен своими работами по кригингу и математической морфологии. Его основополагающие труды доступны для изучения и ознакомления в онлайн-библиотеке Центра геостатистики в Фонтенбло, Франция.

Начало карьеры

Матерон окончил Политехническую школу, а затем Парижскую школу горного дела, где изучал математику, физику и теорию вероятностей (будучи учеником Поля Леви). С 1954 по 1963 год он работал во Французской геологической службе в Алжире и Франции, и испытал влияние работ Криге, Сихеля и де Вижа, представлявших южноафриканскую школу, по изучению золотых месторождений Витватерсранда. Это влияние подтолкнуло его к разработке ключевых концепций теории оценки ресурсов, которую он назвал геостатистикой.

Геостатистика

Matherons [Formule des Minerais Connexes] стала его Статистической запиской № 1. В этой статье от 25 ноября 1954 года Матерон вывел степень ассоциативной зависимости между содержанием свинца и серебра в образцах керна. В своем «Ректификативе» от 13 января 1955 года он пересмотрел среднее арифметическое содержание свинца и серебра, поскольку длина его образцов керна варьировалась. Он действительно вывел средневзвешенные по длине содержания свинца и серебра, но не смог вывести дисперсии этих средневзвешенных значений. Он также не вывел степень ассоциативной зависимости между содержанием металлов в упорядоченных образцах керна как меру пространственной зависимости между упорядоченными образцами керна. Он не раскрывал свой первичный набор данных и работал в основном с символами, а не с реальными измеренными значениями, такими как результаты анализов на свинец и серебро в образцах керна Матерона. Его работа «Interprétations des corrélations entre variables aléatoires lognormales» от 29 ноября 1954 года была обозначена как Статистическая записка № 2. В этой статье Матерон исследовал логнормальные переменные и заложил основу для статистики, основанной на символах. Первичные данные позволили бы ему оценить, отклоняются ли содержания свинца и серебра от логнормального распределения или проявляют ли пространственную зависимость вдоль образцов керна в его скважине. Матерон впервые использовал термин «krigeage» (Kriging) в своей работе 1960 года «Krigeage d’un Panneau Rectangulaire par sa Périphérie». В этой Геостатистической записке № 28 Матерон вывел k*, свой оценщик и предшественник кригинговой оценки или кригингового оценщика. В математической статистике k* Матерона – это средневзвешенное по длине содержание в одной панели его набора. То, что Матерон не смог вывести в этой статье, – это var(k*), дисперсию его оценщика. Матерон представил свою стационарную случайную функцию на первом коллоквиуме по геостатистике в США. Он обратился к броуновскому движению, чтобы предположить непрерывность своего интеграла Римана, но не объяснил, что общего между броуновским движением и месторождениями руды. В отличие от Джона фон Неймана в 1941 году и Андерса Халда в 1952 году, Матерон никогда не работал с суммами Римана. Средневзвешенное по расстоянию от множества измеренных значений, определенных в образцах, отобранных в точках с различными координатами в пространстве выборки, вывел не профессор доктор Жорж Матерон, а доктор Фредерик П. Агтерберг. Агтерберг не выводил дисперсию этой функции. Матерон действительно выводил средневзвешенные по длине содержания в образцах керна и рудных блоках, но не выводил дисперсию этих функций. Со временем средневзвешенное по длине содержание для трехмерного блока Матерона было заменено средневзвешенным по расстоянию содержанием для нулевой точки Агтерберга. Оба центральных значения превратились в почетные кригинговые оценки или оценщики. Бесконечное множество нулевых точек Агтерберга помещается в любой рудный блок, вдоль любой скважины или внутри любой единицы отбора проб или пространства выборки. Блочные оценки Матерона и точечные оценки Агтерберга уникальны, поскольку обе являются функциями без дисперсии.

Matheron’s [Formule des Minerais Connexes] became his Note Statistique No 1. In this paper of 25 November 1954, Matheron derived the degree of associative dependence between lead and silver grades of core samples. In his Rectificatif of 13 January 1955, he revised the arithmetic mean lead and silver grades because his core samples varied in length. He did derive the length weighted average lead and silver grades but failed to derive the variances of his weighted averages. Neither did he derive the degree of associative dependence between metal grades of ordered core samples as a measure for spatial dependence between ordered core samples. He did not disclose his primary data set and worked mostly with symbols rather than real measured values such test results for lead and silver in Matheron's core samples. Matheron's Interprétations des corrélations entre variables aléatoires lognormales of 29 November 1954 was marked Note statistisque No 2. In this paper, Matheron explored lognormal variables and set the stage for statistics by symbols. Primary data would have allowed him to assess whether or not lead and silver grades departed from the lognormal distribution, or displayed spatial dependence along core samples in his borehole. Matheron coined the eponym krigeage (Kriging) for the first time in his 1960 Krigeage d’un Panneau Rectangulaire par sa Périphérie. In this Note géostatistique No 28, Matheron derived k*, his estimateur and a precursor to the kriged estimate or kriged estimator. In mathematical statistics, Matheron’s k* is the length weighted average grade of a single panneau in his set. What Matheron failed to derive in this paper was var(k*), the variance of his estimateur. Matheron presented his Stationary Random Function at the first colloquium on geostatistics in the USA. He called on Brownian motion to conjecture the continuity of his Riemann integral but did not explain what Brownian motion and ore deposits have in common. Matheron, unlike John von Neumann in 1941 and Anders Hald in 1952, never worked with Riemann sums. It was not Professor Dr Georges Matheron but Dr Frederik P Agterberg who derived the distance weighted average of a set of measured values determined in samples selected at positions with different coordinates in a sample space. What Agterberg did not do was derive the variance of this function. Matheron did indeed derive length weighted average grades of core samples and ore blocks but did not derive the variance of these functions. In time, the length weighted average grade for Matheron's three dimensional block grade was replaced with the distance weighted average grade for Agterberg's zero dimensional point. Both central values turned into honorific kriged estimates or kriged estimators. An infinite set of Agterberg's zero dimensional points fits within any ore block, along any borehole, or inside any sampling unit or sample space. Matheron's block grades and Agterberg's point grades are unique because both are functions without variances.

Математическая морфология

В 1964 году Матерон руководил докторской диссертацией Жана Серры, посвященной количественному определению свойств руды железного месторождения Лотарингии. Серра предложил идею использования структурирующих элементов для анализа, что привело к концепции преобразования «попадание – промах». Теоретический анализ этого преобразования побудил Матерона вывести и исследовать концепции эрозии, дилатации, открытия и закрытия, которые впоследствии стали известны как основные морфологические операторы. Он также разработал инструмент для гранулометрии, то есть вычисления «распределения по размерам», где он математически характеризует понятие размера. В декабре 1964 года Матерон и Серра вместе с Филиппом Формери назвали этот подход математической морфологией. С тех пор она развилась в теорию и метод, применяемые в широком спектре задач обработки изображений и исследуемые во всем мире (основная статья: Математическая морфология). Матерон продолжал вносить вклад в математическую морфологию на протяжении многих лет, его наиболее известным вкладом является теория морфологической фильтрации, которую он разработал совместно с Серрой в 1980-х годах. Международная ассоциация математических геонаук (IAMG) учредила лекцию имени Жоржа Матерона. Эта награда названа в честь Жоржа Матерона. Лекторы Матерона будут отбираться небольшой комиссией под председательством вице-президента IAMG. Лекции Жоржа Матерона будут проходить ежегодно во время конференций IAMG и международных геологических конгрессов. Каждый год IAMG выбирает лектора Жоржа Матерона – ученого, доказавшего свои исследовательские способности в области пространственной статистики или математической морфологии. Начиная с IAMG’2006 в Льеже, Жаном Серрой, первым удостоенным этой награды в 2006 году, была прочитана первая лекция имени Жоржа Матерона.

Центр геостатистики и математической морфологии

В 1968 году Парижская школа шахт создала Центр математической морфологии, расположенный в Фонтенбло, Франция, и назначила Матерона его первым директором. В 1979 году центр был переименован в Центр геостатистики и математической морфологии, а в 1986 году он был разделен на два отдельных центра: Центр геостатистики под руководством Матерона и Центр математической морфологии под руководством Серра.

Книги Матерона

Traité de géostatistique appliquée, Editions Technip, Франция, 1962–63, где Матерон заложил основы линейной геостатистики: вариографию, дисперсии оценок и дисперсию, а также кригинг. Его докторская диссертация: «Регионализованные переменные и их оценка: применение теории случайных функций к естественным наукам», опубликованная в 1965 году издательством Masson, Париж. «Элементы теории пористых сред», Masson, Париж, 1967, включающая работы Матерона по гидродинамике. «Теория регионализованных переменных и ее применение», 1971, – фундаментальный учебник по геостатистике для студентов и исследователей. Издание 2019 года издательства Oxford University Press: https://global.oup.com/academic/product/matherons-theory-of-regionalised-variables-9780198835660?cc=es&lang=en&. «Случайные множества и интегральная геометрия», John Wiley & Sons, 1975, демонстрирующая его вклад в теорию случайных множеств. «Оценка и выбор: эссе о вероятности на практике», Springer, 1989, – более современный справочник по геостатистике.