Введение

В линейной алгебре альтернативная матрица — это матрица, полученная путем применения конечного списка функций к фиксированному набору входных данных. Альтернативный определитель — это определитель квадратной альтернативной матрицы. В общем случае, если $f_i$ — функции из множества $S$ в поле $F$, и $x_1, \dots, x_n \in S$, то альтернативная матрица имеет размер $n \times n$ и определяется как

или, более компактно, (некоторые авторы используют транспонированную матрицу). Примеры альтернативных матриц включают матрицы Вандермонда, для которых $f_i(x) = x^i$, и матрицы Мура, для которых $f_i(x) = e^{x_i}$.

Свойства

Альтернативный элемент может быть использован для проверки линейной независимости функций в функциональном пространстве. Например, пусть , и выберите Тогда альтернативный элемент является матрицей , а альтернативный определитель равен . Следовательно, M обратима, и векторы образуют базис для своего линейного пространства: в частности, и линейно независимы. Линейная зависимость столбцов альтернативного элемента не означает, что функции линейно зависимы в функциональном пространстве. Например, пусть , и выберите Тогда альтернативный определитель равен 0, но мы уже видели, что и линейно независимы. Несмотря на это, альтернативный элемент может быть использован для нахождения линейной зависимости, если уже известно, что она существует. Например, из теории разложения на простейшие дроби мы знаем, что существуют действительные числа A и B, для которых, выбирая , , и , мы получаем альтернативный элемент . Следовательно, находится в нулевом пространстве матрицы: то есть, перенося в другую сторону уравнения, получаем разложение на простейшие дроби. Если и для любого , то альтернативный определитель равен нулю (поскольку строка повторяется). Если и функции — все многочлены, то делит альтернативный определитель для всех . В частности, если V — матрица Вандермонда, то делит такие полиномиальные альтернативные определители. Поэтому отношение является многочленом, называемым биальтернантным многочленом. Многочлен Шура классически определяется как биальтернантный многочлен .

Приложения

Альтернирующие матрицы используются в теории кодирования при построении альтернирующих кодов.