Кіріспе
Сызықтық алгебрада, ауыспалы матрица — берілген кіріс бағанасының әрбір элементіне функциялардың шекті тізімін қолдану арқылы құрастырылған матрица. Алмасушы детерминант — квадратты ауыспалы матрицаның детерминанты. Егер функциялар жиыннан өріске бейнеленетін болса, онда ауыспалы матрицаның өлшемі болады және ол келесідей анықталады:
немесе, ықшамдатылған түрде (кейбір авторлар жоғарыда көрсетілген матрицаның транспозициясын пайдаланады). Ауыспалы матрицалардың мысалдарына Вандермонд матрицасы, онда және Мур матрицасы, онда жатады.
Қасиеттері
Алтернативті функция кеңістігіндегі функциялардың сызықтық тәуелсіздігін тексеру үшін қолданылуы мүмкін. Мысалы, берілген және таңдағанда, алтернативті матрица болып табылады, ал алтернативті детерминант болып табылады. Сондықтан M инвертирленеді және векторлар олардың жабатын жиынының негізін құрайды: атап айтқанда, және сызықтық тәуелсіз. Алтернативті матрицаның бағаналарының сызықтық тәуелділігі функциялардың функция кеңістігінде сызықтық тәуелді екенін білдірмейді. Мысалы, және таңдағанда, алтернативті детерминант 0-ге тең, бірақ біз бұрыннан-ақ көріп отырмыз және сызықтық тәуелсіз. Дегенмен, егер сызықтық тәуелділік бар екені белгілі болса, алтернативті оны табу үшін қолданылуы мүмкін. Мысалы, бөлшектер теориясынан A және B нақты сандары бар екенін білеміз, олар үшін , , және таңдағанда, алтернативті матрицаны аламыз. Сондықтан, матрицаның ядролық кеңістігінде: яғни, теңдеудің екінші жағына көшіргенде бөлшектерге жіктеу шығады. Егер және кез келген үшін , онда алтернативті детерминант нөлге тең (бір қатар қайталанғандықтан). Егер функциялардың барлығы полиномдар болса, онда барлық үшін алтернативті детерминантты бөледі. Атап айтқанда, егер V Вандермонд матрицасы болса, онда ол мұндай полиномдық алтернативті детерминанттарды бөледі. Сондықтан, қатынас биалтернативті деп аталатын полином болып табылады. Шур полиномы классикалық түрде полиномдардың биалтернативасы ретінде анықталады.
If and for any , then the alternant determinant is zero (as a row is repeated). If and the functions are all polynomials, then divides the alternant determinant for all In particular, if V is a Vandermonde matrix, then divides such polynomial alternant determinants. The ratio is therefore a polynomial in called the bialternant. The Schur polynomial is classically defined as the bialternant of the polynomials .
Қолданбалар
Алтернативті матрицалар кодтау теориясында альтернативті кодтарды құру үшін қолданылады.