Введение

В математике формула Крофтона, названная в честь Моргана Крофтона (1826–1915) (также формула Коши — Крофтона), — это классический результат интегральной геометрии, связывающий длину кривой с математическим ожиданием числа пересечений этой кривой со "случайной" прямой.

Эскиз испытания

Обе стороны формулы Крофтона аддитивны относительно конкатенации кривых, поэтому достаточно доказать формулу для одного отрезка прямой. Поскольку правая часть не зависит от положения отрезка прямой, она должна равняться некоторой функции длины отрезка. Так как, опять же, формула аддитивна относительно конкатенации отрезков прямой, интеграл должен быть равен константе, умноженной на длину отрезка прямой. Остается лишь определить коэффициент 1/4, что легко сделать, вычислив обе части, когда γ — единичная окружность. Доказательство обобщенного случая проводится аналогично.

Формула Пуанкаре для пересекающихся кривых

Пусть будет евклидова группа на плоскости. Она может быть параметризована как , так что каждый определяет некоторое преобразование: поворот на угол против часовой стрелки вокруг начала координат, затем сдвиг на Тогда инвариантна относительно действия на себя, таким образом, мы получили кинематическую меру на .
Для заданных гладких простых (не самопересекающихся) кривых на плоскости, тогда доказательство проводится аналогично вышеописанному. Сначала заметим, что обе стороны формулы аддитивны по , следовательно, формула верна с неопределённой мультипликативной постоянной. Затем явно вычислим эту постоянную, используя самый простой возможный случай: две окружности радиуса 1.

Другие формы

Пространство ориентированных линий является двойным покрытием пространства неориентированных линий. Формула Крофтона часто формулируется в терминах соответствующей плотности в последнем пространстве, где числовой коэффициент равен не 1/4, а 1/2. Поскольку выпуклая кривая пересекает почти каждую прямую либо дважды, либо не пересекает вовсе, неориентированную формулу Крофтона для выпуклых кривых можно сформулировать без числовых коэффициентов: мера множества прямых, пересекающих выпуклую кривую, равна её длине. Та же формула (с теми же мультипликативными константами) применима к гиперболическим и сферическим пространствам, когда кинематическая мера соответствующим образом нормируется. Доказательство в сущности остаётся тем же. Формула Крофтона обобщается на любую риманову поверхность или, в более общем случае, на двумерные финслеровы многообразия; интеграл тогда берется с использованием естественной меры на пространстве геодезических. Существуют более общие формы, такие как кинематическая формула Черна.