Введение

Граница касательной линии в точке, стремящейся к бесконечности.

В аналитической геометрии асимптота (/æ//s//ɪ//m//p//t//oʊ//t/) кривой – это линия, такая, что расстояние между кривой и линией стремится к нулю, когда одна или обе координаты x или y стремятся к бесконечности. В проективной геометрии и связанных с ней контекстах, асимптота кривой – это прямая, касающаяся кривой в точке на бесконечности. Слово «асимптота» происходит от греческого ἀσύμπτωτος (asumptōtos), что означает «не совпадающий», образовано от ἀ (приставка, означающая отрицание) + σύν (sin – «вместе») + πτωτ ός (ptōtos – «падающий»). Термин был введен Аполлонием Пергским в его работе по коническим сечениям, но, в отличие от современного значения, он использовал его для обозначения любой прямой, не пересекающей данную кривую. Существуют три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Для кривых, заданных графиком функции y = f(x), горизонтальные асимптоты – это горизонтальные прямые, к которым график функции приближается при x, стремящемся к +∞ или −∞. Вертикальные асимптоты – это вертикальные прямые, вблизи которых функция неограниченно возрастает. Наклонная асимптота имеет ненулевой, но конечный наклон, к которому график функции приближается при x, стремящемся к +∞ или −∞. В более общем смысле, одна кривая является криволинейной асимптотой другой (в отличие от линейной асимптоты), если расстояние между двумя кривыми стремится к нулю при их стремлении к бесконечности, хотя термин «асимптота» сам по себе обычно зарезервирован для линейных асимптот. Асимптоты дают информацию о поведении кривых на больших расстояниях, и определение асимптоты функции является важным шагом при построении её графика. Изучение асимптот функций в широком смысле является частью асимптотического анализа.

Введение

Идея о том, что кривая может произвольно приближаться к прямой, не становясь при этом ею, может показаться противоречащей повседневной интуиции. Изображения прямой и кривой в виде линий на бумаге или пикселей на экране компьютера имеют ненулевую ширину. Поэтому, если их достаточно сильно удлинить, они, кажется, сольются, по крайней мере, настолько, насколько это может различить глаз. Однако это физические представления соответствующих математических объектов; прямая и кривая – идеализированные понятия, ширина которых равна 0 (см. «Прямая»). Следовательно, для понимания идеи асимптоты требуется усилие разума, а не опыт. Рассмотрим график функции, представленный в этом разделе. Координаты точек на кривой имеют вид , где x – число, отличное от 0. Например, на графике находятся точки (1, 1), (2, 0.5), (5, 0.2), (10, 0.1). По мере того как значения x становятся всё больше и больше, например, 100, 1000, 10000, отодвигая их далеко вправо от иллюстрации, соответствующие значения y, 0.01, 0.001, 0.0001, становятся бесконечно малыми по отношению к показанному масштабу. Но каким бы большим ни становился x, его обратная величина никогда не равна 0, поэтому кривая никогда не касается оси x. Аналогично, по мере того как значения x становятся всё меньше и меньше, например, 0.01, 0.001, 0.0001, делая их бесконечно малыми по отношению к показанному масштабу, соответствующие значения y становятся всё больше и больше: 100, 1000, 10000. Таким образом, кривая неограниченно простирается вверх, приближаясь к оси y. Следовательно, и ось x, и ось y являются асимптотами кривой. Эти идеи лежат в основе понятия предела в математике, и эта связь будет рассмотрена более подробно ниже.

Асимптоты функций

Асимптоты, наиболее часто встречающиеся при изучении математического анализа, соответствуют кривым вида 1/y = ƒ(x). Их можно вычислить, используя пределы, и классифицировать на горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты в зависимости от их направления. Горизонтальные асимптоты – это горизонтальные прямые, к которым график функции стремится при x, стремящемся к +∞ или −∞. Как следует из названия, они параллельны оси x. Вертикальные асимптоты – это вертикальные прямые (перпендикулярные оси x), вблизи которых функция неограниченно возрастает. Наклонные асимптоты – это диагональные прямые, такие что разность между кривой и прямой стремится к нулю при x, стремящемся к +∞ или −∞.

Элементарные методы определения асимптотов

Асимптоты многих элементарных функций можно найти без непосредственного применения пределов (хотя выведение таких методов обычно использует пределы).

Поперечные асимптоты рациональных функций

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на одну больше степени знаменателя, функция имеет наклонную асимптоту. Эта асимптота – это многочлен, получаемый в результате деления числителя на знаменатель. Это происходит потому, что при делении дроби получается линейный член и остаток. Например, рассмотрим функцию, показанную справа. При увеличении значения x функция f приближается к асимптоте y = x. Это связано с тем, что другой член, 1/(x+1), стремится к 0. Если степень числителя больше степени знаменателя более чем на 1, и знаменатель не является делителем числителя, то остаток будет ненулевым, и он будет стремиться к нулю при увеличении x, но частное не будет линейным, и функция не будет иметь наклонной асимптоты.

Асимптоты и наброски кривых

Асимптоты используются при построении графиков функций. Асимптота служит направляющей линией, показывающей поведение кривой при стремлении к бесконечности. Для получения более точных приближений кривой также используются криволинейные асимптоты, хотя термин "асимптотическая кривая" представляется более предпочтительным.