Введение

В математике спектральная последовательность Адамса — это спектральная последовательность, введенная для вычисления стабильных гомотопических групп топологических пространств. Как и все спектральные последовательности, она является вычислительным инструментом, связывающим теорию гомологий с тем, что сейчас называется стабильной теорией гомотопии. Это переформулировка и расширение техники, известной как "уничтожение гомотопических групп", применявшейся французской школой Анри Картана и Жана Пьера Серра, с использованием гомологической алгебры.

Мотивация

Для всего ниже, раз и навсегда, фиксируем простое число p. Все пространства считаются CW-комплексами. Обычные когомологические группы понимаются как означающие… Основная цель алгебраической топологии – попытаться понять множество всех отображений, с точностью до гомотопии, между произвольными пространствами X и Y. Это чрезвычайно амбициозная задача: в частности, когда X = Sⁿ, эти отображения образуют n-ю гомотопическую группу Y. Более разумная (но всё ещё очень сложная!) цель – понять множество отображений (с точностью до гомотопии), которые остаются после многократного применения функтора суспензий. Мы называем это множеством стабильных отображений из X в Y. (Это отправная точка теории стабильных гомотопий; более современные подходы к этой теме начинаются с концепции спектра. Оригинальные работы Адамса не использовали спектры, и мы избегаем дальнейшего упоминания о них в этом разделе, чтобы сохранить материал максимально элементарным.) Оказывается, это множество является абелевой группой, и если X и Y – «разумные» пространства, то эта группа конечно порождена. Чтобы выяснить, что это за группа, мы сначала выделяем простое число p. В попытке вычислить p-кручение этого множества, мы обращаемся к когомологии: отображаем [X, Y] в Hom(H*(Y), H*(X)). Это хорошая идея, поскольку когомологические группы обычно поддаются вычислению. Ключевая идея заключается в том, что H*(X) – это не просто градуированная абелева группа, и даже не градуированное кольцо (благодаря произведению по чашке). Представимость функтора когомологий делает H*(X) модулем над алгеброй его стабильных когомологических операций, алгеброй Стинрода A. Рассматривая H*(X) как A-модуль, мы забываем некоторую структуру произведения по чашке, но выигрыш огромен: Hom(H*(Y), H*(X)) теперь можно рассматривать как A-линейное отображение! Априори, A-модуль не видит в [X, Y] ничего больше, чем мы видели, когда рассматривали его как отображение векторных пространств над Fp. Но теперь мы можем рассмотреть производные функторы Hom в категории A-модулей, ExtAr(H*(Y), H*(X)). Они получают вторую градуировку от градуировки на H*(Y), и таким образом мы получаем двумерную «страницу» алгебраических данных. Группы Ext предназначены для измерения несохранения алгебраической структуры функтором Hom, поэтому это разумный шаг. Суть всего этого в том, что A настолько велика, что вышеуказанная «страница» когомологических данных содержит всю информацию, необходимую для восстановления p-первичной части [X, Y], то есть гомотопических данных. Это большое достижение, поскольку когомология была разработана для вычислений, а гомотопия – для описания мощных инвариантов. Таково содержание спектральной последовательности Адамса.

Спектральная последовательность для стабильных гомотопических групп сфер

Например, если мы выберем оба спектра равными сферическому спектру, то спектральная последовательность Адамса обладает свойством сходимости, предоставляя технический инструмент для вычисления стабильных гомотопических групп сфер. Оказывается, что многие из первых членов можно вычислить явно, используя только алгебраическую информацию (стр. 23–25). Также заметим, что мы можем переписать , таким образом, страница равна . Мы приводим эту информацию для вычисления ниже.

Выдержки из резолюции

Учитывая резолюцию Адамса, мы имеем условия для градуированных групп гомоморфизмов. Тогда эту страницу можно представить так: степень элемента можно интерпретировать как "глубину", на которую мы опускаемся в резолюции Адамса, прежде чем найти генераторы.

Расчеты

Сама по себе последовательность не является алгоритмическим инструментом, но может быть использована для решения задач в отдельных случаях.

Оценка дифференциала

Дифференциал Адамса всегда сдвигается на 1 влево и вверх, то есть, .

Примеры с спектрами Эйленберга и Маклейна

Некоторые из самых простых вычислений выполняются со спектрами Эйленберга — Маклейна, такими как и Для первого случая у нас есть страница, дающая сжатую спектральную последовательность, следовательно, это можно переписать как страница. Для второго случая заметим, что существует последовательность кофибров, которая в итоге приводит к расщеплению в когомологиях, то есть в модулях. Тогда страница спектральной последовательности может быть прочитана как. Ожидаемая страница равна. Единственный способ для этой спектральной последовательности сойтись к этой странице — это наличие нетривиальных дифференциалов, поддерживаемых на каждом элементе с оценкой Адамса .

Другие применения

Первоначальное применение спектральной последовательности Адамса заключалось в первом доказательстве проблемы инварианта Хопфа 1: допускает структуру алгебры делений только для n = 1, 2, 4 или 8. Позже он нашёл гораздо более короткое доказательство, используя операции кохомологии в K-теории. Теорема об изоморфизме Тома связывает дифференциальную топологию со стабильной теорией гомотопий, и именно здесь спектральная последовательность Адамса нашла своё первое значительное применение: в 1960 году Джон Милнор и Сергей Новиков использовали её для вычисления кольца коэффициентов комплексного кобордизма. В дальнейшем Милнор и С. Т. С. Уолл использовали спектральную последовательность для доказательства гипотезы Тома о структуре ориентированного кольца кобордизма: два ориентированных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда их числа Понтрягина и числа Стифеля — Уитни совпадают.

Стабильные гомотопические группы сфер

Используя спектральную последовательность выше для , мы можем вычислить несколько термов явно, получая некоторые из первых стабильных гомотопических групп сфер. Для этого необходимо рассмотреть страницу с. Это можно сделать, сначала рассмотрев разрешение Адамса. Поскольку находится в степени , у нас есть сюръекция, где у есть генератор в степени , обозначаемый . Ядро состоит из всех элементов для допустимых мономов, порождающих , следовательно, у нас есть отображение, и мы обозначаем каждый из генераторов, отображающихся в прямую сумму, как , а остальные генераторы как для некоторого . Например, заметим, что последние два элемента отображаются в один и тот же элемент, что следует из соотношений Адема. Кроме того, в ядре есть элементы, такие как , поскольку из-за соотношения Адема. Мы называем генератор этого элемента в . Мы можем применить тот же процесс и получить ядро, разрешить его и так далее. Когда мы это сделаем, мы получим страницу, которая выглядит так, которую можно расширить с помощью компьютера до степени с относительной легкостью. Используя найденные генераторы и соотношения, мы можем вычислить страницу с относительной легкостью. Иногда теоретики гомотопии предпочитают переупорядочивать эти элементы, используя горизонтальный индекс для обозначения , а вертикальный индекс для обозначения , получая другой тип диаграммы для страницы 21. Более подробная информация представлена на диаграмме выше.

Обобщения

Спектральная последовательность Адамса — Новикова является обобщением спектральной последовательности Адамса, в которой обычная кохомология заменяется на обобщённую теорию кохомологий, часто комплексный бордизм или кохомологии Брауна — Петерсона. Для этого требуются знания об алгебре стабильных операций кохомологий для рассматриваемой теории кохомологий, но это позволяет проводить вычисления, которые невозможно выполнить с помощью классической спектральной последовательности Адамса.