Введение

В математике, частное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, содержащее только первые производные неизвестной функции от n переменных. Уравнение имеет вид

Такие уравнения возникают при построении характеристических поверхностей для гиперболических частных дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении, в некоторых геометрических задачах и в простых моделях газовой динамики, решение которых связано с методом характеристик. Если найдено семейство решений частного дифференциального уравнения первого порядка, то дополнительные решения можно получить, строя огибающие решений в этом семействе. В смежной процедуре общие решения могут быть получены интегрированием семейств обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общее решение и полный интеграл

Общее решение уравнения в частных производных первого порядка – это решение, содержащее произвольную функцию. Однако решение уравнения в частных производных первого порядка, содержащее столько же произвольных констант, сколько независимых переменных, называется полным интегралом. Следующее n-параметрическое семейство решений

является полным интегралом, если дальнейшее обсуждение типов интегралов основано на учебнике «Трактат о дифференциальных уравнениях» (глава IX, 6-е издание, 1928) Эндрю Форсайта.

Полный интеграл

Решения описываются относительно простым способом в двух или трех измерениях, что позволяет тривиально распространить ключевые понятия на более высокие размерности. Общее дифференциальное уравнение первого порядка в трех измерениях имеет вид

где. Пусть будет полным интегралом, содержащим три произвольные константы. Из него мы можем получить три соотношения посредством дифференцирования.

Вместе с полным интегралом, вышеуказанные три соотношения можно использовать для исключения трех констант и получения уравнения (исходного дифференциального уравнения), связывающего. Следует отметить, что исключение констант, приводящее к дифференциальному уравнению, не обязательно является единственным, то есть два различных уравнения могут привести к одному и тому же полному интегралу, например, исключение констант из соотношения приводит к и .

Одиночный интеграл

Сингулярный интеграл получается, когда. В этом случае исключение из работает, если.

Три уравнения можно использовать для решения трех неизвестных. Решение, полученное путем исключения таким образом, приводит к так называемым сингулярным интегралам.

Специальный интеграл

Обычно большинство интегралов попадают в три категории, определенные выше, но может случиться, что решение не соответствует ни одному из трех упомянутых типов интегралов. Такие решения называются специальными интегралами. Решение, удовлетворяющее частному дифференциальному уравнению, считается специальным интегралом, если мы не можем однозначно определить его из следующего набора уравнений.

Если мы можем однозначно определить решение из вышеуказанного набора уравнений, то оно окажется одним из трех интегралов, описанных ранее.