Кіріспе
Математикада бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеу – n айнымалының белгісіз функциясының тек бірінші туындыларын ғана қамтитын бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Теңдеу мына түрде келеді.
Мұндай теңдеулер гиперболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін сипаттамалық беттер құрастыруда, вариациялық есептеулерде, кейбір геометриялық есептерде және газ динамикасының қарапайым модельдерінде кездеседі, олардың шешімі сипаттамалық әдіспен табылады. Егер бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеудің шешімдер отбасы табылып, онда осы отбасының шешімдерінің қабықшаларын (конверттерін) құру арқылы қосымша шешімдер алуға болады. Байланысты процедура бойынша, қарапайым дифференциалдық теңдеулер отбасын интеграциялау арқылы жалпы шешімдер алуға болады.
of a single first order partial differential equation can be found, then additional solutions may be obtained by forming envelopes of solutions in that family. In a related procedure, general solutions may be obtained by integrating families of ordinary differential equations.
Жалпы шешім және толық интеграл
Бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі – кездейсоқ функцияны қамтитын шешім. Алайда, тәуелсіз айнымалылар санына тең кездейсоқ тұрақтылар саны бар бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеудің шешімі толық интеграл деп аталады. Төмендегі интеграл түрлері туралы талқылаулар Эндрю Форсайттың «Дифференциалдық теңдеулер туралы трактат» (IX тарау, 6-шы басылым, 1928) оқулығына негізделген. Келесі n параметрлік шешімдер отбасы толық интеграл болып табылады.
is a complete integral if The below discussions on the type of integrals are based on the textbook A Treatise on Differential Equations (Chaper IX, 6th edition, 1928) by Andrew Forsyth.
Толық интеграл
Шешімдер екі немесе үш өлшемде салыстырмалы түрде қарапайым түрінде сипатталған, соның арқасында негізгі түсініктер жоғары өлшемдерге оңай кеңейтіледі. Жалпы, үш өлшемдегі бірінші реттік дербес дифференциалдық теңдеу мына түрде жазылады:
мұндағы . Егер толық интеграл болсын, ол үш кездейсоқ тұрақтыны қамтиды. Осыдан дифференциалдау арқылы үш қатынас алуға болады.
Толық интегралмен қатар, жоғарыдағы үш қатынасты үш тұрақтыны жою үшін және (түпнұсқа дербес дифференциалдық теңдеу) теңдеуін алу үшін пайдалануға болады. Тұрақтыларды жою арқылы дербес дифференциалдық теңдеуге жету әрқашан бірдей нәтиже бермейді, яғни екі түрлі теңдеу бірдей толық интегралға әкелуі мүмкін. Мысалы, қатынасынан тұрақтыларды жою және теңдеулерін береді.
Бірегей интеграл
Дара интеграл, егер жағдайында, -ны -дан шығару жұмыс істейді.
Осы үш теңдеуді үш белгісізің шешуге болады. Осылайша, -ны шығару арқылы алынған шешімдер дара интегралдар деп аталады.
Арнайы интеграл
Көбінесе интегралдардың көпшілігі жоғарыда аталған үш санатқа жатады, бірақ шешім жоғарыдағы үш түрдің ешқайсысына да сәйкес келмеуі мүмкін. Мұндай шешімдер арнайы интегралдар деп аталады. Егер берілген дифференциал теңдеуді қанағаттандыратын қатысты, төмендегі теңдеулерден анықтау мүмкін болмаса, ол арнайы интеграл деп есептеледі.
Егер берілген теңдеулер жиынтығынан анықтауға мүмкіндік болса, онда ол бұрын сипатталған үш интегралдың бірі болып шығады.