Введение
В алгебре, чисто неразделимое расширение полей - это расширение k K полей характеристики p > 0, при котором каждый элемент K является корнем уравнения формы xq = a, при этом q является степенью p и a в k. Чисто неразделимые расширения иногда называют радикальными расширениями, которые не следует путать с аналогичным звучанием, но более общим понятием радикальных расширений.
Чисто неразделимые расширения
Алгебраическое расширение является чисто неразделимым расширением, если и только если для каждого , минимальный полином над F не является разделяемым полиномом. Если F - любое поле, тривиальное расширение является чисто неразделимым; для того, чтобы поле F обладало нетривиальным чисто неразделимым расширением, оно должно быть несовершенным, как описано в вышеуказанном разделе. Известно несколько эквивалентных и более конкретных определений понятия чисто неразделимого расширения. Если p - алгебраическое расширение с (не нулевой) простейшей характеристикой p, то следующие эквиваленты: E - чисто неразделимое по F. Для каждого элемента , существует такое, что Каждый элемент E имеет минимальный полином по F формы для какого-то целого числа и какого-то элемента. Из вышеуказанных эквивалентных характеристик следует, что если (для F поля простейшей характеристики) такое, что для какого-то целого числа , то E - чисто неразделимое по F. (Для этого обратите внимание, что множество всех x такого, что для некоторых образует поле; поскольку это поле содержит и F, оно должно быть E, и по условию 2 выше, должно быть чисто неразделимым.) Если F - несовершенное поле с простым значением p, выберите такое, чтобы a не была п-й степенью в F, и пусть f ((X) = Xp − a. Тогда f не имеет корня в F, и поэтому, если E является разделяющим полем для f над F, можно выбрать с In в частности, и по свойству, указанному в пункте непосредственно выше, следует, что это нетривиальное чисто нераздельное расширение (на самом деле , и поэтому автоматически является чисто нераздельным расширением). Чисто неразделимые расширения действительно встречаются в природе; например, они встречаются в алгебраической геометрии над полями с первоочередными характеристиками. Если K - поле характеристики p, и если V - алгебраическое разнообразие над K измерения больше нуля, поле функции K ((V) является чисто неразделимым расширением над подполем K ((V) p степеней p (это следует из условия 2 выше). Такие расширения происходят в контексте умножения на p на эллиптической кривой на конечном поле характеристики p.
E is purely inseparable over F.
For each element , there exists such that Each element of E has minimal polynomial over F of the form for some integer and some element
It follows from the above equivalent characterizations that if (for F a field of prime characteristic) such that for some integer , then E is purely inseparable over F. (To see this, note that the set of all x such that for some forms a field; since this field contains both and F, it must be E, and by condition 2 above, must be purely inseparable.) If F is an imperfect field of prime characteristic p, choose such that a is not a pth power in F, and let f(X) = Xp − a. Then f has no root in F, and so if E is a splitting field for f over F, it is possible to choose with In particular, and by the property stated in the paragraph directly above, it follows that is a non trivial purely inseparable extension (in fact, , and so is automatically a purely inseparable extension). Purely inseparable extensions do occur naturally; for example, they occur in algebraic geometry over fields of prime characteristic. If K is a field of characteristic p, and if V is an algebraic variety over K of dimension greater than zero, the function field K(V) is a purely inseparable extension over the subfield K(V)p of pth powers (this follows from condition 2 above). Such extensions occur in the context of multiplication by p on an elliptic curve over a finite field of characteristic p.
Свойства
Если характеристика поля F является (не нулевым) простым числом p, и если является чисто неразделимым расширением, то если , K является чисто неразделимым по F и E является чисто неразделимым по K. Кроме того, если [E: F] конечен, то это сила p, характеристика F. И наоборот, если такое и являются чисто неразделимыми расширениями, то E является чисто неразделимым по F. Алгебраическое расширение является неразделимым расширением, если и только если есть некоторые такие, что минимальный полином F не является отделяемым полиномом (т.е. алгебраическое расширение является неразделимым и только если оно не является отделяемым; однако, обратите внимание, что неразделимое расширение не то же самое, что и чисто неразделимое расширение). Если is конечной степени нетривиального неразделимого расширения, то [E: F] обязательно делится на характеристику F. Если is конечной степени нормального расширения, и если , то K является чисто неразделимым по F и E разделяемым по K.
Conversely, if is such that and are purely inseparable extensions, then E is purely inseparable over F.
An algebraic extension is an inseparable extension if and only if there is some such that the minimal polynomial of over F is not a separable polynomial (i. e., an algebraic extension is inseparable if and only if it is not separable; note, however, that an inseparable extension is not the same thing as a purely inseparable extension). If is a finite degree non trivial inseparable extension, then [E : F] is necessarily divisible by the characteristic of F.
If is a finite degree normal extension, and if , then K is purely inseparable over F and E is separable over K.
Корреспонденция Галуа для чисто неразделимых расширений
Ввел вариацию теории Галуа для чисто неразделимых расширений показателя 1, где группы Галуа полей-автоморфизмов в теории Галуа заменяются ограниченными алгебрами Ли производных. Самый простой случай - для конечного индекса чисто неразделимых расширений KL показателя максимум 1 (что означает, что п-я степень каждого элемента L находится в K). В этом случае алгебра Ли из K производных L является ограниченной алгеброй Ли, которая также является векторным пространством измерения n над L, где [L: K] = pn, и промежуточные поля в L, содержащие K, соответствуют ограниченным субальгебрам Ли из этой алгебры Ли, которые являются векторными пространствами над L. Хотя алгебра Ли из производных является векторным пространством над L, она не является алгеброй Ли над L, но является алгеброй Ли над K измерения n[L: K] = npn. Чисто неразделимое расширение называется модульным расширением, если оно является тензорным произведением простых расширений, поэтому, в частности, каждое расширение показателя 1 является модульным, но есть не модульные расширения показателя 2 и дали расширение соответствия Галуа модульным чисто неразделимым расширениям, где производные заменяются более высокими производными.