Введение
Модель n-мерной гиперболической геометрии В геометрии модель гиперболоида, также известная как модель Минковского по имени Герман Минковски, представляет собой модель n-мерной гиперболической геометрии, в которой точки представлены точками на переднем листе S+ двулистного гиперболоида в пространстве Минковского (n+1) или векторами смещения от источника до этих точек, а m плоскостей представлены пересечениями (m+1) плоскостей, проходящих через источник в пространстве Минковского с S+ или клиновыми продуктами m векторов. Гиперболическое пространство встроено изометрически в пространство Минковского; то есть функция гиперболического расстояния унаследована из пространства Минковского, аналогично тому, как сферическое расстояние унаследовано из евклидовой дистанции, когда n сфера встроена в (n + 1) измерение евклидово пространство. Другие модели гиперболического пространства можно рассматривать как проекции карты S +: модель БелтрамиКлейна - это проекция S + через источник на плоскость, перпендикулярную вектору от источника до определенной точки в S +, аналогичная гномонологической проекции сферы; модель диска Пуанакаре - это проекция S + через точку на другом листе S - на перпендикулярную плоскость, аналогичная стереографической проекции сферы; модель Ганса - это горизонтальная проекция S + на плоскость, перпендикулярную определенной точке в S +, аналогичная орфографической проекции; модель полосы гиперболической плоскости - это конформная цилиндрическая проекция, аналогичная проекции Меркатора сферы; координаты Лобачевского - это цилиндрическая проекция, аналогичная прямоугольной (длинной) проекции сферы, равной широте (длинной).
In geometry, the hyperboloid model, also known as the Minkowski model after Hermann Minkowski, is a model of n dimensional hyperbolic geometry in which points are represented by points on the forward sheet S+ of a two sheeted hyperboloid in (n+1) dimensional Minkowski space or by the displacement vectors from the origin to those points, and m planes are represented by the intersections of (m+1) planes passing through the origin in Minkowski space with S+ or by wedge products of m vectors. Hyperbolic space is embedded isometrically in Minkowski space; that is, the hyperbolic distance function is inherited from Minkowski space, analogous to the way spherical distance is inherited from Euclidean distance when the n sphere is embedded in (n+1) dimensional Euclidean space. Other models of hyperbolic space can be thought of as map projections of S+: the Beltrami–Klein model is the projection of S+ through the origin onto a plane perpendicular to a vector from the origin to specific point in S+ analogous to the gnomonic projection of the sphere; the Poincaré disk model is a projection of S+ through a point on the other sheet S− onto perpendicular plane, analogous to the stereographic projection of the sphere; the Gans model is the orthogonal projection of S+ onto a plane perpendicular to a specific point in S+, analogous to the orthographic projection; the band model of the hyperbolic plane is a conformal “cylindrical” projection analogous to the Mercator projection of the sphere; Lobachevsky coordinates are a cylindrical projection analogous to the equirectangular projection (longitude, latitude) of the sphere.
Выбор метрической подписи
Билинейная форма также функционирует как метрический тензор над пространством. В n+1 измерении пространства Минковского, есть два варианта для метрики с противоположной подписью, в 3-мерном случае либо (+, −, −) или (−, +, +). Если выбрать подпись (-, +, +), то скалярный квадрат аккордов между различными точками на одном листе гиперболоида будет положительным, что более тесно согласуется с обычными определениями и ожиданиями в математике. Тогда n-мерное гиперболическое пространство является пространством Римана, а расстояние или длина могут быть определены как квадратный корень скалярного квадрата. Если выбрана подпись (+, −, −), то скалярный квадрат между различными точками на гиперболоиде будет отрицательным, поэтому различные определения основных терминов должны быть скорректированы, что может быть неудобно. Тем не менее, подпись (+, −, −, −) также является обычной для описания пространства-времени в физике. (См. Подпись конвенция#Метрическая подпись.)