Введение

Кольцо с однозначной факторизацией для идеалов (математика)
В абстрактной алгебре область Дедекинда или кольцо Дедекинда, названное в честь Ричарда Дедекинда, — это целостная область, в которой каждый ненулевой собственный идеал разлагается в произведение простых идеалов. Можно показать, что такое разложение тогда обязательно однозначно с точностью до порядка сомножителей. Существует по крайней мере три других характеристики областей Дедекинда, которые иногда принимаются за определение: см. ниже. Поле — это коммутативное кольцо, в котором нет нетривиальных собственных идеалов, поэтому любое поле является областью Дедекинда, хотя и в несколько тривиальном смысле. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы область Дедекинда не была полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для областей Дедекинда с неявной оговоркой, что они могут потребовать незначительных модификаций для случая полей. Непосредственным следствием определения является то, что каждая область главных идеалов (PID) является областью Дедекинда. Фактически, область Дедекинда является областью однозначной факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда это область главных идеалов (PID).

Доистория доменов Дедекинда

В 19 веке стало обычной техникой получать представление о целочисленных решениях полиномиальных уравнений, используя кольца алгебраических чисел более высокой степени. Например, зафиксируем положительное целое число. В попытке определить, какие целые числа представляются квадратичной формой, естественно разложить эту форму на множители, причем разложение происходит в кольце целых чисел квадратичного поля. Аналогично, для положительного целого числа полином (который важен для решения уравнения Ферма) можно разложить в кольце, где – примитивный корень n-й степени из единицы. Для нескольких малых значений и эти кольца алгебраических целых чисел являются PID, и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма и Эйлера. К этому времени процедура определения того, является ли кольцо всех алгебраических целых чисел данного квадратичного поля PID, была хорошо известна теоретикам квадратичных форм. В частности, Гаусс рассмотрел случай мнимых квадратичных полей: он нашёл ровно девять значений, для которых кольцо целых чисел является PID, и предположил, что других значений нет. (Предположение Гаусса было доказано более чем через сто лет Куртом Хегнером, Аланом Бейкером и Гарольдом Старком.) Однако это понималось (только) на языке классов эквивалентности квадратичных форм, так что, в частности, аналогия между квадратичными формами и уравнением Ферма, по-видимому, не была осознана. В 1847 году Габриэль Ламе объявил о решении последней теоремы Ферма для всех ; то есть, уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение опиралось на предположение, что циклотомическое кольцо является UFD. Эрнст Куммер показал три года назад, что это не так уже для (полный, конечный список значений, для которых является UFD, теперь известен). В то же время Куммер разработал мощные новые методы для доказательства последней теоремы Ферма, по крайней мере, для большого класса простых показателей, используя то, что мы теперь понимаем как тот факт, что кольцо является областью Дедекинда. Фактически, Куммер работал не с идеалами, а с «идеальными числами», а современное определение идеала было дано Дедекиндом. К 20 веку алгебраисты и теоретики чисел пришли к пониманию, что условие быть PID довольно тонкое, в то время как условие быть областью Дедекинда весьма устойчиво. Например, кольцо обычных целых чисел является PID, но, как видно выше, кольцо алгебраических целых чисел в числовом поле не обязательно должно быть PID. Более того, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел, таких что кольцо целых чисел является PID, по состоянию на 2016 год ещё не известно, существует ли бесконечно много числовых полей (произвольной степени), таких что является PID. С другой стороны, кольцо целых чисел в числовом поле всегда является областью Дедекинда. Другая иллюстрация дихотомии «тонкое/устойчивое» заключается в том, что быть областью Дедекинда, среди областей Ноэтериана, является локальным свойством: область Ноэтериана является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда для каждого максимального идеала локализация является кольцом Дедекинда. Но локальная область является кольцом Дедекинда тогда и только тогда, когда она является PID, тогда и только тогда, когда она является кольцом дискретного нормирования (DVR), поэтому та же самая локальная характеристика не может применяться к PID: скорее, можно сказать, что понятие кольца Дедекинда является глобализацией понятия DVR.

Местные кольца Дедекинда

Существуют интегральные домены, которые локально, но не глобально являются дедекиновыми: локализация в каждом максимальном идеале является кольцом Дедекида (эквивалентно, областью главных идеалов), но само кольцо не является дедекиновым. Как упоминалось выше, такое кольцо не может быть нётеровым. Похоже, что первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 году. В литературе такие кольца иногда называют "почти дедекиновыми кольцами".