Введение
Конструирование в дифференциальной геометрии В математике метрическое соединение - это соединение в векторном пучке E, снабженное пакетной метрикой; то есть метрикой, для которой внутреннее произведение любых двух векторов останется прежним, когда эти векторы будут параллельно переноситься по любой кривой. Это эквивалентно: Соединению, для которого ковариантные производные метрики на E исчезают. Главное соединение на пучке ортонормальных рамок E. Особым случаем метрического соединения является соединение Римана; существует уникальное такое соединение, которое свободно от кручения, соединение Леви Цивита. В этом случае пучок E является тангенсным пучком TM многообразия, а метрика на E индуцируется римановской метрикой на M. Еще одним особым случаем метрической связи является соединение YangMills, которое удовлетворяет уравнениям движения YangMills. Большинство механизмов определения соединения и его кривизны могут быть обработаны без необходимости совместимости с пакетной метрикой. Однако, как только требуется совместимость, эта метрическая связь определяет внутренний продукт, звезду Ходжа (которая дополнительно нуждается в выборе ориентации) и лаплациан, которые необходимы для формулирования уравнений Янг-Миллз.
In mathematics, a metric connection is a connection in a vector bundle E equipped with a bundle metric; that is, a metric for which the inner product of any two vectors will remain the same when those vectors are parallel transported along any curve. This is equivalent to:
A connection for which the covariant derivatives of the metric on E vanish. A principal connection on the bundle of orthonormal frames of E.
A special case of a metric connection is a Riemannian connection; there exists a unique such connection which is torsion free, the Levi Civita connection. In this case, the bundle E is the tangent bundle TM of a manifold, and the metric on E is induced by a Riemannian metric on M.
Another special case of a metric connection is a Yang–Mills connection, which satisfies the Yang–Mills equations of motion. Most of the machinery of defining a connection and its curvature can be worked through without requiring any compatibility with the bundle metric. However, once one does require compatibility, this metric connection defines an inner product, Hodge star (which additionally needs a choice of orientation), and Laplacian, which are required to formulate the Yang–Mills equations.
Кривота
Существует несколько используемых обозначений для кривизны соединения, включая современный, использующий F для обозначения тензора напряженности поля, классический, использующий R в качестве тензора кривизны, и классическое обозначение тензора кривизны Римана, большинство из которых можно естественным образом расширить на случай векторных пучков. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни пакетной метрики, и может быть определено вполне конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E, как описано выше.
Стиль компонента
С точки зрения компонентов, пусть где является стандартной формой координатных основ на котангентном пучке T*M. Вставляя в вышеперечисленное и расширяя, получается (используя соглашение суммирования): имейте в виду, что для n-мерного векторного пространства каждое из них является n×n матрицей, индексы которой были подавлены, тогда как индексы i и j пересекают 1, ,m, при этом m является измерением базового разнообразия. Оба этих показателя могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе. Представленная здесь нотация является той, которая обычно используется в физике; например, она может быть сразу узнаваема как тензор силы поля глюонов. Для абелева n=1, а векторный пучок является одномерным; коммутатор исчезает, и вышеперечисленное может быть признано электромагнитным тензором в более или менее стандартной физической нотации.
Keep in mind that for an n dimensional vector space, each is an n×n matrix, the indices of which have been suppressed, whereas the indices i and j run over 1, ,m, with m being the dimension of the underlying manifold. Both of these indices can be made simultaneously manifest, as shown in the next section. The notation presented here is that which is commonly used in physics; for example, it can be immediately recognizable as the gluon field strength tensor. For the abelian case, n=1, and the vector bundle is one dimensional; the commutator vanishes, and the above can then be recognized as the electromagnetic tensor in more or less standard physics notation.
Несколько слов о нотации
В этом случае принято менять обозначение и использовать символ nabla вместо D; в других отношениях эти два символа являются одним и тем же. То есть, = D из предыдущих разделов выше. Аналогичным образом, внутреннее произведение на E заменяется метрическим тензором g на TM. Это согласуется с историческим использованием, но также позволяет избежать путаницы: для общего случая векторного пучка E, базовый многообразие M не считается наделенным метрикой. Специальный случай многообразия с метрикой g на TM в дополнение к пакетной метрике на E приводит к теории КалузаКлейна.