Введение
Коммутативная, ассоциативная алгебра двух сложных измерений В абстрактной алгебре, бикомплексное число - это пара (w, z) сложных чисел, построенных методом Кейли-Диксона, который определяет бикомплексный конъюгат и произведение двух бикомплексных чисел как . Тогда бикомплексная норма дается в форме квадрата в первом компоненте. Бикомплексные числа образуют коммутативную алгебру над C второго измерения, которая изоморфна прямой сумме алгебр C C. Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратной формы, которое является произведением отдельных квадратных форм чисел: проверка этого свойства квадратной формы произведения относится к тождеству Брахмагупты Фибоначчи. Это свойство квадратической формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют композиционную алгебру. На самом деле бикомплексные числа возникают на бинарном уровне конструкции Кейли-Диксона, основанной на с нормой z2. Общее бикомплексное число может быть представлено матрицей , которая имеет детерминант Таким образом, составляющее свойство квадратной формы согласуется с составляющим свойством детерминанты. Бикомплексные числа имеют две различные воображаемые единицы. Умножение ассоциативное и коммутативное, произведение этих воображаемых единиц должно иметь положительное значение для его квадрата. Такой элемент, как этот продукт, называется гиперболической единицей.
In abstract algebra, a bicomplex number is a pair (w, z) of complex numbers constructed by the Cayley–Dickson process that defines the bicomplex conjugate , and the product of two bicomplex numbers as
Then the bicomplex norm is given by
a quadratic form in the first component. The bicomplex numbers form a commutative algebra over C of dimension two that is isomorphic to the direct sum of algebras C ⊕ C.
The product of two bicomplex numbers yields a quadratic form value that is the product of the individual quadratic forms of the numbers:
a verification of this property of the quadratic form of a product refers to the Brahmagupta–Fibonacci identity. This property of the quadratic form of a bicomplex number indicates that these numbers form a composition algebra. In fact, bicomplex numbers arise at the binarion level of the Cayley–Dickson construction based on with norm z2. The general bicomplex number can be represented by the matrix , which has determinant Thus, the composing property of the quadratic form concurs with the composing property of the determinant. Bicomplex numbers feature two distinct imaginary units. Multiplication being associative and commutative, the product of these imaginary units must have positive one for its square. Such an element as this product has been called a hyperbolic unit.
История
Тема множественных воображаемых единиц была рассмотрена в 1840-х годах. В длинной серии "О квартернионах или о новой системе воображаемых в алгебре", начиная с 1844 года в Philosophical Magazine, Уильям Роуэн Гамильтон сообщил о системе умножения в соответствии с группой квартерниона. В 1848 году Томас Киркман сообщил о своей переписке с Артуром Кейли относительно уравнений на единицы, определяющие систему гиперкомплексных чисел.
Бикомплексные числа
В статье Mathematische Annalen 1892 года Коррадо Сегре представил бикомплексные числа, которые образуют алгебру, изморфную к тессаринам. Сегре прочитал "Лекции о кватернионах" В. Р. Гамильтона (1853) и работы В. К. Клиффорда. Сегре использовал некоторые из обозначений Гамильтона для разработки своей системы бикомплексных чисел: пусть h и i будут элементами, которые квадратируются до -1 и которые перемещаются. Затем, предполагая ассоциативность умножения, произведение hi должно быть в квадрате до +1. Алгебра, построенная на основе { 1, h, i, hi }, тогда такая же, как тессарины Джеймса Кокла, представленные с использованием другой основы. Сегре отметил, что элементы одинаково мощны. Когда бикомплексные числа выражаются в терминах основы { 1, h, i, −hi }, их эквивалентность с тессаринами очевидна, особенно если векторы в этой основе перестроены как { 1, i, −hi, h }. Рассмотрение линейного представления этих изоморфных алгебр показывает согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрите примерный продукт, данный выше в линейном представлении.
are idempotents. When bicomplex numbers are expressed in terms of the basis { 1, h, i, −hi }, their equivalence with tessarines is apparent, particularly if the vectors in this basis are reordered as { 1, i, −hi, h }. Looking at the linear representation of these isomorphic algebras shows agreement in the fourth dimension when the negative sign is used; consider the sample product given above under linear representation.
Бибинарные книги
Современная теория композиционных алгебр позиционирует алгебру как бинарную конструкцию, основанную на другой бинарной конструкции, отсюда бинарные конструкции. Уровень униона в процессе Кейли Диксона должен быть полем, и, начиная с реального поля, обычные комплексные числа возникают как бинарные деления, другое поле. Таким образом, процесс может начаться снова, чтобы сформировать бинарионы. Кевин МакКриммон отметил упрощение номенклатуры, обеспечиваемое термином бинарный в его тексте "Вкус Иордании алгебры" (2004).
Корни многочлена
Напишите 1=2C = C C и представьте элементы его упорядоченными парами (u,v) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов T изоморфна с 2C, кольца полиномов T[X] и 2C[X] также изоморфны, однако полиномы в последней алгебре разделены: в результате, когда множество полиномиального уравнения в этой алгебре, оно сводится к двум полиномиальным уравнениям на C. Если степень n, то для каждого уравнения есть n корней: любая упорядоченная пара из этого множества корней удовлетворит исходное уравнение в 2C[X], поэтому у него есть n2 корней. Из-за изоморфизма с T[X] существует соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, тессариновые многочлены степени n также имеют корни n2, считая множественность корней.
In consequence, when a polynomial equation in this algebra is set, it reduces to two polynomial equations on C. If the degree is n, then there are n roots for each equation:
Any ordered pair from this set of roots will satisfy the original equation in 2C[X], so it has n2 roots. Due to the isomorphism with T[X], there is a correspondence of polynomials and a correspondence of their roots. Hence the tessarine polynomials of degree n also have n2 roots, counting multiplicity of roots.
Приложения
Бикомплексное число появляется как центр CAPS (комплексифицированная алгебра физического пространства), которая является алгеброй Клиффорда, так как линейное пространство CAPS можно рассматривать как четырехмерный пространственный промежуток {} над {}. Тессарины применяются в цифровой обработке сигналов. Бикомплексные числа используются в механике жидкостей. Использование бикомплексной алгебры примиряет два различных приложения комплексных чисел: представление двухмерных потенциальных потоков в сложной плоскости и сложную экспоненциальную функцию.