Введение
Теорема в теории гомотопии Гипотеза кольца Бернсайд Сегала, или, более кратко, гипотеза Сегала, является теоремой в теории гомотопии, ветви математики. Теорема связывает кольцо Бернсайд конечной группы G со стабильной кохомотопией классифицирующего пространства BG. Предположение было сделано в середине 1970-х годами Гремом Сегалом и доказано в 1984 году Гуннаром Карлссоном. По состоянию на 2016 год это утверждение все еще обычно называют гипотезой Сигала, хотя теперь оно имеет статус теоремы.
Segal's Burnside ring conjecture, or, more briefly, the Segal conjecture, is a theorem in homotopy theory, a branch of mathematics. The theorem relates the Burnside ring of a finite group G to the stable cohomotopy of the classifying space BG. The conjecture was made in the mid 1970s by Graeme Segal and proved in 1984 by Gunnar Carlsson. as of 2016, this statement is still commonly referred to as the Segal conjecture, even though it now has the status of a theorem.
Заявление теоремы
Предположение Сигала имеет несколько различных формулировок, не все из которых эквивалентны. Здесь представлена слабая форма: для каждой конечной группы G существует изоморфизм Здесь lim обозначает обратный предел, S* обозначает стабильное кольцо кохомотопии, B обозначает классифицирующее пространство, надпись k обозначает k скелет, а подпись + обозначает добавление несовместной базовой точки. С правой стороны шляпа обозначает завершение кольца Бёрнсайд в отношении его идеала увеличения.
Here, lim denotes the inverse limit, S* denotes the stable cohomotopy ring, B denotes the classifying space, the superscript k denotes the k skeleton, and the subscript + denotes the addition of a disjoint basepoint. On the right hand side, the hat denotes the completion of the Burnside ring with respect to its augmentation ideal.
Кольцо Бернсайд
Кольцо Бернсайд конечной группы G построено из категории конечной множества G как группа Гротендика. Точнее, пусть M ((G) будет коммутативным моноидом классов изоморфизма конечных множеств G, с добавлением разъединенного союза множеств G и элементом идентичности пустого множества (которое является множеством G уникальным образом). Тогда A(G), группа Гротендика M(G), является абелевой группой. Это фактически свободная абелева группа с элементами основы, представленными множествами G G/H, где H изменяется в зависимости от подгрупп G. (Обратите внимание, что H здесь не считается нормальной подгруппой G, поскольку, хотя G/H не является группой в этом случае, он все еще является множеством G.) Кольцевая структура на A ((G) индуцируется прямым произведением множеств G; умножающая идентичность - это (класс изоморфизма любого) одноточечный набор, который становится множеством G уникальным образом. Кольцо Бернсайд является аналогом кольца представления в категории конечных множеств, в отличие от категории конечных размерных векторных пространств над полем (см. мотивацию ниже). Он оказался важным инструментом в теории представления конечных групп.
Классифицирующее пространство
Для любой топологической группы G, допускающей структуру комплекса CW, можно рассматривать категорию основных G-пакетов. Можно определить функтор из категории комплексов CW в категорию множеств, присвояя каждому комплексу CW X множество основных G-пакетов на X. Этот функтор нисходит к функтору на гомотопии категории комплексов CW, и естественно задать вопрос, представлен ли полученный таким образом функтор. Ответ утвердительный, и представляющий объект называется классифицирующим пространством группы G и обычно обозначается BG. Если мы ограничим наше внимание гомотопией категории комплексов CW, то BG уникален. Любой комплекс CW, который является гомотопией, эквивалентной BG, называется моделью для BG. Например, если G - группа порядка 2, то модель для BG - бесконечномерное реальное проективное пространство. Можно показать, что если G конечен, то любая модель комплекса CW BG имеет ячейки произвольно большого размера. С другой стороны, если G = Z, целые числа, то классифицирующее пространство BG является гомотопией, эквивалентной кругу S1.
Мотивация и интерпретация
Содержание теоремы становится несколько яснее, если поместить ее в исторический контекст. В теории представлений конечных групп можно сформировать объект, называемый кольцом представления, способом, полностью аналогичным конструкции кольца Бернсайд, описанной выше. Стабильная кохомотопия в некотором смысле является естественным аналогом сложной теории K, которая обозначается как Сигал был вдохновлен сделать свою гипотезу после того, как Майкл Атия доказал существование изоморфизма, который является особым случаем теоремы завершения АтияСегола.
which is a special case of the Atiyah–Segal completion theorem.