Введение

Метод решения некоторых нелинейных уравнений с частичными дифференциальными уравнениями В математике обратная трансформация рассеяния - это метод, который решает проблему начального значения для нелинейного уравнения с частичными дифференциальными уравнениями с использованием математических методов, связанных с рассеянием волн. Трансформация прямого рассеяния описывает, как функция рассеивает волны или генерирует связанные состояния. Инверсная трансформация рассеяния использует данные рассеяния волны для построения функции, отвечающей за рассеяние волны. Прямые и обратные преобразования рассеяния аналогичны прямым и обратным преобразованиям Фурье, которые используются для решения линейных частичных дифференциальных уравнений. Используя пару дифференциальных операторов, 3-ступенчатый алгоритм может решать нелинейные дифференциальные уравнения; начальное решение преобразуется в данные рассеяния (прямое преобразование рассеяния), данные рассеяния эволюционируют во времени (эволюция во времени), а данные рассеяния реконструируют решение во времени (обратное преобразование рассеяния). Этот алгоритм упрощает решение нелинейного уравнения с частичными дифференциальными решениями для решения 2 линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и обыкновенного интегрального уравнения, метод, в конечном итоге приводящий к аналитическим решениям для многих иначе сложных для решения нелинейных частичных дифференциальных уравнений. Проблема обратного рассеяния эквивалентна проблеме факторизации РиманаХилберта, по крайней мере, в случае уравнений одного пространственного измерения. Эта формулировка может быть обобщена на дифференциальные операторы порядка больше двух, а также на периодические задачи. В более высоких пространственных измерениях вместо этого имеется "нелокальная" проблема факторизации РиманаХилберта (с свёртыванием вместо умножения) или проблема d bar.

История

Обратная трансформация рассеяния возникла из изучения одиночных волн. Расселл описал "волну перевода" или "одиночную волну", возникающую в мелководье. Сначала J. V. Boussinesq, а затем D. Korteweg и G. deVries обнаружили уравнение Кортевега деВриса (KdV), нелинейное частичное дифференциальное уравнение, описывающее эти волны. Позже Н. Забуски и М. Крускаль, используя численные методы для исследования проблемы ФермиПастаУламЦингу, обнаружили, что одиночные волны имеют эластичные свойства сталкивающихся частиц; начальная и конечная амплитуды и скорости волн оставались неизменными после волновых столкновений. Эти частицы, подобные волнам, называются солитонами и возникают в нелинейных уравнениях из-за слабого баланса между дисперсивным и нелинейным эффектами. Гарднер, Грин, Крускаль и Миура ввели обратную трансформацию рассеяния для решения уравнения Кортевегеде Вриса. Лакс, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур обобщили этот подход, который привел к решению других нелинейных уравнений, включая нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синуса Гордона, модифицированное уравнение Кортевега Де Вриса, уравнение Кадомцева Петвяшвили, уравнение Ишимори, уравнение решетки Тода и уравнение Дайма. Этот подход также применяется к различным типам нелинейных уравнений, включая дифференциальные различия, частичные различия, многомерные уравнения и дробные интегрируемые нелинейные системы.

Нелинейные частичные дифференциальные уравнения

Независимые переменные - это пространственная переменная и временная переменная. Подпись или дифференциальные операторы указывают на дифференциацию. Функция является решением нелинейного уравнения с начальным условием (значением).

Трансформатор прямого рассеяния

Трансформация прямого рассеяния генерирует первоначальные данные рассеяния; это может включать в себя коэффициенты отражения, коэффициент передачи, данные собственных значений и константы нормализации решений собственных функций для этого дифференциального уравнения.

Эволюция данных рассеивания во времени

Уравнения, описывающие, как эволюционируют данные рассеяния с течением времени, встречаются в качестве решений линейного обычного дифференциального уравнения первого порядка относительно времени. Используя различные подходы, это линейное дифференциальное уравнение первого порядка может возникнуть из линейных дифференциальных операторов (парь Lax, пара AKNS), комбинации линейных дифференциальных операторов и нелинейного дифференциального уравнения, или путем дополнительных операций замещения, интеграции или дифференциации. Пространственно асимптотические уравнения упрощают решение этих дифференциальных уравнений.

Обратная трансформация рассеяния

Уравнение Марченко объединяет данные рассеяния в линейное интегральное уравнение Фредхольма. Решение этого интегрального уравнения приводит к решению, u ((x,t), нелинейного дифференциального уравнения.

Эволюция данных рассеивания во времени

Пространственно асимптотические левая и правая функции Джоста упрощают этот шаг. Постоянные зависимости связывают функции правого и левого Джоста и константы нормализации правого и левого. Дифференциальный оператор Lax генерирует собственную функцию, которая может быть выражена как зависимая от времени линейная комбинация других собственных функций. Решения этих дифференциальных уравнений, определяемые с использованием пространственно асимптотических функций Джоста с рассеянием и связанным состоянием, указывают на коэффициент передачи, но зависимый от времени, коэффициенты отражения и коэффициенты нормализации.

Обратная трансформация рассеяния

Ядро Марченко - это интегральное уравнение Марченко, которое является линейным интегральным уравнением, решенным для решения уравнения Марченко, , генерирует решение нелинейного частичного дифференциального уравнения.