Fox n-coloring

Введение

В математической области теории узлов, окраска Fox n - это метод определения представления группы узлов или группы звеньев (не путать с группой звеньев) на диэдрическую группу порядка n, где n - нечетное целое число, путем окрашивания дуг в схеме звеньев (само представление также часто называют окраской Fox n). Ральф Фокс открыл этот метод (и особый случай триколорируемости) "в попытке сделать предмет доступным для всех", когда он объяснял теорию узлов студентам в Гаверфордском колледже в 1956 году. Цвет Fox n - пример конъюгационной квандели.

Определение

Пусть L является связующим звеном, и пусть L является фундаментальной группой его комплемента. Представление на диэдрической группе порядка 2n называется окраской Fox n (или просто окраской n) L. Ссылка L, которая допускает такое представление, называется n окрашиваемой, и называется окраской n L. Такие представления групп ссылок рассматривались в контексте покрытия пространств с 1929 года Ридмейстера. [На самом деле, Ридмейстер полностью объяснил все это в 1926 году, на странице 18 "Knoten und Gruppen" в Hamburger Abhandlungen 5. Название "Фокс окрашивание" было дано ему гораздо позже математиками, которые, вероятно, не мог читать немецкий.] Предпочтительным термином Фокса для так называемого "Fox 3 coloring" было "property L"; см. упражнение 6 на странице 92 его книги "Введение в теорию узлов" (1963). Группа связи создается путём от базовой точки в пределах трубчатого соседства связи, вокруг меридиана трубчатого соседства и обратно к базовой точке. По сюрреалистичности представления эти генераторы должны сопоставляться с отражениями регулярного числа. Такие отражения соответствуют элементам диэдрической группы, где t - отражение, а s - генерирующее вращение n гона. Генераторы группы ссылок, приведенные выше, находятся в биективной корреспонденции с дугами ссылочной диаграммы, и если генератор отображает соответствующую дугу, это называется окрашиванием ссылочной диаграммы Fox n, и оно удовлетворяет следующим свойствам: используются по крайней мере два цвета (по сюрреективности). Вокруг пересечения среднее число цветов пересекающихся дуг равно цвету пересекающей дуги (потому что это представление группы связи). A n цветная связь дает 3 многообразия M, принимая (нерегулярный) двугранный покров 3 сферы, разветвленной над L с монодромией, данной теоремой Монтесиноса и Хильдена, любой закрытый ориентированный 3 многообразие может быть получен таким образом для некоторого узла K и некоторого триколорирования K. Это больше не верно, когда n больше трех.

Let L be a link, and let be the fundamental group of its complement. A representation of onto the dihedral group of order 2n is called a Fox n coloring (or simply an n coloring) of L. A link L which admits such a representation is said to be n colorable, and is called an n coloring of L. Such representations of groups of links had been considered in the context of covering spaces since Reidemeister in 1929. [Actually, Reidemeister fully explained all this in 1926, on page 18 of "Knoten und Gruppen" in Hamburger Abhandlungen 5. The name "Fox coloring" was given to it much later by mathematicians who probably couldn't read German.] Fox's preferred term for so called "Fox 3 coloring" was "property L"; see Exercise 6 on page 92 of his book "Introduction to Knot Theory" (1963). The group of a link is generated by paths from a basepoint in to the boundary of a tubular neighbourhood of the link, around a meridian of the tubular neighbourhood, and back to the basepoint. By surjectivity of the representation these generators must map to reflections of a regular n gon. Such reflections correspond to elements of the dihedral group, where t is a reflection and s is a generating rotation of the n gon. The generators of the group of a link given above are in bijective correspondence with arcs of a link diagram, and if a generator maps to we color the corresponding arc This is called a Fox n coloring of the link diagram, and it satisfies the following properties:

At least two colors are used (by surjectivity of ). Around a crossing, the average of the colors of the undercrossing arcs equals the color of the overcrossing arc (because is a representation of the group of the link). A n colored link yields a 3 manifold M by taking the (irregular) dihedral covering of the 3 sphere branched over L with monodromy given by By a theorem of Montesinos and Hilden, any closed oriented 3 manifold may be obtained this way for some knot K and some tricoloring of K. This is no longer true when n is greater than three.

Обобщение на G-цвет

Пусть L - это связующее звено, а π - фундаментальная группа его комплемента, а G - группа. Гомоморфизм π к G называется окраской G L. Окраска G на узловой диаграмме является индуцированной, присваивающей элемент G нити L таким образом, что при каждом пересечении, если c - элемент G, присвоенный пересекающейся нити, и если a и b - элементы G, присвоенные двум пересекающимся ниткам, то a = c−1 b c или b = c−1 a c, в зависимости от ориентации пересекающейся нити. Если группа G является диэдральным порядка 2n, то это диаграмматическое представление окраски G сводится к окраске Fox n. У узла тора T(3,5) есть только постоянные n окраски, но для группы G, равной чередующейся группе A5, T(3,5) имеет неконстантные окраски G.