Введение
Свойство дифференциального исчисления
В дифференциальном исчислении производная любой линейной комбинации функций равна той же линейной комбинации производных этих функций; это свойство известно как линейность дифференцирования, правило линейности или принцип суперпозиции для дифференцирования. Это фундаментальное свойство производной, объединяющее в едином правиле два более простых правила дифференцирования: правило суммы (производная суммы двух функций равна сумме их производных) и правило постоянного множителя (производная произведения функции на константу равна этой константе, умноженной на производную функции). Таким образом, можно утверждать, что дифференцирование является линейной операцией, или что дифференциальный оператор – линейный оператор.
In calculus, the derivative of any linear combination of functions equals the same linear combination of the derivatives of the functions; this property is known as linearity of differentiation, the rule of linearity, or the superposition rule for differentiation. It is a fundamental property of the derivative that encapsulates in a single rule two simpler rules of differentiation, the sum rule (the derivative of the sum of two functions is the sum of the derivatives) and the constant factor rule (the derivative of a constant multiple of a function is the same constant multiple of the derivative). Thus it can be said that differentiation is linear, or the differential operator is a linear operator.
Подробные доказательства/выводы из определения
Мы можем доказать весь принцип линейности сразу, или мы можем доказать отдельные шаги (умножение на константу и сложение) по отдельности. Здесь будут показаны оба подхода. Доказательство линейности напрямую также доказывает правило постоянного множителя, правило суммы и правило разности как частные случаи. Правило суммы получается, если оба постоянных коэффициента равны 1. Правило разности получается, если первый постоянный коэффициент равен 1, а второй – -1. Правило постоянного множителя получается, если либо второй постоянный коэффициент, либо вторая функция равны 1. (С технической точки зрения, область определения второй функции также должна учитываться. Один из способов избежать проблем – установить вторую функцию равной первой, а второй постоянный коэффициент равным 1. Также можно определить оба – и второй постоянный коэффициент, и вторую функцию – как 0, при этом область определения второй функции должна быть надмножеством области определения первой функции, среди прочих возможностей.) Напротив, если сначала доказать правило постоянного множителя и правило суммы, можно доказать линейность и правило разности. Доказательство линейности выполняется путем определения первой и второй функций как двух других функций, умноженных на постоянные коэффициенты. Затем, как показано в выводе из предыдущего раздела, можно сначала применить правило суммы при дифференцировании, а затем правило постоянного множителя, что приведет нас к заключению о линейности. Чтобы доказать правило разности, вторую функцию можно переопределить как другую функцию, умноженную на постоянный коэффициент -1. Это, после упрощения, даст нам правило разности для дифференцирования. В доказательствах/выводах ниже используются коэффициенты α и β; они соответствуют коэффициентам, указанным выше.