Введение

Связь между алгебраическими многообразиями и полиномиальными идеалами
В математике теорема Гильберта о нулях (нем. Nullstellensatz, что буквально переводится как "теорема о нулевом множестве") – это теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрией и алгеброй. Эта связь лежит в основе алгебраической геометрии. Она связывает алгебраические множества с идеалами в полиномиальных кольцах над алгебраически замкнутыми полями. Эта связь была открыта Давидом Гильбертом, который доказал теорему о нулях в своей второй значительной работе по теории инвариантов в 1893 году (после его основополагающей работы 1890 года, в которой он доказал теорему Гильберта об основаниях).

Доказательства

Существует множество известных доказательств теоремы. Некоторые из них неконструктивны, например, первое из них. Другие конструктивны, поскольку основаны на алгоритмах представления 1 в виде линейной комбинации образующих идеала.

Используя лемму Зариски

Лемма Зариски утверждает, что если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра над полем k, то оно является конечным полем расширением k (то есть, оно также конечно порождено как векторное пространство). Вот набросок доказательства с использованием этой леммы. Пусть (k – алгебраически замкнутое поле), I – идеал в A, и V – общие нули I в . Очевидно, пусть тогда для некоторого простого идеала в A. Пусть и – максимальный идеал в . По лемме Зариски, является конечным расширением k; таким образом, k, поскольку k алгебраически замкнуто. Пусть – образы под естественным отображением, проходящим через . Следовательно, и .

Использование полученных

Следующее конструктивное доказательство слабой формы является одним из старейших доказательств (сильная форма вытекает из трюка Рабиновича, который также является конструктивным). Результант двух многочленов, зависящих от переменной x и других переменных, — это многочлен относительно других переменных, принадлежащий идеалу, порожденному этими двумя многочленами, и обладающий следующими свойствами: если один из многочленов является мо́ническим по x, то любой корень (относительно других переменных) результанта можно расширить до общего корня двух многочленов. Доказательство следующее. Если идеал является главным, порожденным непостоянным многочленом p, зависящим от x, выбирают произвольные значения для остальных переменных. Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что этот выбор можно расширить до корня p. В случае нескольких многочленов линейное изменение переменных позволяет предположить, что многочлен мо́нический по первой переменной x. Затем вводят новые переменные и рассматривают результирующий многочлен.

Поскольку R принадлежит идеалу, порожденному , то же справедливо и для коэффициентов в R мономов относительно . Следовательно, если 1 принадлежит идеалу, порожденному этими коэффициентами, то он также принадлежит идеалу, порожденному . С другой стороны, если эти коэффициенты имеют общий корень, то этот корень можно расширить до общего корня благодаря вышеупомянутому свойству результанта. Это доказывает слабый Nullstellensatz индукцией по числу переменных.

Использование оснований Гробнера

Основа Грёбнера — это алгоритмическое понятие, введенное в 1973 году Бруно Бухбергером. В настоящее время оно является фундаментальным в вычислительной геометрии. Основа Грёбнера — это специальный образующий набор идеала, из которого большинство свойств идеала можно легко извлечь. Связанные с теоремой Нульштейна (Nullstellensatz) свойства следующие: Идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда его приведённая основа Грёбнера (для любого мономиального порядка) равна 1. Количество общих нулей многочленов в основе Грёбнера тесно связано с количеством мономов, не приводимых относительно этой основы. А именно, число общих нулей бесконечно тогда и только тогда, когда то же верно для неприводимых мономов; если оба числа конечны, то число неприводимых мономов равно числу нулей (в алгебраически замкнутом поле), считаемому с учётом кратности. При использовании лексикографического мономиального порядка общие нули можно вычислить, последовательно решая унивариантные многочлены (однако на практике это не используется, поскольку существуют более эффективные алгоритмы). Сильный Nullstellensatz: некоторая степень p принадлежит идеалу I тогда и только тогда, когда насыщение I по p даёт основу Грёбнера, состоящую из 1. Таким образом, сильный Nullstellensatz почти непосредственно следует из определения насыщения.