Введение

Движение объекта вокруг оси, движение физического тела. Вращение, или вращательное движение, — это круговое движение объекта вокруг центральной линии, известной как ось вращения. Плоская фигура может вращаться по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг перпендикулярной оси, пересекающей фигуру в любой точке внутри или снаружи в центре вращения. Твердое тело имеет бесконечное число возможных осей и углов вращения, включая хаотическое вращение (между произвольными ориентациями), в отличие от вращения вокруг фиксированной оси. Особым случаем вращения является вращение вокруг внутренней оси, проходящей через собственный центр масс тела, которое называется спином (или авторотацией). Любой тип вращения связан с соответствующим типом угловой скорости (угловой скоростью спина и орбитальной угловой скоростью) и углового момента (угловым моментом спина и орбитальным угловым моментом).

Математика

В математическом плане вращение — это движение жесткого тела, которое, в отличие от трансляции, сохраняет как минимум одну точку неподвижной. Это определение применимо к вращениям в двух измерениях (в плоскости), где ровно одна точка остается неподвижной, и к вращениям в трех измерениях (в пространстве), где могут быть неподвижны дополнительные точки (например, при вращении вокруг фиксированной оси, представляющей собой бесконечную прямую). Все движения жесткого тела являются вращениями, трансляциями или их комбинациями. Вращение — это последовательная радиальная ориентация относительно общей точки. Эта общая точка лежит на оси вращения. Ось перпендикулярна плоскости вращения. Последовательное выполнение вращений вокруг одной и той же точки или оси приводит к третьему вращению. Обратное (инверсное) вращение также является вращением. Таким образом, вращения вокруг точки или оси образуют группу. Однако вращение вокруг одной точки или оси и вращение вокруг другой точки или оси могут привести к результату, отличному от вращения, например, к трансляции. Вращения вокруг осей x, y и z называются главными вращениями. Вращение вокруг любой оси можно выполнить, последовательно выполнив вращение вокруг оси x, затем вокруг оси y и, наконец, вокруг оси z. Иными словами, любое пространственное вращение можно разложить на комбинацию главных вращений.

Фиксированная ось против фиксированной точки

Комбинация любой последовательности вращений объекта в трех измерениях вокруг фиксированной точки всегда эквивалентна вращению вокруг оси (которое можно рассматривать как вращение в плоскости, перпендикулярной этой оси). Аналогично, скорость вращения объекта в трех измерениях в любой момент времени описывается некоторой осью, хотя эта ось может меняться со временем. В пространствах, отличных от трехмерных, не имеет смысла описывать вращение как вращение вокруг оси, поскольку через объект может быть зафиксировано более одной оси; вместо этого простые вращения описываются как происходящие в плоскости. В четырех и более измерениях комбинация двух или более вращений в плоскости, как правило, не является вращением в одной плоскости.

Плоскость вращения

Так же, как у каждого трехмерного вращения есть ось вращения, у каждого трехмерного вращения есть и плоскость, перпендикулярная этой оси, которая остается инвариантной при вращении. Ограниченное этой плоскостью вращение является обычной 2D-ротацией. Доказательство строится аналогично вышеизложенному. Сначала предположим, что все собственные значения 3D-матрицы A являются вещественными. Это означает, что существует ортогональный базис, образованный соответствующими собственными векторами (которые обязательно ортогональны), относительно которого действие матрицы вращения сводится к простому масштабированию. Если записать A в этом базисе, она станет диагональной; однако диагональная ортогональная матрица состоит только из +1 и -1 на диагонали. Следовательно, это не является собственным вращением, а либо тождественным преобразованием, либо результатом последовательности отражений. Отсюда следует, что собственное вращение должно иметь хотя бы одно комплексное собственное значение. Пусть v – соответствующий собственный вектор. Тогда, как мы показали ранее, также является собственным вектором, и таковы, что их скалярное произведение равно нулю:

потому что, поскольку вещественно, оно равно своему комплексно сопряженному , а и – оба представления одного и того же скалярного произведения между и . Это означает, что и – ортогональные векторы. Более того, они оба являются вещественными векторами по построению. Эти векторы порождают то же подпространство, что и , которое является инвариантным подпространством при применении A. Следовательно, они порождают инвариантную плоскость. Эта плоскость ортогональна инвариантной оси, соответствующей оставшемуся собственному вектору A с собственным значением 1, в силу ортогональности собственных векторов A.

В более высоких измерениях

По мере увеличения размерности растет число векторов вращения. В четырехмерном пространстве (гиперобъеме) вращения происходят вокруг осей x, y, z и w. Объект, вращающийся вокруг оси w, пересекает различные объемы, причем каждое пересечение представляет собой замкнутый объем под определенным углом. Это создает новую ось вращения в 4d-гиперобъеме, позволяющую вращать 3d-объект перпендикулярно оси z.

Физика

Скорость вращения задается угловой частотой (рад/с) или частотой (обороты в единицу времени), либо периодом (секунды, дни и т.д.). Скорость изменения угловой частоты во времени – это угловое ускорение (рад/с²), возникающее под действием момента силы (крутящего момента). Отношение момента силы к угловому ускорению определяется моментом инерции. Вектор угловой скорости (аксиальный вектор) также описывает направление оси вращения. Аналогично, момент силы является аксиальным вектором. Физика вращения вокруг неподвижной оси математически описывается с помощью представления оси-угла. В соответствии с правилом правой руки, направление от наблюдателя соответствует вращению по часовой стрелке, а направление к наблюдателю – вращению против часовой стрелки, подобно винту.

Круговое движение

Возможно, что объекты могут двигаться по периодическим круговым траекториям, не изменяя своей ориентации. Такие типы движения рассматриваются в рамках кругового движения, а не вращения, точнее как криволинейное перемещение. Поскольку перемещение подразумевает смещение твёрдого тела с сохранением его ориентации, в случае криволинейного перемещения все точки имеют одинаковую мгновенную скорость, в то время как относительное движение наблюдается только при вращении. При вращении ориентация объекта изменяется, и это изменение ориентации не зависит от наблюдателей, системы отсчёта которых сохраняют постоянную относительную ориентацию во времени. Согласно теореме Эйлера, любое изменение ориентации можно описать вращением вокруг оси, проходящей через выбранную точку отсчёта. В более общем случае, согласно теореме Чейзла, любое движение твёрдого тела можно рассматривать как комбинацию вращения и перемещения, называемую общим плоским движением. В астрономии вращение – это часто наблюдаемое явление, включающее как вращение вокруг своей оси (автовращение), так и орбитальное вращение.

Свернуть

Звезды, планеты и подобные им тела могут вращаться вокруг своих осей. Скорость вращения планет в Солнечной системе впервые измерили, отслеживая видимые детали на их поверхности. Вращение звезд измеряется с помощью эффекта Доплера или путем отслеживания активных особенностей на их поверхности, например, солнечных пятен, которые вращаются вокруг Солнца с той же скоростью, что и внешние газовые слои, составляющие Солнце. В определенных условиях обращающиеся тела могут синхронизировать свое вращение вокруг оси со своим орбитальным вращением вокруг более массивного тела. Этот эффект называется приливным захватом; Луна находится в приливном захвате с Землей. Это вращение создает центростремительное ускорение в системе отсчета Земли, которое незначительно компенсирует влияние гравитации по мере приближения к экватору. Гравитация Земли учитывает оба массовых эффекта, в результате чего вес объекта на экваторе немного меньше, чем на полюсах. Кроме того, со временем Земля слегка деформируется в сплюснутый сфероид; аналогичный экваториальный выпячивание формируется и у других планет. Другим следствием вращения планеты являются явления прецессии и нутации. Подобно гироскопу, общий эффект проявляется в небольшом "качании" в движении оси планеты. В настоящее время наклон оси Земли к плоскости ее орбиты (наклон эклиптики) составляет 23,44 градуса, но этот угол медленно меняется (в течение тысяч лет). (См. также Прецессия равноденствий и Полярная звезда.)

Революция

В то время как слово "революция" часто используется как синоним слова "вращение", во многих областях, особенно в астрономии и смежных дисциплинах, "революция" (часто для ясности называемая орбитальной революцией) обозначает движение одного тела вокруг другого, а "вращение" – движение вокруг оси. Луны совершают революцию вокруг своих планет, планеты – вокруг своих звезд (например, Земля вокруг Солнца), а звезды медленно совершают революцию вокруг центров своих галактик. Движение компонентов галактик сложно, но обычно включает в себя составляющую вращения.

Ретроградная вращение

Большинство планет Солнечной системы, включая Землю, вращаются в том же направлении, что и обращаются вокруг Солнца. Исключения составляют Венера и Уран. Венера вращается медленно в обратном направлении (или находится в "перевернутом" положении). Уран вращается почти на боку по отношению к своей орбите. Современные предположения указывают на то, что Уран изначально имел обычную прямую ориентацию и был опрокинут на бок в результате крупного столкновения на ранних этапах своей истории. Карликовая планета Плутон (ранее считавшаяся планетой) аномальна в нескольких аспектах, в том числе и тем, что она также вращается на боку.

Динамика полета

В динамике полета основные вращения, описываемые углами Эйлера, известны как тангаж, крен и рыскание. Термин "ротация" также используется в авиации для обозначения подъема носа самолета (тангажа вверх), особенно при начале набора высоты после взлета. Основные вращения удобны для моделирования ряда физических систем, таких как карданные подвесы и джойстики, поэтому их легко представить визуально, и они представляют собой компактный способ хранения информации о вращении. Однако их сложно использовать в вычислениях, поскольку даже простые операции, такие как комбинирование вращений, требуют значительных вычислительных затрат и подвержены явлению "блокировки кардана", при котором углы не могут быть однозначно определены для определенных ориентаций.

Веселые аттракционы

Многие аттракционы обеспечивают вращение. Колесо обозрения имеет горизонтальную центральную ось и параллельные оси для каждой кабинки, где вращение происходит в противоположном направлении, под действием силы тяжести или механически. В результате, в любой момент времени кабинка остается в вертикальном положении (не вращается), а лишь перемещается в пространстве. Конец вектора перемещения описывает окружность. Карусель обеспечивает вращение вокруг вертикальной оси. Многие аттракционы сочетают вращение вокруг нескольких осей. В аттракционе "Кресла-самолеты" вращение вокруг вертикальной оси обеспечивается механически, а вращение вокруг горизонтальной оси происходит из-за центростремительной силы. При инверсиях на американских горках происходит вращение вокруг горизонтальной оси на один или несколько полных циклов, при этом инерция удерживает людей на сиденьях.

Спорт

Ротация мяча или другого объекта, обычно называемая вращением, играет роль во многих видах спорта, включая топспин и бэкспин в теннисе, эффект (англ. English) в бильярде и пуле, кривые мячи в бейсболе, спин-боулинг в крикете, фрисби и т.д. Ракетки для настольного тенниса изготавливаются с различными характеристиками поверхности, чтобы позволить игроку придавать мячу большее или меньшее вращение. Вращение игрока один или несколько раз вокруг вертикальной оси может называться вращением в фигурном катании, вращением палочки или исполнителя в черлидинге с палочкой, или 360, 540, 720 и т.д. в сноуборде и т.п. Вращение игрока или исполнителя один или несколько раз вокруг горизонтальной оси может называться флип, ролл, сальто, гели и т.д. в гимнастике, водных лыжах или многих других видах спорта, или полтора, два с половиной, гейнер (начало лицом от воды) и т.д. в прыжках в воду и т.п. Комбинация вертикального и горизонтального вращения (обратное сальто с 360°) называется мёбиусом в фристайле на водных лыжах. Вращение игрока вокруг вертикальной оси, обычно от 180 до 360 градусов, может называться вращательным движением и используется как обманный или уклоняющий маневр, или в попытке сыграть, передать или принять мяч или шайбу и т.д., или чтобы обеспечить игроку обзор ворот или других игроков. Это часто встречается в хоккее, баскетболе, футболе различных видов, теннисе и т.д.